耿征

摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求訓練學生合情推理和演繹推理的能力，而這兩種能力主要體現(xiàn)在幾何符號語言的表達上.幾何符號語言作為數(shù)學語言的重要分支，在幾何學中既是幾何知識的載體，又是學生邏輯推理的重要體現(xiàn)，可以說幾何的學習離不開對幾何語言的理解與掌握.在初中數(shù)學學習中，所有幾何知識的學習都涉及符號語言的訓練和表達.可見，提高幾何符號語言的表達能力至關重要.

關鍵詞：幾何；符號語言；訓練策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0023-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，學生要會用數(shù)學的語言表達和描述現(xiàn)實世界.在這種理念的指導下，筆者先對兩個案例進行分析，指出學生學習幾何符號語言存在的困難，再針對困難從宏觀和微觀兩個方面給出解決策略.

1 案例分析

例1如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F.求證：∠CFE=∠CEF.

證明因為∠ACB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）.因為CD是△ABC的高，所以∠AFD+∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）.因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）.因為∠AFD=∠CFE（對頂角相等），所以∠CFE=∠CEF（等量代換）.

在此證明過程中，像“因為∠ACB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）”、“因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義）”、“∠CEF+∠1=90°，∠AFD+∠2=90°，∠1=∠2，所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”這些符號語言的描述，是相關結論最基本的描述，但對于“因為AE平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”，有的學生都說不出來，這說明學生不理解角平分線的定義，因此無法有條理地寫出證明過程.

由此可以看出，在證明幾何命題時，學生需根據(jù)已知條件和所證結論選擇合適的幾何定理作為推理的依據(jù)，并將幾何定理或概念用符號語言表示出來，這是學生學習幾何符號語言的第一個困難.

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點，連接BM，DM，MN.求證：MN⊥BD.

解析根據(jù)已知條件∠ABD=∠ADC=90°，易得△ABD和△ADC都是直角三角形.根據(jù)圖形結構特征，BD是△ABD的斜邊，AC是△ABC的斜邊.又因為M、N分別是AC、BD的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質可得BM=AM=MC，DM=AM=MC，所以BM=DM，即△BMD是等腰三角形.由等腰三角形“三線合一”性質可知MN⊥BD.

顯然，本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質和等腰三角形“三線合一”的性質，這是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》規(guī)定的最基礎最核心的內容，是學生必須掌握的基礎知識.從圖形方面來看，本題涉及直角三角形和等腰三角形，這學生最常見的基本圖形.學生見到這個圖形很多遍了，但是仍然存在困難，不知道該如何下手.為什么會這樣呢？筆者認為，符號語言的學習，歸根結底就是對每個定理的符號語言的學習.符號語言表達能力的訓練，本質上是對文字語言的理解，就是用圖形和符號理解幾何命題.而符號語言表達的本質，就是圖形和符號的聯(lián)想，即由圖形想到相應的符號語言.由此可以看出，學生缺少文字語言和圖形語言、符號語言之間的互相轉化的能力，是幾何符號語言學習的第二個困難，是影響學生幾何推理能力的關鍵.

2 解決策略

2.1 從宏觀方面而言，需建構知識體系

學生對幾何圖形的認識，是一個由簡單到復雜的過程.先是認識點、線，再到形、體；先是每種圖形的定義、表示方法，再到每種圖形的性質和判定；先是孤立學習每個圖形，再到圖形之間的聯(lián)系和結合.

2.1.1 建立圖形體系

對于點而言，初中階段僅僅認識其表示方法；對于線而言，包括直線、射線和線段，根據(jù)直線的位置關系，有相交線和平行線兩種，而相交線又會產(chǎn)生角；對于形而言，初中階段主要研究三角形、四邊形和圓三種圖形，如圖3所示.

2.1.2 建立圖形性質和判定體系

以四邊形為例，初中階段主要從旋轉角度研究特殊的四邊形，包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，而每一種圖形的性質和判定研究的過程又很相似，具體見表1和圖4.

2.2 從微觀上而言，需建立不同語言相互轉化的橋梁

數(shù)學語言包括文字語言、圖形語言和符號語言.在初中數(shù)學學習中，所有的數(shù)學問題基本是通過這三種語言來描述的，許多數(shù)學問題的解決也是依靠數(shù)學語言之間的轉換實現(xiàn)的[1].

2.2.1 明確每個命題的本質——條件和結論

在學習“三角形內角和定理”時，教師可提出問題：你能將其改寫為“如果…，那么…”的形式嗎？學生思考并回答：如果一個圖形是三角形，那么它的三個內角的和是180°.教師總結，此命題的條件就是“一個三角形”，結論就是“三個內角的是180°”.教師由此引導根據(jù)條件畫出幾何圖形，并根據(jù)條件和結論，用符號語言描述這個命題，然后利用所學知識進行證明.學生完成后，教師總結，得到三角形內角和定理，如表2所示.

每個命題都是由條件和結論組成的，而這也正是每個命題的本質，明確了條件和結論，學生就不會再出現(xiàn)條件和結論分離的情況.因此，每個命題的學習，都需先引導學生明確條件和結論.

2.2.2 有意識強化三種語言之間的聯(lián)系

對于每一個命題，文字語言、圖形語言和符號語言是不可分割的.在初中數(shù)學教學中，教師需有意識引導學生強化三種語言之間的相互轉化.

例3如圖5，在△ABC中，AC=5，BC=4，AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點E、D.求△BCD的周長.

解析根據(jù)已知條件可知DE是線段AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可知DA=DB.從而△BCD的周長為BC+CD+DB=BC+CD+AD=BC+AC=9.

顯然，本題主要考查線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.解決本題的關鍵是實現(xiàn)文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化，從而建立已知條件與所求結論之間的邏輯關系，為問題解決創(chuàng)造條件.在解決本題時，教師可引導學生在圖5中標注已知條件中的垂直平分線，并根據(jù)垂直平分線的性質表達推理過程.即“因為ED垂直平分AB，所以DA=DB”.顯然，當學生在圖形中標注垂直平分線時，就自然能夠寫出相應的符號語言.

因此，對學生而言，每一道幾何命題都是強化訓練的一次機會.每遇到一個問題，教師都要引導學生借助關鍵詞找到相應的圖形.這樣就能夠將文字語言、圖形語言和符號語言緊緊聯(lián)系在一起.

3 結束語

在日常教學中，有意識地從宏觀方面構建幾何圖形體系，從微觀方面關注每個定理三種語言之間的轉化，可以有效提高學生幾何符號語言表達能力，從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升學生的幾何推理能力.

參考文獻：

［1］ 郭鑫培，閆瑞敏.“玩轉”數(shù)學語言 解題不再困難[J].中學數(shù)學，2022（15）：89-91.

［責任編輯：李璟］