摘" 要：在近幾年北京市朝陽(yáng)區(qū)高中數(shù)學(xué)區(qū)域性檢測(cè)試題的命制中，努力嘗試融入數(shù)學(xué)文化。命制選擇題和填空題時(shí)，從“傳統(tǒng)文化”“現(xiàn)實(shí)生活”“數(shù)學(xué)歷史”“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”中廣泛選擇數(shù)學(xué)文化素材。命制解答題時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注融入“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”的新定義問題，根據(jù)“美和趣”“真和序”的分類斟酌選擇數(shù)學(xué)文化素材。由此認(rèn)識(shí)到：命制數(shù)學(xué)文化試題需要經(jīng)歷素材選取、試題命制和檢測(cè)評(píng)價(jià)三個(gè)階段；素材選取階段是關(guān)鍵所在，需要遵循聯(lián)系多樣情境、重視數(shù)學(xué)史料、注重推廣拓展等基本原則。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)文化；試題命制

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本文系北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)專項(xiàng)課題“服務(wù)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維拓展學(xué)習(xí)資源的開發(fā)和使用”（編號(hào)：2023ZX050）的階段性研究成果。

在我國(guó)基礎(chǔ)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）性質(zhì)的文件中，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）首次界定了數(shù)學(xué)文化的概念：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)?！睌?shù)學(xué)文化也是一種理性的文化，影響著人的品格健全和健康心理養(yǎng)成。［1］

近年來，融入數(shù)學(xué)文化成為高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)，尤其在課標(biāo)頒布后更成為命題的一項(xiàng)原則。2017年，教育部考試中心明確提出，高考試題增加數(shù)學(xué)文化。隨著《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的發(fā)布（2019年），數(shù)學(xué)科考試內(nèi)容改革實(shí)施路徑正式提出，數(shù)學(xué)文化也成為高考數(shù)學(xué)考查的其中一個(gè)學(xué)科素養(yǎng)。縱觀眾多精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化試題，可以發(fā)現(xiàn)它們的取材十分豐富，涵蓋數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)成果、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)思想等數(shù)學(xué)的來源本真，也包含數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)。

近幾年，我們?cè)诒本┦谐?yáng)區(qū)高中數(shù)學(xué)區(qū)域性檢測(cè)試題的命制中，努力嘗試融入數(shù)學(xué)文化。本文談?wù)勎覀兊膶?shí)踐體會(huì)與反思總結(jié)，希望能給讀者一些啟發(fā)。

一、 命題實(shí)踐

（一） 選擇題和填空題的命制

選擇題和填空題對(duì)知識(shí)和方法的綜合性要求不是很高，命制時(shí)選材可以比較靈活。雖然數(shù)學(xué)文化是一個(gè)比較寬泛的概念（所謂“文化是個(gè)筐，什么都往里裝”），但是，根據(jù)課標(biāo)給出的定義，數(shù)學(xué)文化顯然包括數(shù)學(xué)的“外部與內(nèi)部”“過去與當(dāng)下”。將這兩種分類交叉，我們認(rèn)為，“外部過去”指向“傳統(tǒng)文化”，“外部當(dāng)下”指向“現(xiàn)實(shí)生活”， “內(nèi)部過去”指向“數(shù)學(xué)歷史”，“內(nèi)部當(dāng)下”指向“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”。命制選擇題和填空題時(shí)，我們根據(jù)這一“細(xì)分”，廣泛選擇數(shù)學(xué)文化素材。當(dāng)然，這種“細(xì)分”并非完全的，也非嚴(yán)格意義上的“分劃”（不同類之間的交集為空）；同一道試題可以從不同的角度分析。

1. 融入“傳統(tǒng)文化”的試題命制

在實(shí)踐中，基于自身的眼界，考慮教育的導(dǎo)向，我們聚焦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中，有許多內(nèi)容與數(shù)學(xué)有關(guān)，如土地測(cè)量、天文歷法、水利工程、營(yíng)造技藝、軍事、樂律等諸多方面都與數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系。這些內(nèi)容可以作為試題情境，引導(dǎo)學(xué)生了解和關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)，堅(jiān)定文化自信。比如，高考北京卷出現(xiàn)過朱載堉的“十二平均律”、《數(shù)書九章》中的“雨量器”、圍棋的狀態(tài)空間復(fù)雜度、傳統(tǒng)建筑坡屋頂、“環(huán)權(quán)”等情境，高考全國(guó)卷出現(xiàn)過獨(dú)孤信印信、《周易》中的重卦、《夢(mèng)溪筆談》中的會(huì)圓術(shù)、古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)等情境。

例1" （2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第8題）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）。當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至。圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠ABC）為26.5°，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠ADC）為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為a，則表高（即AC的長(zhǎng)）為（" ）

A. asin53°2sin47°

B. atan26.5°tan73.5°tan47°

C. 2sin47°asin53°

D. asin26.5°sin73.5°sin47°

本題描述了成語(yǔ)“立竿見影”，融入了傳統(tǒng)文化“二十四節(jié)氣”。圭表是我國(guó)傳統(tǒng)的天文儀器，古人根據(jù)它來定節(jié)氣和歷法，在《周髀算經(jīng)》中已有記錄。題目中的數(shù)據(jù)來自專業(yè)論文，配圖參考中國(guó)數(shù)字科技館科普資料，確保了試題的科學(xué)性、準(zhǔn)確性，考查了數(shù)學(xué)閱讀能力及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。［2］ 2021年高考全國(guó)I理科卷第9題與本題類似，以《海島算經(jīng)》為背景，要求測(cè)算海島的高度。

我們命制的融入“傳統(tǒng)文化”的試題還有求天壇圜丘壇扇面形石塊數(shù)的問題（2018—2019學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模理科第13題）。同一情境后來也在2020年高考全國(guó)II理科卷中出現(xiàn)。

2. 融入“現(xiàn)實(shí)生活”的試題命制

數(shù)學(xué)在人類理解現(xiàn)實(shí)的進(jìn)程中扮演了至關(guān)重要的角色。融入“現(xiàn)實(shí)生活”的試題關(guān)注數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)及其他眾多學(xué)科和領(lǐng)域中的應(yīng)用，通常以數(shù)學(xué)模型、公式的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。比如，高考北京卷出現(xiàn)過天文學(xué)中的“星等與亮度”、冬奧會(huì)場(chǎng)館中的科技，全國(guó)卷出現(xiàn)過鋼琴的和弦等。再如，在現(xiàn)代建筑藝術(shù)中，英國(guó)建筑師扎哈·哈迪德設(shè)計(jì)的曲線建筑風(fēng)格別致，富有強(qiáng)烈的幾何之美。她還設(shè)計(jì)了英國(guó)倫敦科學(xué)博物館數(shù)學(xué)展廳（溫頓展廳），激勵(lì)人們?nèi)ジ嗟亓私鈱?shí)體方面的數(shù)學(xué)。2021年“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷就曾以哈迪德設(shè)計(jì)的北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)為背景，考查了關(guān)于多面體的曲率問題。

例2" （2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第8題）如圖3，北京2022年冬奧會(huì)比賽場(chǎng)地之一首鋼滑雪大跳臺(tái)與電力廠的冷卻塔交相輝映，實(shí)現(xiàn)了它與老工業(yè)遺址的有效融合。如圖4，冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面。它的最小半徑為16m，上口半徑為17m，下口半徑為28.5m，高為70m。在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|OA|=16，|DC|=17，|EB|=28.5，|DE|=70，則雙曲線的方程近似為（" ）

（參考數(shù)據(jù)：28.52162≈3.17，28.52172≈2.81，172162≈1.13）

A. x2162－y2382=1

B. x2162－y2482=1

C. x2172－y2382=1

D. x2172－y2482=1

本題以首鋼冷卻塔為背景，體現(xiàn)冬奧會(huì)元素；需要通過提取信息建立模型來得出雙曲線的近似方程，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算（近似運(yùn)算）等素養(yǎng)。該素材在多版教材中作為例題或習(xí)題出現(xiàn)，學(xué)生比較熟悉。命制過程中最大的挑戰(zhàn)是，尋找數(shù)據(jù)建立較為準(zhǔn)確的模型。查詢得到首鋼冷卻塔的兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（底面直徑57米、高70米），還搜索到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中冷卻塔的塔型參數(shù)，同時(shí)參考不同版本教材中的數(shù)據(jù)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)推算和調(diào)整計(jì)算出方程。選擇實(shí)物圖片時(shí)突出滑雪跳臺(tái)和冷卻塔兩個(gè)場(chǎng)景，立體示意圖與平面圖使用GeoGebra軟件繪制。作圖后，把得到的曲線移到圖片上方（如圖6所示），發(fā)現(xiàn)擬合效果較好，反映出推算的數(shù)據(jù)比較合適。

我們還關(guān)注其他學(xué)科和領(lǐng)域，做了一些命題嘗試。關(guān)注航空航天領(lǐng)域，以齊奧爾科夫斯基公式為模型，以長(zhǎng)征五號(hào)B遙四運(yùn)載火箭為情境，結(jié)合圖表信息考查學(xué)生對(duì)公式中參數(shù)的認(rèn)識(shí)（2022—2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試第8題）。關(guān)注國(guó)防領(lǐng)域，以蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型為情境，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解和指對(duì)數(shù)運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在國(guó)防中的重要作用（2022—2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第15題）。關(guān)注考古領(lǐng)域，以良渚古城遺址為情境，介紹碳14的衰變規(guī)律在考古測(cè)定年份中的應(yīng)用（2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期中考試第16題）。關(guān)注生物學(xué)，通過經(jīng)典的草履蟲種群模型，介紹在諸多領(lǐng)域出現(xiàn)的logistics函數(shù)模型，基于生物教材中的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)函數(shù)f（t）=3751+74e－0.08t（2020—2021學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第15題）。此外，還有關(guān)于懸鏈線與指數(shù)函數(shù)（2022—2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期中考試第10題）、聲學(xué)與三角函數(shù)（2022—2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第8題）、紙張尺寸的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)列（2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第8題）、口罩的顆粒物過濾效率與斜率（2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第15題）等問題。許多真實(shí)模型來自微分方程（組）的解，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)做了鋪墊和銜接。

3. 融入“數(shù)學(xué)歷史”的試題命制

數(shù)學(xué)的歷史與人類認(rèn)識(shí)世界的歷史一樣漫長(zhǎng)。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，儲(chǔ)存著人類過去的經(jīng)驗(yàn)，幫助我們了解數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)機(jī)和源頭，帶給我們啟發(fā)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。比如，高考北京卷出現(xiàn)過“割圓術(shù)”與阿爾·卡西計(jì)算圓周率的算法，引導(dǎo)學(xué)生感悟“近似計(jì)算”之美。其他很多地區(qū)的試卷中也出現(xiàn)過比較多的融入數(shù)學(xué)史的試題。［3］

例3" （2022—2023學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高二上學(xué)期期末考試第15題）數(shù)學(xué)家笛卡兒研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡兒葉形線D，它在平面直角坐標(biāo)系xOy中的方程為x3+y3－3axy=0。當(dāng)a=1時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 曲線D不經(jīng)過第三象限；

② 曲線D關(guān)于直線y=x軸對(duì)稱；

③ 對(duì)任意k∈R，曲線D與直線y=－x+k一定有公共點(diǎn)；

④ 對(duì)任意k∈R，曲線D與直線y=k一定有公共點(diǎn)。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是""" 。

本題的背景是笛卡兒于1638年得到的葉形線，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美。在數(shù)學(xué)史上，笛卡兒首次得到葉子形狀的曲線——也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為這條曲線是茉莉花的樣子，所以稱其為茉莉花曲線。笛卡兒得到的著名曲線除了葉形線，還有對(duì)數(shù)螺線。［4］本題的命制重點(diǎn)是四個(gè)結(jié)論的設(shè)計(jì)。結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的經(jīng)驗(yàn)，從不同角度設(shè)問：結(jié)論①關(guān)注范圍，結(jié)論②關(guān)注對(duì)稱性，結(jié)論③和結(jié)論④關(guān)注直線與曲線的位置關(guān)系。其中，結(jié)論③可以用二次方程的判別式判斷，結(jié)論④隱含了奇數(shù)次多項(xiàng)式方程有至少一個(gè)零點(diǎn)的結(jié)論。本題在命制過程中特意沒有給出圖像，目的在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)解析幾何的思維方式——“利用代數(shù)研究幾何”。在講評(píng)時(shí)，教師可以也應(yīng)當(dāng)繪制出圖像（如圖7所示），讓學(xué)生更加直觀地感受這條優(yōu)美的曲線。

我們命制的融入數(shù)學(xué)史的試題還涉及清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔《少?gòu)V縋鑿》中的開平方捷術(shù)（2023—2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試第15題）、古希臘托勒密和希帕科斯分別得到的三角學(xué)弦表（2020—2021學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期中考試第15題、2023—2024學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期中考試第14題）［5］、萊因德紙草書（2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高二上學(xué)期期末考試第15題）、歐拉研究過的“騎士巡游”問題（2018—2019學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試?yán)砜频?3題）［6］，等等。盡管試題的文字量有限，但是在命制過程中會(huì)盡量傳遞數(shù)學(xué)史知識(shí)，引導(dǎo)感興趣的學(xué)生了解相關(guān)歷史。

此外，還有以隱性方式融入數(shù)學(xué)史的試題。

例如，2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高一下學(xué)期期末考試第9題要求y=|x|和y=2的圖像圍成的封閉平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積。

該幾何體的體積是一個(gè)圓柱去掉一個(gè)雙角錐（如圖8所示），其體積等于以圓柱底面直徑為直徑的球的體積，體現(xiàn)了祖暅原理。

4. 融入“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”的試題命制

數(shù)學(xué)直到現(xiàn)在仍是充滿活力、不斷發(fā)展的。高中階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、結(jié)論大多是經(jīng)典數(shù)學(xué)的內(nèi)容，我們嘗試將一些用高中數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋或用高中數(shù)學(xué)思維可以解決的現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)在試題中。這類試題通常是新定義問題或所謂的“創(chuàng)新題”，我們?cè)诿茣r(shí)一直遵循這樣一個(gè)觀念：“新定義”一定是真實(shí)的、有意義的數(shù)學(xué)。

例4" （2020—2021學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第15題）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國(guó)數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用。在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于x0∈R，令xn=f（xn－1）（n=1，2，3，…），若存在正整數(shù)k使得xk=x0，且當(dāng)0lt;jlt;k時(shí)，xj≠x0，則稱x0是f（x）的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn)。給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 若f（x）=ex－1，則f（x）存在唯一一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)；

② 若f（x）=2（1－x），則f（x）存在周期為2的周期點(diǎn)；

③ 若f（x）=2x，xlt;12，2（1－x），x≥12，則f（x）不存在周期為3的周期點(diǎn)；

④ 若f（x）=x（1－x），則對(duì)任意正整數(shù)n，12都不是f（x）的周期為n的周期點(diǎn)。

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是""" 。

本題的背景是華人數(shù)學(xué)家李天巖及其導(dǎo)師約克發(fā)展的混沌理論中的周期點(diǎn)概念。題中借助遞推數(shù)列給出周期點(diǎn)的概念，基于四個(gè)初等函數(shù)給出四個(gè)結(jié)論，讓學(xué)生判斷它們是否正確。結(jié)論①可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題或函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，與不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)。結(jié)論②設(shè)計(jì)了關(guān)于周期為2的周期點(diǎn)的問題，考查檢驗(yàn)意識(shí)。結(jié)論③設(shè)計(jì)了關(guān)于周期為3的周期點(diǎn)的問題，其中的分段線性函數(shù)也是經(jīng)典的例子。結(jié)論④考慮一般的周期，其中的二次函數(shù)是混沌理論中重要的函數(shù)模型，也被稱為L(zhǎng)ogistic模型。［7］

（二） 解答題的命制

解答題對(duì)知識(shí)和方法的綜合性要求較高，命制時(shí)選材受到一定限制。顯然，解答題可以根據(jù)同樣的“細(xì)分”，廣泛選擇數(shù)學(xué)文化素材來命制，只不過命制的過程更加復(fù)雜、難度更大。

近年來，在高考改革背景下，全國(guó)新課標(biāo)卷中，解答題壓軸題通常都設(shè)計(jì)為新定義問題，具有比較深刻的數(shù)學(xué)背景，設(shè)問新穎，區(qū)分度高。因此，在實(shí)踐中，我們重點(diǎn)命制融入“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”的新定義類解答題——依然遵循“涉及的概念一定是真實(shí)的、有意義的數(shù)學(xué)”的觀念。

具體命制時(shí)，為了深度融入數(shù)學(xué)文化，我們嘗試進(jìn)一步尋找數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵分類。我們發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的角度看，根據(jù)很多數(shù)學(xué)家（比如丘成桐）的數(shù)學(xué)觀［8］，數(shù)學(xué)文化既指向情感層面的“美和趣”，也指向認(rèn)知層面的“真和序”。于是，我們根據(jù)這樣的分類，斟酌選擇數(shù)學(xué)文化素材來命制。同樣，這一“分類”既不是完全的，也不是嚴(yán)格意義上的“分劃”。

此外需要說明的是，受到高考北京卷命題特色的影響（從2006年起，高考北京卷壓軸題多以集合、數(shù)列、數(shù)表為背景），我們命制深度融入數(shù)學(xué)文化的新定義類解答題時(shí)，也更多地以集合、數(shù)列、數(shù)表為背景。

1. 體現(xiàn)“數(shù)學(xué)美和趣”的試題命制

無(wú)論從形式上還是從內(nèi)容上看，數(shù)學(xué)都充滿了能夠被切實(shí)地感受到的美和趣，如簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一、和諧、奇異、對(duì)稱、條理、神秘、深刻、探索、挑戰(zhàn)等——雖然它們通常需要經(jīng)歷理性（抽象、邏輯）思考才能被體會(huì)到。在命題時(shí)，我們努力尋找、發(fā)掘進(jìn)而融入有關(guān)的素材（特別是數(shù)學(xué)欣賞和數(shù)學(xué)游戲方面的素材），讓學(xué)生在基于試驗(yàn)猜想經(jīng)歷理性論證后，能夠感受到數(shù)學(xué)內(nèi)在的美和趣。

例5" （2020—2021學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試第21題）已知無(wú)窮數(shù)列{an}滿足：a1=0，an+1=a2n+c（n∈N*，c∈R）。對(duì)任意正整數(shù)n≥2，記Mn={c|對(duì)任意i∈{1，2，3，…，n}，|ai|≤2}，M={c|對(duì)任意i∈N*，|ai|≤2}。

（Ⅰ） 寫出M2、M3；

（Ⅱ） 當(dāng)cgt;14時(shí)，求證：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得c∈Mk；

（Ⅲ） 求集合M。

本題的命題背景是一維復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)，研究過程中會(huì)出現(xiàn)曼德勃羅集：在a1=0的條件下，通過無(wú)限次迭代an+1=a2n+c，將所有滿足an有界的復(fù)數(shù)c的取值集合M畫在復(fù)平面上，就得到曼德勃羅集。曼德勃羅集是美妙的分形幾何圖形（如圖9所示），可以無(wú)限放大，局部和整體之間有相似的結(jié)構(gòu)，可以用于刻畫大自然中的結(jié)構(gòu)。本題的第Ⅲ問就是求M∩R。另外，數(shù)列{an}有界等價(jià)于對(duì)任意n，|an|≤2，即M={c∈C|對(duì)任意n∈N*，|an|≤2}。［9］從本題出發(fā)，可以瞥見20世紀(jì)70年代新創(chuàng)立的分形幾何學(xué)。

例6" （2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第21題）已知集合N4={α|α=（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i=1，2，3，4}。對(duì)集合N4中的任意元素α=（x1，x2，x3，x4），定義T（α）=（|x1－x2|，|x2－x3|，|x3－x4|，|x4－x1|），當(dāng)正整數(shù)n≥2時(shí)，定義Tn（α）=T（Tn－1（α））（約定T1（α）=T（α））。

（Ⅰ） 若α=（2，0，2，1），β=（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；

（Ⅱ） 若α=（x1，x2，x3，x4）滿足xi∈{0，1}（i=1，2，3，4）且T2（α）=（1，1，1，1），求α的所有可能結(jié)果；

（Ⅲ） 是否存在正整數(shù)n使得對(duì)任意α=（x1，x2，x3，x4）∈N4（x1≥x2≥x4≥x3），都有Tn（α）=（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由。

本題的命題背景是四數(shù)游戲：將四個(gè)數(shù)寫在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，變換T相當(dāng)于在正方形各邊的中點(diǎn)上寫下相應(yīng)頂點(diǎn)的數(shù)字之差的絕對(duì)值，連接各邊中點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)新的正方形，重復(fù)以上過程，則是否存在正整數(shù)n使得Tn（α）=（0，0，0，0）相當(dāng)于能否出現(xiàn)一個(gè)正方形的各頂點(diǎn)數(shù)字均為0。這個(gè)游戲的發(fā)明歸功于意大利數(shù)學(xué)家恩里科·杜奇，計(jì)算機(jī)科學(xué)家高德納、著名數(shù)學(xué)科普作家馬丁·加德納都對(duì)這個(gè)游戲很感興趣。本題就是把這個(gè)游戲用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來。第Ⅲ問改編自數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，最有趣之處在于這類數(shù)組可以在有限步之后歸零；如果去掉特殊條件，就是一個(gè)極好的探究問題。

實(shí)際上，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)美和趣”的素材非常多。我們命制的體現(xiàn)“數(shù)學(xué)美和趣”的解答題還有很多，如：2018—2019學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模理科第20題取材于求最大公約數(shù)的算法（在西方被稱為歐幾里得算法，在中國(guó)被稱為更相減損術(shù)），所給遞推公式an+2=an+1－an形式簡(jiǎn)潔、對(duì)稱，內(nèi)容深刻、重要；2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期末考試第22題取材于Collatz猜想（也稱“3n+1”猜想、角谷猜想）的變體，2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三期中考試第21題取材于Farey序列，它們都是真實(shí)而有趣的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。

2. 體現(xiàn)“數(shù)學(xué)真和序”的試題命制

“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型建構(gòu)等，形成數(shù)學(xué)結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！币虼耍瑪?shù)學(xué)是一門“求真”的學(xué)問：通過抽象概括（從特殊例子推廣到一般結(jié)論），尋求現(xiàn)實(shí)事物背后的普遍、共通規(guī)律。其“求真”的過程與結(jié)果是“有序”的：不斷抽象（推廣）、形成結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）。在命題時(shí)，我們努力尋找、發(fā)掘在學(xué)生已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上推廣、聯(lián)系產(chǎn)生的真實(shí)的、有意義的數(shù)學(xué)結(jié)論與方法作為素材，讓學(xué)生在解決問題時(shí)盡可能地感受到數(shù)學(xué)追求的真和序。

例7" （2020—2021學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三二模第21題）已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列AN：a1，a2，…，aN（N≥3，N∈N）滿足a1aNlt;0，且對(duì)任意i=2，3，…，N，都有|ai－ai－1|≤1。記S（AN）=a1+a2+…+aN。

（Ⅰ） 若a1=3，寫出一個(gè)符合要求的A6；

（Ⅱ） 證明：數(shù)列AN中存在ak=0；

（Ⅲ） 若S（AN）是N的整數(shù)倍，證明：數(shù)列AN中存在ar使得S（AN）=N·ar。

本題的命題背景是離散零點(diǎn)定理。連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理是學(xué)生熟知的。延伸到離散的情況，連續(xù)函數(shù)的刻畫變成滿足|ai－ai－1|≤1的數(shù)列。第Ⅱ問要證明零點(diǎn)存在，第Ⅲ問相當(dāng)于介值定理。中學(xué)階段對(duì)連續(xù)性等概念不做要求，教材也沒有給出有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理的證明。本題相當(dāng)于給出了其離散版本，解決問題只需要用到自然數(shù)的最小數(shù)原理。

例8" （2019—2020學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第21題）設(shè)數(shù)列A：a1，a2，…，an（n≥3）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且a1≤a2≤…≤an。若對(duì)任意k∈{3，4，…，n}，存在正整數(shù)i、j（1≤i≤jlt;k）使得ak=ai+aj，則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T。

（Ⅰ） 判斷數(shù)列A1：1，2，4，7與數(shù)列A2：1，2，3，6是否具有性質(zhì)T；（只需寫出結(jié)論）

（Ⅱ） 若數(shù)列A具有性質(zhì)T，且a1=1，a2=2，an=200，求n的最小值；

（Ⅲ） 若集合S={1，2，3，…，2019，2020}=S1∪S2∪S3∪S4∪S5∪S6，且Si∩Sj=（i、j∈{1，2，…，6}，i≠j），求證：存在Si，使得從Si中可以選取若干元素（可重復(fù)選取）組成一個(gè)具有性質(zhì)T的數(shù)列。

本題第Ⅲ問的命題背景是著名的Schur定理，來自Schur對(duì)費(fèi)馬大定理的研究，其背后隱含的一個(gè)哲學(xué)觀點(diǎn)是“完全的無(wú)序是不存在的”，也即刻畫平面點(diǎn)集之間關(guān)系的Ramsey理論。Ramsey理論在通信網(wǎng)絡(luò)、信息技術(shù)中有重要的應(yīng)用，它最著名的一個(gè)例子是：在超過6人的聚會(huì)上，必然有3個(gè)人互相都認(rèn)識(shí)或互相都不認(rèn)識(shí)。解決這一問需要用到抽屜原理等組合方法。類似的還有van der Waerden定理、Erdo″s-Szekeres定理，都可以改編成高中生能夠理解和解決的新定義問題。

例9" （2021—2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模第21題）對(duì)非空數(shù)集X、Y，定義X與Y的和集X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}。對(duì)任意有限集A，記A為集合A中元素的個(gè)數(shù)。

（Ⅰ） 若集合X={0，5，10}，Y={－2，－1，0，1，2}，寫出集合X+X與X+Y；

（Ⅱ） 若集合X={x1，x2，…，xn}滿足x1lt;x2lt;…lt;xn，n≥3，且|X+X|lt;2|X|，求證：數(shù)列x1，x2，…，xn是等差數(shù)列；

（Ⅲ） 設(shè)集合X={x1，x2，…，xn}滿足x1lt;x2lt;…lt;xn，n≥3，且xi∈Z（i=1，2，…，n），集合B={k∈Z|－m≤k≤m}（m≥2，m∈N），求證：存在集合A滿足|A|≤1+xn－x1B且XA+B。

本題的命制源自加性組合，考慮“和集”中的結(jié)構(gòu)?！昂图笔嵌褖緮?shù)論中簡(jiǎn)單而重要的一個(gè)概念，通過這一概念可以陳述數(shù)列中某種規(guī)律，如哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想等結(jié)論。這里，設(shè)置第Ⅰ問是為了幫助學(xué)生熟悉概念，同時(shí)給出第Ⅱ問和第Ⅲ問的特例。第Ⅱ問是一個(gè)逆向問題，已知和集的基數(shù)就能確定集合中的等差數(shù)列結(jié)構(gòu)。第Ⅲ問改編自Ruzsa覆蓋引理，與等差數(shù)列的構(gòu)造有關(guān)。

二、 命題反思

命制一道原創(chuàng)的數(shù)學(xué)文化試題常常需要數(shù)十小時(shí)的精心雕琢，可以分為三個(gè)階段：素材選取階段、試題命制階段和檢測(cè)評(píng)價(jià)階段。大致流程如圖10所示（圖中三行依次對(duì)應(yīng)三個(gè)階段）。

在素材選取階段，初步選定一個(gè)主題，在該主題下收集和整理資料進(jìn)行研讀，有時(shí)還需請(qǐng)教專業(yè)人士；確定題型與呈現(xiàn)形式，擬出題目初稿，設(shè)計(jì)初步的細(xì)目表。這一階段需要查詢大量資料，核實(shí)資料的準(zhǔn)確性，且通常會(huì)反復(fù)進(jìn)行：如在收集和整理資料時(shí)發(fā)現(xiàn)主題不合適，則需要重新選擇主題，重新收集和整理資料；或在擬出初稿時(shí)發(fā)現(xiàn)資料不全面，則需要繼續(xù)收集和整理資料；試題的呈現(xiàn)形式也要多次調(diào)整，并且準(zhǔn)備多個(gè)版本。

這一階段是數(shù)學(xué)文化試題命制的關(guān)鍵所在，從上文的實(shí)踐案例中不難看出，需要遵循以下基本原則：

一是聯(lián)系多樣情境。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開其他學(xué)科和領(lǐng)域與數(shù)學(xué)的相互影響。數(shù)學(xué)文化試題的素材要反映數(shù)學(xué)成果在生活、社會(huì)、科技、藝術(shù)等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，促進(jìn)學(xué)科協(xié)同育人；還可結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，拓展學(xué)生視野，增強(qiáng)學(xué)生文化自信。選取這樣的素材時(shí)，要保證數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、模型可靠，還要多向?qū)＜艺?qǐng)教，關(guān)注文化背景中深層次的內(nèi)涵。

二是重視數(shù)學(xué)史料?！皵?shù)學(xué)史是一座富礦?！睌?shù)學(xué)文化試題素材的選取可訴諸數(shù)學(xué)史，特別是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要人物、成果等，既可以來自中國(guó)數(shù)學(xué)史，也可以來自世界數(shù)學(xué)史，既可以關(guān)注古代數(shù)學(xué)史，也可以關(guān)注

現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。為了熟悉古今中外的數(shù)學(xué)史，命題者平時(shí)要廣泛閱讀文獻(xiàn)，積累素材和案例。對(duì)試題涉及的數(shù)學(xué)史料，要查閱多篇文獻(xiàn)反復(fù)確認(rèn)。此外，史料應(yīng)與所考查內(nèi)容有緊密或深層的聯(lián)系。

三是注重推廣拓展。推廣拓展是數(shù)學(xué)學(xué)科保持活力、持續(xù)發(fā)展的不竭動(dòng)力與基本方法。數(shù)學(xué)文化試題的選材應(yīng)注重推廣拓展，即能夠引出新的真實(shí)而有意義的問題，促進(jìn)學(xué)生靈活、深入探究，引導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考”，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想和精神的魅力。為此，命題者尤其要打好大學(xué)（現(xiàn)代）數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，進(jìn)而關(guān)注中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)（現(xiàn)代）數(shù)學(xué)的聯(lián)系銜接與，尤其是在數(shù)學(xué)思想方法層面。

在試題命制階段，命題團(tuán)隊(duì)在充分研討的基礎(chǔ)上，結(jié)合收集整理的資料完善表述，結(jié)合全卷整體的細(xì)目表調(diào)整試題位置或呈現(xiàn)形式；并且逐字逐句校對(duì)試題文本與答案，尤其是數(shù)據(jù)來源、史實(shí)材料、文字標(biāo)點(diǎn)、公式符號(hào)等，確保內(nèi)容的科學(xué)性與敘述的規(guī)范性；同時(shí)多次試做審核，預(yù)估試題難度，根據(jù)反饋調(diào)整，形成定稿，完善試題的細(xì)目表（包含題號(hào)、題型、分值、知識(shí)組塊、學(xué)科的關(guān)鍵能力或核心素養(yǎng)等）。

最后是檢測(cè)評(píng)價(jià)階段。在學(xué)生正式考試后，經(jīng)過閱卷，根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)、答卷情況，結(jié)合試題命制時(shí)的想法（包括試題的命制立意、文化背景和參考資料等），進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，最終形成案例，供教師講評(píng)試卷或組織教學(xué)使用。

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