摘" 要：在“教—學(xué)—評(píng)”一致性的視角下，主題教學(xué)需要相應(yīng)的“主題式評(píng)價(jià)”，其重要方面和步驟即試題的“主題式命制”。以“差商”為例，說明高中數(shù)學(xué)試題主題式命制的步驟：首先是系統(tǒng)分析，包括分析主題內(nèi)容在教材不同章節(jié)中的具體呈現(xiàn)及內(nèi)在邏輯關(guān)系、外部知識(shí)關(guān)聯(lián)，解讀主題內(nèi)容的本質(zhì)和價(jià)值；其次是問題設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)系列問題，力圖揭示主題的本質(zhì)，并建立與主題相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容聯(lián)系（知識(shí)結(jié)構(gòu)）；最后可能還需要根據(jù)具體考試內(nèi)容與形式方面的規(guī)范或習(xí)慣要求與導(dǎo)向，進(jìn)行試題的加工。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；試題命制；主題式；差商；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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本文系上海市教育科學(xué)研究項(xiàng)目“本原性問題驅(qū)動(dòng)下高中數(shù)學(xué)主題教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：C2021043）的階段性研究成果。

一、 從“主題教學(xué)”延伸到“主題式命題”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）倡導(dǎo)“在整體視角下，把握課程內(nèi)容，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展”的理念，踐行該理念的具體辦法是開展主題、單元教學(xué)。［1］一般來說，主題教學(xué)與單元教學(xué)的含義一致，是相對(duì)課時(shí)教學(xué)而言的，即從關(guān)注一節(jié)課的教學(xué)到關(guān)注更大范圍的教學(xué)。但是，使用“主題教學(xué)”一詞時(shí)，往往更強(qiáng)調(diào)“跨章節(jié)”，即根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在邏輯上的關(guān)聯(lián)，圍繞核心概念、重要命題（原理、定理、公式等）或思想方法，對(duì)散落于教材多個(gè)章節(jié)中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整合，構(gòu)成跨章節(jié)的主題，課標(biāo)附錄中的案例36“函數(shù)單調(diào)性主題教學(xué)設(shè)計(jì)”就是一個(gè)典范。 ［2］

評(píng)價(jià)是連接“教”和“學(xué)”的橋梁，是促成“教”和“學(xué)”閉環(huán)的抓手，其重要方面和步驟是作為評(píng)價(jià)任務(wù)的試題的命制。在“教—學(xué)—評(píng)”一致性的視角下，主題教學(xué)需要相應(yīng)的“主題式評(píng)價(jià)”，其重要方面和步驟即試題的“主題式命制”［3］：圍繞某個(gè)教學(xué)主題（核心概念、重要命題或思想方法）設(shè)計(jì)系列問題，使得問題之間邏輯關(guān)聯(lián)、環(huán)環(huán)相扣，能夠揭示該主題中數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)；系列問題由易到難、層次分明，既啟迪學(xué)生思考的方向，又對(duì)學(xué)生思維的連貫性提出較高要求，具有很強(qiáng)的分層選拔功能。

隨著課標(biāo)的頒布和配套教材的使用，近年來關(guān)于高中數(shù)學(xué)主題（單元）教學(xué)的研究可謂如火如荼。然而，公開發(fā)表的研究成果絕大多數(shù)是以教材中的章節(jié)為主題（單元）的教學(xué)設(shè)計(jì)，鮮有涉獵跨章節(jié)主題的教學(xué)案例，與跨章節(jié)主題教學(xué)相對(duì)應(yīng)的試題命制研究更是鳳毛麟角。

結(jié)合主題教學(xué)的理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，我們認(rèn)識(shí)到，高中數(shù)學(xué)試題的主題式命制可以大致依循“確定主題—系統(tǒng)分析—問題設(shè)計(jì)—試題加工”的步驟。這里需要指出，因?yàn)橹黝}的確定離不開其內(nèi)容（系統(tǒng)）分析基礎(chǔ)上的價(jià)值（作用）確認(rèn)，所以第一步和第二步常常合并在一起考慮（進(jìn)行）；第三步設(shè)計(jì)出的問題實(shí)際上就是能夠考查學(xué)生知識(shí)（方法）和能力（素養(yǎng)）掌握和具備情況的“試題”，但是，因?yàn)檎?guī)考試（期中、期末等終結(jié)性考試，而非小測(cè)驗(yàn)）通常有考查內(nèi)容覆蓋面（不會(huì)限定內(nèi)容主題）及題型、分值分布等命題技術(shù)性要求，所以命制正規(guī)考試題目時(shí)，常常需要第四步，即把第三步設(shè)計(jì)出的問題作為題胚，進(jìn)行適當(dāng)加工。此外，因?yàn)樾枰O(shè)計(jì)系列問題，所以一般以選擇題（單選或多選）和解答題的形式呈現(xiàn)。

二、 高中數(shù)學(xué)試題主題式命制一例

下面以“差商”（兩個(gè)量作差和作商，最常見的形式是fx1-fx2x1-x2）為例，談一談我們對(duì)高中數(shù)學(xué)試題主題式命制的探索。

（一） 系統(tǒng)分析：對(duì)教材中主題相關(guān)內(nèi)容的深入解讀

數(shù)學(xué)學(xué)科研究的水平?jīng)Q定著數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的高低。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)必須以數(shù)學(xué)學(xué)科研究為前提，否則容易流于表面形式，使得教學(xué)過程中僅有新穎的教育理念和炫酷的教學(xué)方法，卻沒有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。［4］主題教學(xué)對(duì)教師的數(shù)學(xué)學(xué)科研究能力提出了較高的要求，主要體現(xiàn)在對(duì)主題的系統(tǒng)分析上，包括分析主題內(nèi)容在教材不同章節(jié)中的具體呈現(xiàn)及其內(nèi)在邏輯關(guān)系、外部知識(shí)關(guān)聯(lián)，解讀主題內(nèi)容的本質(zhì)和價(jià)值。相應(yīng)的“主題式命題”也是如此。換句話說，學(xué)科研究是其教學(xué)和評(píng)價(jià)的共同基礎(chǔ)。

“差商”這個(gè)并不復(fù)雜的概念能夠串聯(lián)起數(shù)學(xué)課程中的眾多知識(shí)。［5］在高中數(shù)學(xué)教材中，差商fx1-fx2x1-x2涉及函數(shù)（數(shù)列）、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等核心知識(shí)，函數(shù)的單調(diào)性、割線（切線）的斜率和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等在不同章節(jié)中出現(xiàn)的概念通過差商建立起本質(zhì)性聯(lián)系；進(jìn)一步地，差商在比較大小、求最值（函數(shù)單調(diào)性）、研究三點(diǎn)共線（斜率相等）和函數(shù)的凹凸性等問題中也展示出豐富的應(yīng)用價(jià)值。

理解差商的內(nèi)涵（本質(zhì)）主要從代數(shù)形式和幾何意義兩方面入手。從代數(shù)上看，根據(jù)差商的符號(hào)，可以判斷函數(shù)fx的單調(diào)性；從幾何上看，差商是函數(shù)f（x）圖像上過兩點(diǎn)（x1，f（x1））、（x2，f（x2））的割線的斜率，通過取極限，該割線的斜率轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x1，f（x1））處切線的斜率，即函數(shù)fx在x=x1處的導(dǎo)數(shù)f′（x1）=limx2→x1f（x1）-f（x2）x1-x2。函數(shù)的凹凸性是導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性的反映，自然也可以用差商來刻畫：不妨設(shè)x1lt;x2lt;x3，則f（x1）-f（x2）x1-x2lt;f（x3）-f（x2）x3-x2恒成立說明（函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的）斜率單調(diào)遞增，即函數(shù)f（x）是下凸的。

在高等數(shù)學(xué)中，差商更是刻畫函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性和凹凸性等性質(zhì)的重要工具。比如，差商有界（又稱“李普希茨條件”），即f（x1）-f（x2）x1-x2≤L，是函數(shù)fx一致連續(xù)的充分條件，進(jìn)而保證了fx的連續(xù)性。又如，高中數(shù)學(xué)教材（不加證明地）直接給出了利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，實(shí)際上這是借由微積分的核心命題——微分中值定理推導(dǎo)的結(jié)果。拉格朗日中值定理將割線斜率轉(zhuǎn)化為切線斜率，將差商轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)，其內(nèi)容是：如果函數(shù)fx在閉區(qū)間a，b上連續(xù)且在開區(qū)間a，b內(nèi)可導(dǎo)，那么，至少存在一點(diǎn)ξ∈a，b，使得f′ξ=fa-fba-b。從幾何上看，fa-fba-b表示曲線y=fx上兩點(diǎn)Aa，fa、Bb，fb連線的斜率，f′ξ表示點(diǎn)ξ，fξ處切線的斜率，中值定理表明曲線y=fx上至少存在一條平行于弦AB的切線。

進(jìn)一步看，中值定理根源于實(shí)數(shù)理論：根據(jù)極限理論（如函數(shù)極限、極限的保號(hào)性等）、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的定義才能推導(dǎo)出羅爾定理（拉格朗日中值定理的特殊情形），進(jìn)而證明中值定理。由于高中階段并不學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)理論和極限理論，因此，研究以中值定理為背景的問題，只能局限于具體函數(shù)（解析式）：一方面，直接求出導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；另一方面，默認(rèn)函數(shù)的連續(xù)性并利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的情況。

近年來高考函數(shù)命題的最大熱點(diǎn)——“極值點(diǎn)偏移”問題，本質(zhì)上就是中值定理（羅爾定理）中的“中值點(diǎn)”ξ落在區(qū)間a，b的何處。其中，最有代表性的結(jié)論是不等式ea+b2lt;ea-eba-blt;ea+eb2（記為①）。不等式①通常是通過式子變形、求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性來證明的（過程省略），其幾何意義則可以借助圖形面積來解釋，具體如下：

如圖1，曲線y=ex上兩點(diǎn)Da，ea、Eb，eb在x軸上的投影分別為A、B，點(diǎn)Fa+b2，ea+eb2與Ca+b2，0的連線交曲線y=ex于點(diǎn)Ta+b2，ea+b2，曲線在點(diǎn)T處的切線分別與AD、BE交于M、N。

梯形AMNB的面積S1=12（AM+BN）·AB=ea+b2·b-a，曲邊梯形ADEB的面積S2=∫baexdx=eb-ea，梯形ADEB的面積S3=12AD+BE·AB=ea+eb2·b-a。由S1lt;S2lt;S3得ea+b2·b-alt;eb-ealt;ea+eb2·b-a，即得不等式①。

由拉格朗日中值定理，曲線y=ex至少存在一條切線，其斜率eξ等于差商ea-eba-b。不等式①則表明“中值點(diǎn)”ξ∈a+b2，b。在不等式①中，令ea=x1，eb=x2，即得等價(jià)的（對(duì)數(shù)平均）不等式x1x2lt;x1-x2lnx1-lnx2lt;x1+x22，即2x1+x2lt;lnx1-lnx2x1-x2lt;1x1x2（記為②）。

作為基本初等函數(shù)中的重要模型，指（對(duì)）數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。將指（對(duì)）數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)運(yùn)算獲得新函數(shù)并研究新函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，是近些年高考命題中的?？汀６鲜霾坏仁舰佗谡呛芏喔呖碱}的命題背景。

（二） 問題設(shè)計(jì)：揭示主題本質(zhì)和構(gòu)建內(nèi)容聯(lián)系的命題路徑

基于對(duì)主題（內(nèi)容）的系統(tǒng)分析命制試題時(shí)，設(shè)計(jì)系列問題的立足點(diǎn)是揭示主題的本質(zhì)，并建立與主題相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容聯(lián)系（知識(shí)結(jié)構(gòu)）。

設(shè)計(jì)差商主題的系列問題時(shí)，我們以拉格朗日中值定理為命題背景，以單個(gè)函數(shù)為研究對(duì)象，揭示差商fx1-fx2x1-x2的本質(zhì)，刻畫函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和割線（切線）的斜率；并以兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系為研究對(duì)象，通過兩個(gè)差商的等量或不等關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)的最值與值域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)（方程的解）等性質(zhì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。具體路徑如下：

1. 立足代數(shù)視角變形差商，研究函數(shù)的單調(diào)性

“對(duì)任意x1、x2∈R，都有fx1-fx2x1-x2gt;0”是函數(shù)fx單調(diào)遞增的等價(jià)定義，由此，函數(shù)y=fx-cx單調(diào)遞增可以用差商fx1-fx2x1-x2gt;c來刻畫。以“函數(shù)y=fx-cx單調(diào)遞增”為背景設(shè)計(jì)問題，可以給出具體函數(shù)（含參數(shù)的解析式），根據(jù)單調(diào)性研究函數(shù)的最值或參數(shù)的取值范圍；也可以針對(duì)抽象函數(shù)，比較兩個(gè)量的大小或研究函數(shù)的零點(diǎn)。為了增加問題的思維量，還可以考慮（平移變換后的）函數(shù)y=fc+x-cx的性質(zhì)，例如：

問題1：若對(duì)任意x1、x2∈R，都有fx1-fx2x1-x2gt;M（M是實(shí)常數(shù)），則稱函數(shù)fx為“M函數(shù)”。

（1） 若fx=x3+x+c為“c函數(shù)”，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（2） 已知gx是“a函數(shù)”，且g0=-a2，求關(guān)于x的方程g（a+x）=ax解的個(gè)數(shù)。

2. 立足幾何視角提煉差商，研究函數(shù)的凹凸性和“中值點(diǎn)”的位置

由拉格朗日中值定理的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)“中值點(diǎn)”偏移的特征：對(duì)指（對(duì)）數(shù)函數(shù)而言，中值點(diǎn)偏移的代數(shù)表示就是上述不等式①②；而二次函數(shù)fx的“中值點(diǎn)”不偏移，即fx1-fx2x1-x2=f′x1+x22。

觀察下凸函數(shù)的圖像，還不難發(fā)現(xiàn)：下凸函數(shù)fx（導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增）在任意點(diǎn)x0處的割線斜率fx-fx0x-x0是單調(diào)遞增的。這個(gè)結(jié)論可以利用中值定理證明：

不妨設(shè)xgt;x0（當(dāng)xlt;x0時(shí)同理可證），記gx=fx-fx0x-x0，則g′x=f′xx-x0-［fx-fx0］x-x02=1x-x0·f′x-fx-fx0x-x0。由中值定理知，存在ξ∈x0，x，使得f′ξ=fx-fx0x-x0。由f′x單調(diào)遞增知f′xgt;f′ξ，故g′x=f′x-f′ξx-x0gt;0，于是gx單調(diào)遞增。

基于上述分析，可以選取符合要求的具體函數(shù)來設(shè)計(jì)問題，例如：

問題2：已知函數(shù)f（x）=x2-3x+2lnx。

（1） 求證：對(duì)任意正整數(shù)n，函數(shù)gx=fx-fnx-nxgt;n單調(diào)遞增；

（2） 是否存在等差數(shù)列x1、x2、x3（x1lt;x2lt;x3），使得曲線y=f（x）在點(diǎn)（x2，f（x2））處的切線與過兩點(diǎn)（x1，f（x1））、（x3，f（x3））的直線平行？若存在，求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由。

3. 設(shè)計(jì)兩個(gè)函數(shù)的差商相等，研究和（差）函數(shù)的零點(diǎn)

兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x）對(duì)應(yīng)的差商相等，即f（x1）-f（x2）x1-x2=g（x1）-g（x2）x1-x2，等價(jià)于fx1-gx1=fx2-gx2，即函數(shù)y=f（x）-g（x）的圖像與某個(gè)常值函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。類似的，函數(shù)y=f（x）+g（x）的圖像與某個(gè)常值函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，也可以用差商來刻畫。由此，便可以選取（含參數(shù)的）具體函數(shù)來設(shè)計(jì)問題，例如：

問題3：已知函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x2+ax，對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1、x2，設(shè)m=f（x1）-f（x2）x1-x2，n=g（x1）-g（x2）x1-x2，現(xiàn)有如下命題：① 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2，使得m=n；② 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2，使得m=-n。下列判斷正確的是（" ）

A. ①和②均為真命題

B. ①和②均為假命題

C. ①為真命題，②為假命題

D. ①為假命題，②為真命題

4. 設(shè)計(jì)兩個(gè)函數(shù)的差商不等，用一個(gè)函數(shù)“控制”另一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)

觀察函數(shù)圖像可以發(fā)現(xiàn)，若單調(diào)遞增的曲線gx上各點(diǎn)處的切線都比另一條曲線fx上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線“陡”，則gx上的每條弦（割線）都比fx上對(duì)應(yīng)的弦“陡”。這個(gè)直觀的幾何結(jié)論可以用抽象的代數(shù)形式表述：已知定義在R上的函數(shù)f（x）、gx的導(dǎo)數(shù)滿足f′（x）≤g′x，則對(duì)任意x1、x2∈Rx1≠x2，都有fx1-fx2x1-x2≤gx1-gx2x1-x2。該結(jié)論可以利用函數(shù)fx-gx、fx+gx的單調(diào)性來證明（過程省略），其中兩個(gè)函數(shù)差商的不等關(guān)系可以簡(jiǎn)化為fx1-fx2≤|gx1-gx2|。通過這個(gè)不等關(guān)系的約束，gx的奇偶性、最值與值域會(huì)控制f（x）的相應(yīng)性質(zhì)；f（x）的單調(diào)性會(huì)影響gx的單調(diào)性。以此為背景，無論是設(shè)計(jì)含參數(shù)的具體函數(shù)，還是設(shè)計(jì)滿足某些條件的抽象函數(shù)，都可以命制思維含量較高的試題，例如：

問題4：已知fx、gx是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x1、x2∈R，都有|fx1-fx2|≤gx1-gx2。

（1）若gx是偶函數(shù)，試判斷函數(shù)fx的奇偶性，并說明理由；

（2）若fx=sinx，gx=ax+x3，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若fx單調(diào)遞減，gx的圖像是連續(xù)曲線，求證：gx是單調(diào)函數(shù)；

（4）若gx的值域?yàn)閙，M，f0=m，f1=M，g0lt;g1，求證：fx=gx。

以上基于對(duì)差商本質(zhì)的挖掘，從不同的角度設(shè)計(jì)問題，構(gòu)建與差商相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容聯(lián)系（知識(shí)結(jié)構(gòu)）。 設(shè)計(jì)問題時(shí)，可以選用具體函數(shù)，通過引入?yún)?shù)來控制難度；也可以選用抽象函數(shù)，通過強(qiáng)化或弱化約束條件來控制難度。比如，強(qiáng)化問題4（3）的條件可以降低難度：若fx單調(diào)遞減，gx的圖像是連續(xù)曲線，g0lt;g1，求證gx在0，1上單調(diào)遞增。而差商主題系列問題的解答，基本上是通過適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來解決問題。

（三） 試題加工：契合具體考試的考查要求

圍繞主題從不同的角度設(shè)計(jì)系列問題（題胚）后，常常還需要根據(jù)具體考試內(nèi)容與形式方面的規(guī)范或習(xí)慣要求與導(dǎo)向，對(duì)題胚進(jìn)行篩選、組合和打磨，使之成為試題融入試卷。按照目前我國(guó)高考命題的風(fēng)格，最適合加工成3道小題構(gòu)成的解答題。

下面以一道基于差商主題原創(chuàng)命制的高考模擬卷壓軸題（上海市虹口區(qū)2024屆高三一模第21題）為例具體說明。

首先說明基于差商主題選取適當(dāng)角度確定的核心問題（題胚）。張景中院士提出“不用極限講微積分”的觀點(diǎn)，其微積分體系以差商為核心概念，這樣定義“導(dǎo)數(shù)” ［6］：已知函數(shù)fx、gx都定義在區(qū)間I上，若gx在I上差商有界，且對(duì)任意u，vI，都存在p、q∈u，v使得gp≤fu-fvu-v≤gq，則稱gx是fx的“導(dǎo)數(shù)”。這樣利用差商不等式定義的“導(dǎo)數(shù)”與傳統(tǒng)的利用差商極限定義的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是相通的?？梢赃@樣的定義為背景命制試題，考查學(xué)生對(duì)差商（導(dǎo)數(shù)）有關(guān)知識(shí)（方法）的掌握程度。

在上述定義中，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈u，v，使得f′ξ=fu-fvu-v。為了簡(jiǎn)化不等式，用hx替換f′x，再對(duì)hx、gx做一點(diǎn)限制，得到結(jié)論：設(shè)hx、gx是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，hx的值域?yàn)镽，若對(duì)I的任意子區(qū)間u，v，都存在ξ∈u，v，使得g（u）≤hξ≤g（v），則gx=hx，x∈I。證明如下：

若存在t1∈I使得gt1gt;ht1，考慮到hx單調(diào)遞增且值域?yàn)镽，故存在t2gt;t1使得ht2=gt1。由條件知存在c0∈t1，t2使得g（t1）≤hc0≤g（t2），于是有hc0≥gt1=ht2，由hx單調(diào)遞增知c0≥t2，矛盾。所以，對(duì)任意x∈I都有g(shù)x≤hx。同理可證，對(duì)任意x∈I都有g(shù)x≥hx。從而gx=hx，x∈I。

選定上述結(jié)論的證明作為核心問題（題胚）后，就正式進(jìn)入試題加工階段。

第一步，為了便于統(tǒng)一敘述系列問題（試題的各小問），常常引入新定義。這里，我們將核心問題中的gx稱為fx的“控制函數(shù)”——畢竟，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)教材中學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)不是這樣定義的。

第二步，選取問題載體。解決核心問題需要中值定理作為推理的工具。前文談到，高中研究以中值定理為背景的問題只能局限于具體（特殊）函數(shù)，常見的有多項(xiàng)式函數(shù)、指（對(duì)）數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的和（積）函數(shù)。設(shè)計(jì)提供中值定理的問題時(shí)，為了便于計(jì)算，我們選擇對(duì)數(shù)函數(shù)fx=lnx作為載體。此時(shí)，中值定理f′ξ=fb-fab-a等價(jià)于不等式1blt;lnb-lnab-alt;1a。這個(gè)不等式是不等式②的“放寬”，可以轉(zhuǎn)化為lnxlt;x-1x≠1后證明。設(shè)計(jì)核心問題時(shí)，為了避免具體函數(shù)的簡(jiǎn)單重復(fù)，又不至于另起爐灶增加計(jì)算量，我們選取與fx=lnx緊密關(guān)聯(lián)的函數(shù)y=xlnx作為載體。此外，為了引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，還應(yīng)該設(shè)計(jì)一個(gè)基礎(chǔ)題，以更簡(jiǎn)單的函數(shù)作為問題載體。二次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)進(jìn)入我們的視野。

第三步，斟酌設(shè)問方式。常見的設(shè)問方式無外乎判斷、求值（或范圍）、證明或探索（如“是否存在”）。在試題的3個(gè)設(shè)問中，第（1）問基礎(chǔ)題可以“判斷”的方式考查學(xué)生對(duì)概念（新定義）的理解，并暗示核心問題的思考方向；第（2）問中檔題可以“求范圍”或“證明”的方式為核心問題的解決提供方法（或工具）的引導(dǎo)；第（3）問難題可以“證明”或“探索”的方式考查學(xué)生對(duì)核心問題的認(rèn)識(shí)水平。3個(gè)小題3種設(shè)問方式錯(cuò)開，更能顯示命題的層次感。

基于上述思考，我們命制的高考模擬卷壓軸題如下：

已知f（x）與g（x）都是定義在I上的函數(shù)，若對(duì)任意x1、x2∈I，當(dāng)x1lt;x2時(shí)，都有g(shù)（x1）≤f（x1）-f（x2）x1-x2≤g（x2），則稱g（x）是f（x）的一個(gè)“控制函數(shù)”。

（1） 判斷函數(shù)y=2x是否為函數(shù)y=x2的一個(gè)控制函數(shù)，并說明理由；

（2） 設(shè)函數(shù)fx=lnx，0lt;alt;b，求證：關(guān)于x的方程fb-fab-a=f′x在區(qū)間a，b上有實(shí)數(shù)解；

（3） 函數(shù)fx=xlnx是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出f（x）的所有控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

第四步，分析試題考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的情況。在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課改背景下，試題的命制需要實(shí)現(xiàn)從“關(guān)注學(xué)生對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度或應(yīng)用能力”向“關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成”轉(zhuǎn)變。［7］喻平教授將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分成三個(gè)水平，即知識(shí)理解（一級(jí)水平）、知識(shí)遷移（二級(jí)水平）和知識(shí)創(chuàng)新（三級(jí)水平）。［8］我們借用該評(píng)價(jià)框架，分析得到上述試題考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的情況如表1所示。

最后需要指出，由于沒有實(shí)數(shù)理論和極限理論的支撐，高中階段導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用局限于

表1" 命制的試題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查情況

小題數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算

（1）一級(jí)水平一級(jí)水平一級(jí)水平

（2）—二級(jí)水平

（3）二級(jí)水平三級(jí)水平二級(jí)水平

具體函數(shù)，同時(shí)默認(rèn)初等函數(shù)的連續(xù)性并運(yùn)用零點(diǎn)存在定理來解決問題。在命制函數(shù)試題時(shí)，值得思考的問題是：如何不依賴于具體解析式（即針對(duì)抽象函數(shù)）來研究函數(shù)性質(zhì)，而不是無限制地將函數(shù)解析式變得越來越復(fù)雜（偏離了函數(shù)性質(zhì)研究的

軌道）？這將是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的數(shù)學(xué)教育研究課題，希望上述圍繞差商主題的試題命制研究能起到拋磚引玉的作用。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：8182.

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［3］ 胡鳳娟.主題式命題：來自法國(guó)數(shù)學(xué)高考試題的啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（25）：7478.

［4］ 韓繼偉.數(shù)學(xué)學(xué)科研究：課程改革中的燈塔［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2023（23）：3.

［5］ 胡晉賓，凌曉牧.高中數(shù)學(xué)教材中的差商主題研究［J］.中數(shù)數(shù)學(xué)雜志，2018（11）：46.

［6］ 張景中.不用極限怎樣講微積分［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（8）：19+12.

［7］ 史寧中，林玉慈，陶劍，等.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017（4）：814.

［8］ 喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（2）：1923+59.