摘? 要:平面幾何中的最值問題是歷年中考的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).當(dāng)問題中含有直角或定點(diǎn)與定長時(shí),則可根據(jù)圖形特征構(gòu)造圓,然后利用圓的性質(zhì)和相關(guān)幾何知識解決最值問題.
關(guān)鍵詞:平面幾何;最值問題;直角;構(gòu)造;圓
中圖分類號:G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A??? 文章編號:1008-0333(2024)14-0057-04
收稿日期:2024-02-15
作者簡介:朱錦灶(1977.1—),男,福建省莆田人,本科,中學(xué)一級教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
平面幾何中的最值問題倍受命題者的青睞,這類問題形式豐富多樣,涉及的知識較多,求解方法靈活,承載著一定的選拔性功能,對學(xué)生而言具有一定的難度.本文以可構(gòu)造輔助圓的幾何問題為例,談?wù)勅绾瓮ㄟ^構(gòu)造輔助圓巧妙解決一類與最值有關(guān)的平面幾何問題.
1 題型一:利用直角構(gòu)造圓
如果線段AB是定長,且∠APB=90°,則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以AB為直徑的圓.然后利用圓的性質(zhì)和相關(guān)平面幾何知識即可求解最值問題.
例1? 如圖1所示,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=4.點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn),∠ADM=∠BAP,則BM的最小值為[1].
解析? 設(shè)AD的中點(diǎn)為O,以O(shè)點(diǎn)為圓心,AO為半徑畫圓,如圖2所示.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以∠BAP+∠MAD=90°.因?yàn)椤螦DM=∠BAP,所以∠MAD+∠ADM=90°,所以∠AMD=90°,所以點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心,以AO為半徑的圓上,連接OB交圓O與點(diǎn)N.因?yàn)辄c(diǎn)B為圓O外一點(diǎn),所以當(dāng)直線BM過圓心O時(shí),BM最短.因?yàn)锽O2=AB2+AO2,AO=AD/2=2,所以BO2=9+4=13,所以BO=13,所以BM的最小值BN=BO-AO=13-2.
點(diǎn)評? 本題主要考查直角三角形、圓的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出點(diǎn)M的軌跡,然后利用直角三角形和圓的相關(guān)知識求解.
例2? 如圖3所示,四邊形ABCD中,AB//CD,AC⊥BC,∠DAB=60°,AD=CD=4,點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足∠AMD=90°,則△MBC面積的最小值為.
解析? 如圖4所示,取AD的中點(diǎn)O,連接OM,過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作OF⊥BC于F,交CD于G,則OM+ME≥OF.
因?yàn)锳B∥CD,∠DAB=60°,AD=CD=4,所以∠ADC=120°.因?yàn)锳D=CD, 所以∠DAC=30°,所以∠CAB=30°.因?yàn)锳C⊥BC,所以∠ACB=90°,所以∠B=90°-30°=60°,所以∠B=∠DAB,所以四邊形ABCD為等腰梯形,所以BC=AD=4.因?yàn)椤螦MD=90°,AD=4,OA=OD,所以O(shè)M=AD/2=2,所以點(diǎn)M在以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓上.因?yàn)锳BCD,所以∠GCF=∠B=60°,所以∠DGO=∠CGF=30°.因?yàn)镺F⊥BC,AC⊥BC,所以∠DOG=∠DAC=30°=∠DGO,所以DG=DO=2,所以O(shè)G=2OD·cos30°=23,GF=3,OF=33,所以ME≥OF-OM=33-2,當(dāng)O,M,E三點(diǎn)共線時(shí),ME有最小值33-2,所以△MBC面積的最小值為1/2×4×33-2=63-4.
點(diǎn)評? 本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識,確定點(diǎn)M軌跡的是解題關(guān)鍵.
例3? (1)如圖5所示,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC,交BD的延長線于點(diǎn)M,請計(jì)算AC/BD的值及∠AMB的度數(shù).
(2)在(1)的條件下,若OD=2,AB=8,將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周.
①當(dāng)直線DC經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段BD上時(shí),求AC的長;
②請直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中M點(diǎn)到直線OB距離的最大值[2].
解析? (1)AC/BD=3,∠AMB=90°,過程從略.
(2)①如圖6所示,當(dāng)直線DC經(jīng)過點(diǎn)B且點(diǎn)C在線段BD上時(shí),在△ODB中,∠D=60°,OB=AB/2=4.過點(diǎn)O作BD的垂線,垂足為H,則OH⊥BD.因?yàn)椤螪=60°,所以∠DOH=30°,所以HD=1,HO=3.在Rt△OHB中,由勾股定理得BH=BO2-OH2=16-3=13,所以BD=13+1.因?yàn)椤鱀OB∽△COA,所以AC/BD=3,即AC=3BD=3+39.
②如圖7所示,因?yàn)椤螦MB=90°,AB=8,所以點(diǎn)M的軌跡是圓弧,即點(diǎn)M在圓P上運(yùn)動(dòng),且∠OMB=∠OAB=30°.欲求點(diǎn)M到直線OB的最大值,需確定動(dòng)點(diǎn)M距離直線OB最遠(yuǎn)時(shí)的位置,根據(jù)圖形特征,點(diǎn)D的軌跡也是圓,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)極限位置取決于∠MBO的最大值.因?yàn)镺D=2,OB=4,所以當(dāng)且僅當(dāng)OD⊥BM時(shí),∠MBO取得最大值.即在Rt△ODB中,sin∠OBD=2/4=1/2,所以∠OBD=30°.過點(diǎn)M作OB的垂線,垂足為G,則MG⊥BG,即線段GM即為所求.在Rt△MGB中,sin∠GBM=MG/MB=1/2.因?yàn)椤螼BD=30°,所以∠MBA=60°-30°=30°.因?yàn)锳B=8,所以AM=4,MB=82-42=43,所以MG=BM/2=23,所以M點(diǎn)到直線OB距離的最大值為23.
點(diǎn)評? 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.從求解過程來看,學(xué)生需熟練掌握“手拉手”模型證明三角形相似.對于求點(diǎn)到直線的最大距離問題,要注意尋找動(dòng)點(diǎn)的軌跡和影響最大值的主要因素,進(jìn)而運(yùn)用幾何知識綜合判斷.
2 題型二:利用定點(diǎn)與定長構(gòu)造圓
設(shè)A為定點(diǎn),如果AM的長度為定值,則點(diǎn)M的軌跡是以A為圓心,AM的長為半徑的圓.如果題目涉及定點(diǎn)與定長,則可構(gòu)造圓,利用圓的性質(zhì)和相關(guān)幾何知識求解最值問題.
例4? 如圖8所示,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(6,0),B(0,6),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),BC=22,M為線段AC的中點(diǎn),連接OM,當(dāng)OM取最大值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
解析? 如圖9,因?yàn)辄c(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),BC=22,所以C在⊙B上,且半徑為22,在x軸上取OD=OA=6,連接CD.因?yàn)锳M=CM,OD=OA,所以O(shè)M是△ACD的中位線,所以O(shè)M=1/2CD,即當(dāng)OM最大時(shí),CD最大.而D,B,C三點(diǎn)共線時(shí),即當(dāng)C在DB的延長線上時(shí),OM最大.因?yàn)镺B=OD=6,∠BOD=90°,所以BD=62,所以CD=82,且C(2,8),所以O(shè)M=CD/2=42,所以O(shè)M的最大值為42.因?yàn)镸是AC的中點(diǎn),則M(4,4).
點(diǎn)評? 本題考查坐標(biāo)和圖形,三角形的中位線定理,勾股定理等知識.確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題關(guān)鍵,也是難點(diǎn).
例5? 如圖10所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),且EF=4,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn),連接AG,CG,則四邊形AGCD面積的最小值為[3].
解析? 如圖11所示,連接AC,過B作BH⊥AC于H,當(dāng)G在BH上時(shí),△ACG面積取最小值,此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值.四邊形AGCD面積等于△ACG與△ACD面積之和,即S四邊形AGCD=SΔACG+24.連接BG,由G是EF中點(diǎn),EF=4知,BG=2,故G在以B為圓心,BG為半徑的圓弧上,圓弧交BH于G′,此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值.由勾股定理得AC=10,又因?yàn)锳C/2·BH=AB/2·BC,所以BH=4.8,所以G′H=2.8,即四邊形AGCD面積的最小值為1/2×10×2.8+24=38.
點(diǎn)評? 本題考查了勾股定理及矩形中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題,解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,得到BG=2,從而確定出G點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心,2為半徑的圓.
例6? 如圖12所示,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D是BC的中點(diǎn),E為AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)B′在△ABC內(nèi)(不含△ABC的邊上),則BE長的范圍為.
解析? 因?yàn)辄c(diǎn)B與B′關(guān)于DE對稱,所以BD=B′D,則點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡在以D為圓心,BD為半徑的圓弧上.
①如圖13所示,當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在AB邊上時(shí),連接AD和DE,由題意及“三線合一”知,AD⊥BD,BD=BC/2=3.在Rt△ABD中,AD=AB2-BD2=52-32=4.根據(jù)對稱性得DE⊥AB.由等面積法得AB/2·DE=AD/2·BD,所以DE=12/5.
在Rt△BDE中,BE=BD2-DE2=95.
②如圖14所示,當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上時(shí),連接AD、DE、BB′和DB′,由題意,BD=DB′=DC,所以∠DBB′=∠DB′B,∠DB′C=∠DCB′,所以∠DBB′+∠DCB′=∠DB′B+∠DB′C,即∠BCB′+∠CBB′=∠BB′C,所以∠BB′C=90°,即BB′⊥AC.因?yàn)辄c(diǎn)B與B′關(guān)于DE對稱,所以DE⊥BB′,BE=B′E,所以DE//AC,所以∠BED=∠BAC,∠DEB′=∠AB′E.由對稱性得∠BED=∠DEB′,所以∠AB′E=∠BAC,所以AE=B′E,故AE=BE=B′E,即此時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),此時(shí)BE=AB/2=5/2.
綜上所述,BE長的范圍為9/5<BE<5/2.
點(diǎn)評? 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定,以及勾股定理解直角三角形等,能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡(即圓?。?,并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
3 結(jié)束語
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對平面幾何中的最值問題進(jìn)行歸納,并提煉出解決問題的方法,提高解題效率[4].如果∠APB=90°,且AB的長度為定值,那么點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.如果動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離是定值,那么點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心,AP的長為半徑的圓.這兩種情形是平面幾何的最值問題中比較常見的,可通過構(gòu)造圓,然后利用圓的性質(zhì)來解決.除此以外,如果AB的長為定值,且動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APB為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為弦的圓.學(xué)生熟悉以上有關(guān)圓的幾何模型,可提高分析問題和解決問題的能力,進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
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[4] 李鴻昌,曹瑩.例談平面幾何法“破解”圓錐曲線小題[J].數(shù)學(xué)通訊,2017(1):10-13.
[責(zé)任編輯:李? 璟]