付崇 李余文

摘要：研討學(xué)教法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的方法之一，研討學(xué)教法不僅能培養(yǎng)學(xué)生善于研究的思維，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識(shí)，還能營(yíng)造濃厚的研討學(xué)氛圍.本文中基于研討學(xué)教法的指導(dǎo)思想，以“求橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題”為例，在解題教學(xué)過程中抓住特征，通過問題串的形式，循序漸進(jìn)，從多個(gè)方面加以剖析，以期對(duì)學(xué)生解題思維的培養(yǎng)產(chǎn)生較好的效果，提高解題能力.

關(guān)鍵詞：研討學(xué)教法；解題教學(xué)；距離;最值

羅增儒教授認(rèn)為：“對(duì)典型例題進(jìn)行分析是提高解題能力的有效途徑.”解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)必不可少的，特別是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段.研討學(xué)教法在解題教學(xué)中是以實(shí)際問題為導(dǎo)向，教師引領(lǐng)學(xué)生研討，讓學(xué)生參與分析問題和解決問題，得到一般性的解題方法，提高學(xué)生解決問題的能力［1］.

本文中在研討學(xué)教法的基礎(chǔ)上還穿插了一題多解，從多角度、多途徑看待問題，有助于培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1 例題呈現(xiàn)與解析

求點(diǎn)P（0，3）到橢圓C：x22＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最值.

解析：在橢圓C上任取一點(diǎn)Q（x0，y0），且x0∈［－2，2］，y0∈［－1，1］.由兩點(diǎn)間的距離公式，可得|PQ|＝x20＋（y0－3）2.因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓C上，所以有x202＋y20＝1，則x20＝2－2y20.

故|PQ|＝－y20－6y0＋11＝－（y0＋3）2＋20.

因?yàn)閥0∈［－1，1］，所以當(dāng)y0＝1時(shí)，|PQ|有最小值2，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）；當(dāng)y0＝－1時(shí)，|PQ|有最大值4，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，－1）.

2 提出問題及探討

可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)Q為橢圓C的上下頂點(diǎn)時(shí)，|PQ|取得最值.

問題1? 那么對(duì)于y軸上的任意一定點(diǎn)P，是否都是點(diǎn)Q在橢圓的上下頂點(diǎn)處取到最值呢？如果不是，有什么聯(lián)系？

解析：設(shè)點(diǎn)P（0，t），橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.在橢圓C上任取一點(diǎn)Q（x0，y0），則|PQ|＝x20＋（y0－t）2.

令x0＝acos θ，y0＝bsin θ，則

|PQ|＝a2cos2θ＋b2sin2θ－2btsin θ＋t2

＝－（a2－b2）sin θ＋bta2－b22＋t2＋a2＋b2t2a2－b2.

因?yàn)閟in θ∈［－1，1］，所以有如下幾種情況：

①若bta2－b2＞1，即t＞a2－b2b時(shí)，當(dāng)sin θ＝1，|PQ|有最小值|t－b|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，b），位于橢圓的上頂點(diǎn)處；當(dāng)sin θ＝－1，|PQ|有最大值t＋b，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，－b），位于橢圓的下頂點(diǎn)處.

②若0≤bta2－b2≤1，即0≤t≤a2－b2b時(shí)，當(dāng)sin θ＝1，|PQ|有最小值|t－b|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，b），位于橢圓的上頂點(diǎn)處；當(dāng)sin θ＝－bta2－b2，|PQ|有最大值b2t2a2－b2＋t2＋a2，此時(shí)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為±a（a2－b2）2－b2t2a2－b2，

－b2ta2－b2.

③若－1≤bta2－b2＜0，即－a2－b2b≤t＜0時(shí)，當(dāng)

sin θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋b|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，－b），位于橢圓的下頂點(diǎn)處；當(dāng)sin θ＝－bta2－b2，|PQ|有最大值b2t2a2－b2＋t2＋a2，此時(shí)可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為±a（a2－b2）2－b2t2a2－b2，－b2ta2－b2.

④若bta2－b2＜－1，即t＜－a2－b2b時(shí)，當(dāng)sin θ＝1，

|PQ|有最大值b－t，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，b），位于橢圓的上頂點(diǎn)處；當(dāng)sin θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋b|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，－b），位于橢圓的下頂點(diǎn)處.

通過以上4種討論結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿足t＞a2－b2b，或者t＜－a2－b2b時(shí)，點(diǎn)Q在橢圓的上下頂點(diǎn)處取到最值.

問題2? 若點(diǎn)P不在y軸上，而在x軸上，又應(yīng)滿足什么情況？

解析：設(shè)點(diǎn)P（t，0），橢圓C的方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.在橢圓C上任取一點(diǎn)Q（x0，y0），則|PQ|＝（x0－t）2＋y20.

令x0＝acos θ，y0＝bsin θ，則

|PQ|＝a2cos2θ＋b2sin2θ－2atcos θ＋t2

＝（a2－b2）cos2θ－2atcos θ＋t2＋b2

＝（a2－b2）cos θ－ata2－b22＋t2＋b2－a2t2a2－b2.

因?yàn)閏os θ∈［－1，1］，所以有如下幾種情況：

①若ata2－b2＞1，即t＞a2－b2a時(shí)，當(dāng)cos θ＝－1，

|PQ|有最大值t＋a，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－a，0），位于橢圓的左頂點(diǎn)處；當(dāng)cos θ＝1，|PQ|有最小值|t－a|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0），位于橢圓的右頂點(diǎn)處.

②若0≤ata2－b2≤1，即0≤t≤a2－b2a時(shí)，當(dāng)cos θ＝－1，|PQ|有最大值t＋a，此時(shí)點(diǎn)Q為（－a，0），位于橢圓的左頂點(diǎn)處；當(dāng)cos θ＝ata2－b2，|PQ|有最小值

t2+b2-a2t2a2-b2，點(diǎn)Q為a2ta2－b2，±b（a2－b2）2－a2t2a2－b2.

③若－1≤ata2－b2＜0，即－a2－b2a≤t＜0時(shí)，當(dāng)cos θ＝1，|PQ|有最大值a－t，此時(shí)Q為（a，0），位于橢圓的右頂點(diǎn)處；當(dāng)cos θ＝ata2－b2，|PQ|有最小值t2+b2-a2t2a2-b2，點(diǎn)Q為a2ta2－b2，±b（a2－b2）2－a2t2a2－b2.

④若ata2－b2＜－1，即t＜－a2－b2a，當(dāng)cos θ＝1，|PQ|有最大值a－t，此時(shí)Q的坐標(biāo)為（a，0），位于橢圓的右頂點(diǎn)處；當(dāng)cos θ＝－1，|PQ|有最小值|t＋a|，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－a，0），位于橢圓的左頂點(diǎn)處.

通過以上4種討論結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，與問題1有相似的結(jié)論.

問題3? 若點(diǎn)P不是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，而是象限內(nèi)的點(diǎn)，那如何求其最值呢？

對(duì)求這個(gè)問題，下面提供三種解法.

解法1：導(dǎo)數(shù)法.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），在橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）

上任意取一點(diǎn)Q（x0，y0），由兩點(diǎn)間的距離公式，可得到

|PQ|＝（m－x0）2＋（n－y0）2

＝m2＋n2－2mx0－2ny0＋x20＋y20，又點(diǎn)Q在橢圓上，故有x20a2＋y20b2＝1，即y20＝b2－b2x20a2，所以|PQ|＝m2＋n2－2mx0±2nb2－b2x20a2＋x20＋b2－b2x20a2.

于是構(gòu)造函數(shù)f（x）＝m2＋n2－2mx±2nb2－b2x2a2＋

x2＋b2－b2x2a2，則f′（x）＝－2m＋21－b2a2x±2nb2a2＼5xxb2－b2x2a2.令f′（x）＝0，得

41－b2a22x2－8m1－b2a2x＋4m2＝4n2b4a4x2b2－b2x2a2.

上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以b2－b2x2a2，變形為

b2a21－b2a22x4-2mb2a2b2a2－1x3＋m2b2a2＋n2b4a4－b21－b2a22x2＋2mb21－b2a2x－4m2b2＝0.

可知這是一個(gè)關(guān)于x的一元四次方程.

評(píng)注：結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，利用橢圓的方程用含x的關(guān)系式來表示y，代入所求的距離公式，通過等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)f（x），通過求導(dǎo)處理，并確定導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得以確定其最值.導(dǎo)數(shù)法是破解一些代數(shù)關(guān)系式最值時(shí)常用的方法之一.

解法2：切線方程法.

設(shè)P（m，n），在橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）

上任意取一點(diǎn)Q（x0，y0），過Q點(diǎn)作橢圓C的切線l，則切線l的方程為x0xa2＋y0yb2＝1，易知在取到最值時(shí)應(yīng)滿足l⊥lPQ，即斜率乘積為－1.

易知kl＝－b2x0a2y0，又lPQ的斜率kPQ＝n－y0m－x0，故kPQkl＝－b2x0a2y0＼5n－y0m－x0＝－1，于是可得y0＝－nb2x0（a2－b2）x0－ma2.又點(diǎn)Q在橢圓上，所以有y20＝b2－b2x20a2，與前式聯(lián)立，得nb2x0（a2－b2）x0－ma22＝b2－b2x20a2，變形為b2（a2－b2）2x40＋2ma2b2（b2－a2）＼5x30＋［n2a2b4＋

m2b2a4－b2a2（a2－b2）2］x20＋2ma4b2＼5（a2－b2）x0－m2b2a6＝0.

可知這是一個(gè)關(guān)于x0的一元四次方程.

解法3：拉格朗日乘數(shù)法.

在解法1中，我們知道橢圓上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)P的距離|PQ|＝m2＋n2－2mx0－2ny0＋x20＋y20，又x20a2＋y20b2＝1，則可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）＝m2＋n2－2mx－2ny＋x2＋y2＋λx2a2＋y2b2－1，將L（x，y，λ）分別對(duì)x，y，λ求一階偏導(dǎo)數(shù)，即

L′x（x，y，λ）＝2x＋2λxa2－2m＝0，L′y（x，y，λ）＝2y＋2λyb2－2n＝0，L′λ（x，y，λ）＝x2a2＋y2b2－1＝0.

聯(lián)立方程，得（a2＋λ）2（b2＋λ）2＝a2m2（b2＋λ）2＋b2n2（a2＋λ）2，變形整理為

λ4＋（2a2＋2b2）λ3＋（a4＋4a2b2＋b4－a2m2－b2n2）λ2＋（2a4b2＋2a2b4－2a2b2m2－2a2b2n2）λ＋a4b4－a2b4m2－a4n2b2＝0.

可知，這是一個(gè)關(guān)于λ的一元四次方程.

評(píng)注：拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，

其定義是——給定二元函數(shù)z＝f（x，y）和附加條件Φ（x，y）＝0，為尋找z＝f（x，y）在Φ（x，y）＝0條件下的極值點(diǎn)，則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）＝f（x，y）＋λΦ（x，y），其中λ為參數(shù).求L（x，y，λ）對(duì)x，y，λ的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們分別等于零，并與Φ（x，y）＝0聯(lián)立，解出x，y和λ，解得的點(diǎn)（x，y）就是函數(shù)z＝f（x，y）在附加條件Φ（x，y）＝0下的可能極值點(diǎn).本題中的二元函數(shù)z＝f（x，y）＝m2＋n2－2mx－2ny＋x2＋y2，附加條件Φ（x，y）＝x2a2＋y2b2－1.

這三種解法求到最后都是得到一個(gè)形如ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0的一元四次方程，由于一元四次方程的求根公式過于繁瑣，本文中就不再陳述.在平常學(xué)生做題時(shí)，若利用求根公式解一元四次方程，那是難以完成的事情.但是對(duì)于這個(gè)問題，是否有別的解法？當(dāng)然有，例如函數(shù)極值分析方法、數(shù)值迭代的最優(yōu)化方法［2］，這些方法都屬于大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的方法，這些方法因?yàn)椴皇潜疚年U述的重點(diǎn)，因此不再討論.有興趣的讀者可以閱讀文獻(xiàn)［2］.

對(duì)于橢圓上的點(diǎn)到象限內(nèi)的定點(diǎn)的距離的最值問題，作為中學(xué)一線數(shù)學(xué)教師，還是需要繼續(xù)研究探索出高中學(xué)生能接受的破解方法.

3 鏈接高考

橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離的最值問題一直是高考的熱點(diǎn)問題.

高考真題? （2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第21題）已知橢圓x212＋y2＝1，設(shè)A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q0，12在線段AB上，直線PA，PB分別交直線l：y＝－12x＋3于C，D兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)P到橢圓上的點(diǎn)的距離的最大值；

（2）略.

本題中第（1）問求點(diǎn)P到橢圓上的點(diǎn)的距離的最大值，通過兩點(diǎn)間的距離公式和消元的思想即可求出，其最小值很顯然是0，故沒有涉及求最小值.請(qǐng)讀者可結(jié)合本文所述內(nèi)容自行完成.

參考答案：121111.

4 總結(jié)與感悟

4.1 總結(jié)

橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題，可分為兩種，第一種為橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上定點(diǎn)距離的最值問題，第二種為橢圓上的點(diǎn)到象限內(nèi)定點(diǎn)距離的最值問題.因?yàn)榈诙N中的問題通過文中的導(dǎo)數(shù)法、切線方程法、拉格郎日乘數(shù)法等方法解決，最后得到的都是一個(gè)一般的一元四次方程，而一般的一元四次方程對(duì)于高中生來說是很難求解的.目前對(duì)于這個(gè)問題高中生能掌握的解法，還需進(jìn)一步探索.故第一種問題是?？碱}型，也是近年高考考查的熱點(diǎn)問題.

4.2 感悟

新課改提倡教師角色應(yīng)由“教書匠”轉(zhuǎn)化為“研究者”，由“教導(dǎo)者”轉(zhuǎn)化為“促進(jìn)者”.通過對(duì)以上問題的探討，我們知道數(shù)學(xué)因問題而生，探究因問題而明，課堂因問題而精彩.作為一名數(shù)學(xué)教師，我們要帶著問題精備、精講、精練，將研討學(xué)教法貫穿教學(xué)始終，有效地穿插一題多解、一題多問等，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，以及教師的專業(yè)素養(yǎng)均會(huì)有所提高，從而穩(wěn)步提高教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］李紅慶.中學(xué)數(shù)學(xué)研討學(xué)教法課堂教學(xué)模式研究［J］.新教育，2022（10）：17-20.

［2］潘漢軍，劉婭.橢圓上距離任意已知點(diǎn)最遠(yuǎn)或最近的點(diǎn)分析［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004（8）：167-173.