裘陸勤 徐雪剛
[摘? 要] 為了融入理性思維,構(gòu)建關(guān)系模型,研究者以“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”一課教學(xué)為例,探索讓學(xué)生在初步探究中認(rèn)識(shí)單價(jià)含義,在深入探究中建立并理解數(shù)量關(guān)系,在知識(shí)應(yīng)用中發(fā)展理性思維。
[關(guān)鍵詞] 理性思維;關(guān)系模型;數(shù)量關(guān)系
【教學(xué)內(nèi)容】
“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”。
【教學(xué)過(guò)程】
一、初步探究,認(rèn)識(shí)單價(jià)含義
1. 初步感知什么是單價(jià)
師:小紅家樓下有一個(gè)小超市,生意火爆,她連續(xù)6天調(diào)查了這家超市牛奶的銷售情況(如表1)。你們能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題并列式解答嗎?
生1:每盒牛奶多少錢(qián)?算式是20÷4=5(元)。
生2:8盒牛奶要多少元?算式是5×8=40(元)。
生3:50元能買(mǎi)幾盒牛奶?算式是50÷5=10(盒)。
生4:星期六賣(mài)出牛奶多少元?算式是1×5=5(元)。
師:在購(gòu)物中,我們把賣(mài)出商品的盒數(shù)、件數(shù)、個(gè)數(shù)叫作“數(shù)量”,一共收入的錢(qián)叫作“總價(jià)”。每1盒牛奶的價(jià)格叫作“單價(jià)”,寫(xiě)作5元/盒,讀作“5元每盒”或“每盒5元”,表示牛奶的單價(jià)是每盒5元。
師:剛才有的同學(xué)算出星期六賣(mài)出牛奶的總價(jià)是5元,正好是1盒牛奶的價(jià)格。所以當(dāng)我們只買(mǎi)1件商品時(shí),所付出的錢(qián)就是這款商品的單價(jià),也是所購(gòu)買(mǎi)商品的總價(jià)。(出示商品的單價(jià):巧克力10元/塊、荔枝8.99元/500g、按摩椅12元/13分鐘、薯片25元/罐、獼猴桃5元/個(gè)、礦泉水3元/瓶、棒棒糖1元/根、面包5元/個(gè)、電的價(jià)格是0.64元/度)同學(xué)們,你們知道這些單價(jià)表示什么意思嗎?
生5:巧克力每塊10元,荔枝每500g要8.99元,按摩椅每13分鐘要12元……
設(shè)計(jì)意圖:數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的思考、描述、表征、解釋、理解和應(yīng)用,其目的是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)和形的規(guī)律,推動(dòng)社會(huì)的進(jìn)步和人類的發(fā)展。學(xué)生對(duì)于購(gòu)物中的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)并不陌生,教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活中提煉單價(jià)的含義,進(jìn)而建構(gòu)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在理解單價(jià)含義的過(guò)程中要經(jīng)歷三個(gè)階段:(1)知道單價(jià)是每件商品的價(jià)格;(2)能正確讀和寫(xiě)出單價(jià),并解釋商品單價(jià)表示的含義;(3)能初步理解單價(jià)和總價(jià)在不同情境中的相對(duì)性。
2. 感悟單價(jià)和總價(jià)的相對(duì)性
師:國(guó)慶節(jié)到了,這家超市搞促銷活動(dòng),把12盒牛奶打包成1提,這提牛奶要多少元?
生6:每提牛奶是5×12=60(元)。
師:這里的“60元”是單價(jià)還是總價(jià)?
生7:“60元”表示單價(jià),因?yàn)楝F(xiàn)在牛奶是按“1提”來(lái)賣(mài)的。
生8:“60元”表示總價(jià),因?yàn)?0元是12盒牛奶的總價(jià)。
師:由此可見(jiàn),一個(gè)錢(qián)數(shù)究竟表示單價(jià)還是總價(jià),是由什么來(lái)決定?
生9:主要看購(gòu)物中以多少個(gè)商品為1份。
師:當(dāng)我們把若干個(gè)商品看作“1份”來(lái)銷售時(shí),這些商品的總價(jià)構(gòu)成了新的單價(jià)。(動(dòng)畫(huà)演示:“60元/提”變?yōu)椤?0元/提”)你們知道為什么每提牛奶計(jì)算出來(lái)是60元,現(xiàn)在只標(biāo)價(jià)“50元/提”了?
生10:因?yàn)檎豳u(mài),這樣賺錢(qián)更快,可以優(yōu)惠顧客。
師:說(shuō)得真好!在實(shí)際生活中,很多商品批發(fā)和零售的單價(jià)不一樣。
設(shè)計(jì)意圖:為了進(jìn)一步幫助學(xué)生理解單價(jià)和總價(jià)在不同情境中的相對(duì)性,教師組織學(xué)生辨析“60元”究竟是單價(jià)還是總價(jià),讓他們發(fā)現(xiàn)單價(jià)和總價(jià)的判斷標(biāo)準(zhǔn)主要看購(gòu)物中以多少個(gè)商品為1份。同時(shí),教師組織學(xué)生計(jì)算以12盒牛奶為1提的價(jià)格,并出示現(xiàn)實(shí)生活中超市提供的價(jià)格,讓他們?cè)诒容^中感悟商品批發(fā)和零售的不同定價(jià)方式,從而幫助學(xué)生在頭腦中形成豐富且具象的單價(jià)。
二、開(kāi)展探究,理解數(shù)量關(guān)系
1. 縱向解決問(wèn)題,構(gòu)建數(shù)量關(guān)系
師:買(mǎi)單價(jià)是50元/提的牛奶5提,需要多少錢(qián)?
生1:50×5=250(元),買(mǎi)5提牛奶需要250元。
師:你是怎么想的?為什么用乘法計(jì)算?
生1:每提牛奶50元,買(mǎi)了5提,每提牛奶的價(jià)格乘以買(mǎi)的提數(shù)等于一共用了多少錢(qián)。
師:剛才我們解決了5提牛奶總價(jià)的問(wèn)題,在實(shí)際生活中用50×5還能解決哪些問(wèn)題呢?請(qǐng)你編寫(xiě)一道50×5的算式應(yīng)用題。
學(xué)生的反饋:(1)每本書(shū)的價(jià)格是50元,買(mǎi)5本書(shū)要多少錢(qián)?(2)每小時(shí)行駛50千米,5小時(shí)一共行駛多少千米?(3)每分鐘生產(chǎn)50個(gè)零件,5分鐘一共生產(chǎn)了多少個(gè)零件?(4)每個(gè)教室有50個(gè)同學(xué),5個(gè)教室一共有多少同學(xué)?(5)工程隊(duì)每天修路50千米,5天修路多少千米?……
師:同學(xué)們,看來(lái)用50×5這個(gè)算式可以解決很多問(wèn)題。如果我們把這些數(shù)學(xué)問(wèn)題分類,你們會(huì)按照什么標(biāo)準(zhǔn)分?
生2:我們可以根據(jù)在生活中的用途來(lái)分,比如買(mǎi)東西要多少錢(qián)是購(gòu)物問(wèn)題,行駛多少千米是行駛問(wèn)題,生產(chǎn)多少個(gè)零件是生產(chǎn)問(wèn)題,工程隊(duì)修路多少千米是工程問(wèn)題,5個(gè)教室有多少同學(xué)是一般的乘法問(wèn)題……
師:在數(shù)學(xué)上,我們可以分為購(gòu)物問(wèn)題、路程問(wèn)題和工作問(wèn)題等模型,這些問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的乘法問(wèn)題,你們還記得它們的數(shù)量關(guān)系嗎?
生3:每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。
師:是的,在購(gòu)物問(wèn)題中,每份數(shù)相當(dāng)于單價(jià),份數(shù)相當(dāng)于數(shù)量,總數(shù)相當(dāng)于總價(jià),所以數(shù)量關(guān)系是單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)。在路程問(wèn)題中,每份數(shù)相當(dāng)于速度,份數(shù)相當(dāng)于時(shí)間,總數(shù)相當(dāng)于路程……在購(gòu)物問(wèn)題中,已知單價(jià)和數(shù)量,求總價(jià)是用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”;已知總價(jià)和單價(jià),怎么求數(shù)量?已知總價(jià)和數(shù)量,怎么求單價(jià)?
生4:總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量,總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)。
設(shè)計(jì)意圖:一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型、解決實(shí)際問(wèn)題。在本節(jié)課中,模型意識(shí)的具體表現(xiàn)是學(xué)生知道在解決一類問(wèn)題時(shí)往往可以找到一個(gè)典型的模型,解決同類問(wèn)題時(shí)可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)模型,即第一步是結(jié)合具體情境感知用乘法算式求總價(jià);第二步是尋找同一個(gè)乘法算式可以表示不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題;第三步是在分類中建立數(shù)量關(guān)系模型,并提煉出最基本的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了購(gòu)物問(wèn)題的建模全過(guò)程后,他們就能主動(dòng)地將建立模型的方法運(yùn)用到路程問(wèn)題和工程問(wèn)題中,實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法的正遷移。
2. 橫向解決問(wèn)題,靈活運(yùn)用關(guān)系
師:小紅到超市買(mǎi)一些牛奶,帶去的錢(qián)正好可以買(mǎi)單價(jià)5元/盒的牛奶40盒,小紅想買(mǎi)50元/提的牛奶,可以買(mǎi)多少提?
生5:根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià),算出總價(jià)是40×5=200(元);我本來(lái)想算200÷50,發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式?jīng)]有學(xué)過(guò),就根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià),算50×(? )=200,得到數(shù)量是4提。
生6:根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià),算出總價(jià)是40×5=200(元);發(fā)現(xiàn)200÷50沒(méi)有學(xué)過(guò),根據(jù)總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià),算200÷(? )=50,得到數(shù)量是4提。
生7:先根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià),算出總價(jià)是40×5=200(元);再根據(jù)總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量,算出數(shù)量是200÷50=4(提)。
生8:這里的“5元/盒”和“50元/提”都是單價(jià),“40盒”和“幾提”都是數(shù)量,根據(jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià),50÷5=10表示單價(jià)擴(kuò)大了10倍,要保持乘法算式的積不變,所以數(shù)量就要縮小10倍,40÷10=4(提)。
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在上一環(huán)節(jié)中構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型,并且學(xué)會(huì)運(yùn)用模型解決一步計(jì)算的購(gòu)物問(wèn)題。為了促使學(xué)生能靈活運(yùn)用模型解決兩步計(jì)算的購(gòu)物問(wèn)題,串聯(lián)起不同數(shù)量關(guān)系之間的變式,教師鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維的靈活性和發(fā)散性。
三、知識(shí)應(yīng)用,發(fā)展理性思維
師:超市在進(jìn)貨時(shí),批發(fā)商都是以4提為1箱銷售,如果你是批發(fā)商老板,會(huì)定價(jià)多少元?
生1:我會(huì)定價(jià)300元。
生2:300元太高了,超市老板給的每提單價(jià)是50元/提,4提就是200元,所以我會(huì)定價(jià)200元。
生3:我會(huì)定價(jià)190元,因?yàn)槌欣习遒u(mài)出4提的總價(jià)是200元,如果批發(fā)商老板的定價(jià)是200元,那么超市老板就沒(méi)有錢(qián)賺了,所以批發(fā)商老板的定價(jià)要比200元少。
生4:我會(huì)定價(jià)180元,這樣超市老板每箱牛奶可以賺20元。
生5:我會(huì)定價(jià)170元,這樣超市老板每箱牛奶可以賺30元。
師:批發(fā)商確定牛奶的單價(jià)是180元/箱,如果你是超市老板,一次性會(huì)進(jìn)貨多少箱,要付多少錢(qián)?
教師將學(xué)生的回答整理成一張表格(如表2)。
師:同學(xué)們,請(qǐng)你觀察這張表格中的信息,你發(fā)現(xiàn)了什么?
生6:牛奶的單價(jià)不變,箱數(shù)越多,總價(jià)越大;箱數(shù)越少,總價(jià)越小。
生7:雖然數(shù)量和總價(jià)在變化,同一種商品的單價(jià)始終不變。
師:有的人想進(jìn)貨2箱,有的人想進(jìn)貨100箱,你們剛才在確定一次性進(jìn)貨數(shù)量的時(shí)候考慮了哪些因素?
生8:我們要考慮牛奶的生產(chǎn)日期、超市平時(shí)銷售牛奶的情況、牛奶的保質(zhì)期、平時(shí)牛奶的進(jìn)貨價(jià)格是否經(jīng)常波動(dòng)、進(jìn)貨的運(yùn)輸成本……
師:是的,超市老板在進(jìn)貨時(shí)要考慮很多因素,如果是小超市老板,可以一次性進(jìn)貨10箱;如果是大超市老板,可以一次性進(jìn)貨100箱甚至更多,我們需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行變通。
設(shè)計(jì)意圖:“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”這個(gè)數(shù)學(xué)模型主要應(yīng)用在購(gòu)物情境中,教師讓學(xué)生假設(shè)成批發(fā)商老板,合理地確定每箱牛奶的定價(jià);讓學(xué)生假設(shè)成超市老板,不僅學(xué)會(huì)從多角度思考一次性進(jìn)貨多少箱比較合理,還發(fā)現(xiàn)了單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)中的函數(shù)關(guān)系。
四、全課小結(jié),深化理性思維
師:同學(xué)們,通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),你們有什么收獲?你們對(duì)購(gòu)物問(wèn)題有哪些新的認(rèn)識(shí)?