于欣

【摘要】本文圍繞初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“三角形”相關(guān)定理展開(kāi)，提出一系列教學(xué)策略和相關(guān)理論.強(qiáng)調(diào)通過(guò)組織實(shí)踐活動(dòng)和討論的方式，將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.論述問(wèn)題分析在學(xué)生解題過(guò)程中的關(guān)鍵作用，包括理清問(wèn)題背景、識(shí)別問(wèn)題類(lèi)型、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等步驟.最后，通過(guò)糅合實(shí)例展示如何運(yùn)用這些理論和策略，解決涉及“三角形”相關(guān)定理的實(shí)際問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問(wèn)題的綜合能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角形；解題教學(xué)

1 引言

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，深入探討“三角形”相關(guān)定理是學(xué)生建立堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的關(guān)鍵.問(wèn)題分析作為解題的核心步驟，通過(guò)理清問(wèn)題背景、識(shí)別問(wèn)題類(lèi)型、運(yùn)用已學(xué)知識(shí)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、推理和證明等環(huán)節(jié)，能夠培養(yǎng)學(xué)生深刻的數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決能力.通過(guò)組織實(shí)踐活動(dòng)、小組討論、案例分析等形式，將理論知識(shí)與實(shí)際情境相結(jié)合，能夠提升學(xué)生對(duì)三角形相關(guān)定理的理解和應(yīng)用水平.這一綜合的教學(xué)策略旨在通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決、合作學(xué)習(xí)、案例分析等多層次手段，培養(yǎng)學(xué)生深入理解和運(yùn)用三角形相關(guān)定理的能力.通過(guò)這樣的教學(xué)方法，學(xué)生不僅能在理論層面有所掌握，更能在實(shí)際情境中熟練應(yīng)用，為數(shù)學(xué)學(xué)科的深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2 初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“三角形”相關(guān)定理的問(wèn)題分析

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，問(wèn)題分析是學(xué)生培養(yǎng)解題能力的關(guān)鍵步驟，尤其在涉及“三角形”相關(guān)定理的情境下.學(xué)生應(yīng)理清問(wèn)題的背景，包括角度、邊長(zhǎng)等基本信息，以建立清晰的問(wèn)題認(rèn)知.學(xué)生需識(shí)別問(wèn)題類(lèi)型，明確所屬的定理范疇，為選擇合適的解題策略奠定基礎(chǔ).在運(yùn)用已學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生需要靈活運(yùn)用相關(guān)定理，將問(wèn)題信息與數(shù)學(xué)概念有機(jī)結(jié)合，形成解題思路.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是問(wèn)題分析的關(guān)鍵一環(huán)，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)式，為后續(xù)的計(jì)算提供方向.推理和證明的運(yùn)用則有助于確保所得結(jié)論的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.此外，學(xué)生在問(wèn)題分析時(shí)應(yīng)特別關(guān)注可能存在的特殊情況，以深入理解定理的適用范圍.通過(guò)全面深入的問(wèn)題分析，學(xué)生能夠更有針對(duì)性地運(yùn)用三角形相關(guān)定理，提高解題效率，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題分析能力［1］.

3 一些初中數(shù)學(xué)解題中“三角形”相關(guān)例題

3.1 三角形的基本性質(zhì)題型

這類(lèi)題型通常涉及三角形的內(nèi)角和、邊長(zhǎng)關(guān)系、等腰三角形和等邊三角形的特性等，考查學(xué)生對(duì)三角形性質(zhì)的掌握程度［2］.

例1 如圖1所示，在直角△ABC中，AB=AC.點(diǎn)D在邊BC上，BD=2DC.點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，使得DE=AD.求BE和CE的長(zhǎng)度關(guān)系.

解析

由題可知，△ABC是一個(gè)等腰直角三角形，而B(niǎo)D=2DC，利用賦值法，令BC=6，

得BD=4，DC=2.

作垂線AF和EG分別交BC于F，G兩點(diǎn)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到AF=3，

而DE=AD，∠CDE=∠ADB，

∠AFD=∠EGD=90°，

故△AFD≌△EGD，

AF=EG=3，F(xiàn)D=DG=GC=1.

已知了這些邊的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理，

可得BE=BG2+GE2CE=CG2+GE2，

解得BE=52+32=34CE=12+32=10.

最終可以得到BE和CE的長(zhǎng)度關(guān)系為

BECE=175.

3.2 三角形的相似與全等題型

這類(lèi)題目要求學(xué)生理解和應(yīng)用三角形全等的判定條件（SSS、SAS、SAS、AAS）和相似的判定條件（AA、SSS）.

例2 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC上一點(diǎn)，BD⊥AC，求證：△ABC與△BDC相似.

解析

分析已知條件：△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.

D點(diǎn)在AC上，BD⊥AC.

令△ABC中的∠BAC為α，由于△ABC是直角三角形，因此∠ACB=90°－α.

在△BDC中，由于BD⊥AC，

所以∠BDC=90°.

證明相似性

在△ABC中，已知∠BAC=α，∠ABC=90°，∠ACB=90°－α.在△BDC中，我們知道∠BDC=90°，∠DBC=α（因?yàn)樗恰螧CA的余角）.因此，∠BAC與∠DBC相等.

應(yīng)用相似三角形的原則：根據(jù)角角角相似（AA）原則，當(dāng)兩個(gè)三角形的兩對(duì)角分別相等時(shí)，這兩個(gè)三角形相似.在此情況下，∠BAC=∠DBC和∠ABC=∠BCD，因此△ABC與△BDC相似.

3.3 三角形的面積和高度題型

此類(lèi)題目涉及計(jì)算三角形的面積、高度，以及應(yīng)用海倫公式和其他相關(guān)公式［3］.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm.點(diǎn)D在邊AC上，使得AD=3cm.求△ABD的面積.

解析

先使用海倫公式計(jì)算△ABC的面積.

首先計(jì)算半周長(zhǎng)s：s=12+9+152=18cm.

然后，應(yīng)用海倫公式：

S△ABC=ss－12s－9s－15，代入s，

解得：S△ABC=2916=54cm2.

作CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F.

由于共用∠CAB，且∠CEA=∠DFA=90°，故△CEA與△DFA相似，

而AC=3AD，得CE=3DF.

根據(jù)三角形面積公式，△ABD和△ABC以AB為底時(shí)，△ABC的高是△ABD的高的3倍，

故S△ABD=13S△ABC=18cm2.

4 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，以“三角形”相關(guān)定理為核心的問(wèn)題分析策略顯得至關(guān)重要.通過(guò)理清問(wèn)題背景、識(shí)別問(wèn)題類(lèi)型、運(yùn)用已學(xué)知識(shí)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以及推理和證明等步驟，學(xué)生能夠更深入、更靈活地運(yùn)用相關(guān)定理解決各類(lèi)問(wèn)題.實(shí)踐活動(dòng)和討論的引入，如實(shí)際問(wèn)題解決活動(dòng)、小組討論和數(shù)學(xué)游戲，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作和交流能力，也增加了解題的趣味性.通過(guò)這一教學(xué)模式，學(xué)生在問(wèn)題分析中能夠更全面、深刻地理解三角形相關(guān)定理，提高解題效率，同時(shí)培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題分析能力.

參考文獻(xiàn)：

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［2］唐麗.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)抽象”下的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略——以“探索三角形全等條件”為例［J］.數(shù)理化解題研究，2023（26）：32-34.

［3］劉曉晴.初中二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略與教學(xué)研究［D］.廣州：廣州大學(xué)，2023.