徐友勇 周煉

[ 摘 要 ]文章從世界名畫《蒙娜麗莎》入手，以數(shù)學(xué)文化視角設(shè)計(jì)了藝術(shù)欣賞、工具開發(fā)、不同視角、綻放華彩、數(shù)字探秘、自然語言等活動，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合黃金分割等知識對該畫作進(jìn)行深入的研究，并總結(jié)了關(guān)于數(shù)學(xué)文化類主題式教學(xué)的兩點(diǎn)建議.

[ 關(guān)鍵詞 ]數(shù)學(xué)文化；主題式教學(xué)；黃金分割；蒙娜麗莎；斐波那契數(shù)列

基金項(xiàng)目：2022年江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題“大概念觀照下初中數(shù)學(xué)前建構(gòu)教學(xué)的實(shí)踐研究”（C/2022/02/01）.

研究起源

2022年4月，教育部頒發(fā)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”），并在“課程內(nèi)容”中指出：“以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn)，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式.”另外，新課標(biāo)在“課程性質(zhì)”與“課程理念”中分別提到，“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化”[1].主題式教學(xué)是響應(yīng)新課標(biāo)理念的先鋒性嘗試，沒有統(tǒng)一的教材，要求教師根據(jù)課程目標(biāo)靈活設(shè)計(jì)教學(xué)過程，合理開發(fā)課程資源，具有較大的探索空間.近年，關(guān)于數(shù)學(xué)文化教育的研究雖層出不窮，但落實(shí)到具體課堂時依舊無法擺脫工具主義和科學(xué)主義帶來的單向性，無法真正將數(shù)學(xué)作為一種文化與生命存在的意義教給學(xué)生，而主題式教學(xué)提供了一種使文化擺脫知識束縛的突破口[2].本文以“從世界名畫到黃金螺線”為例，對數(shù)學(xué)文化融入主題式教學(xué)進(jìn)行了探索與實(shí)踐，具有一定的實(shí)驗(yàn)性與前瞻意義，以期為新課標(biāo)的落實(shí)提供切實(shí)可行的創(chuàng)新型案例.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.藝術(shù)欣賞：從世界名畫說起

材料閱讀 如圖1，《蒙娜麗莎》（Mona Lisa）是意大利文藝復(fù)興時期畫家列奧納多·達(dá)·芬奇創(chuàng)作的油畫，現(xiàn)收藏于法國盧浮宮博物館.該畫作主要表現(xiàn)了女性典雅和恬靜的典型形象，塑造了資本主義上升時期一位城市有產(chǎn)階級的婦女形象.《蒙娜麗莎》代表了文藝復(fù)興時期的美學(xué)方向.該作品折射出來的女性深邃與高尚的思想品質(zhì)，反映了文藝復(fù)興時期人們對于女性美的審美理念和審美追求.

問題1 你認(rèn)為《蒙娜麗莎》這幅畫美在哪里？可以從不同角度談?wù)勀愕南敕?

活動1 眼睛是心靈的窗戶，如果將《蒙娜麗莎》中兩只眼睛的端點(diǎn)分別視為一條直線上的四個點(diǎn)A，B，C，D，并測量其中的線段的長，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生展示 學(xué)生在繪圖紙上描點(diǎn)、畫線、測量，并在計(jì)算后得到了接近黃金比的數(shù)值.

畫板驗(yàn)證 教師運(yùn)用幾何畫板構(gòu)造點(diǎn)B是AC，AD的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)C是BD，AD的黃金分割點(diǎn)（如圖2），將其放縮并與眼睛比對后發(fā)現(xiàn)，兩者基本吻合.

問題2 你能結(jié)合圖2復(fù)習(xí)“黃金分割”的相關(guān)知識嗎？

設(shè)計(jì)意圖 《蒙娜麗莎》在藝術(shù)領(lǐng)域的舉足輕重地位，不僅體現(xiàn)在它獨(dú)特的歷史意義與人文價值上，其背后的美學(xué)原理更是不可多得的跨學(xué)科研究素材.該作品屬于人物肖像畫，俗話說“眼睛是心靈的窗戶”，讓學(xué)生從審美的發(fā)散性視角聚焦該畫作中足夠傳神的眼睛是較為合適的.將眼睛抽象為點(diǎn)與線段后，學(xué)生通過畫圖、測量、計(jì)算等一系列活動，既能順利回憶起“黃金分割”的相關(guān)知識，又豐富了藝術(shù)鑒賞方式，將數(shù)學(xué)與美學(xué)巧妙地融合，這正是數(shù)學(xué)作為一種文化的高度體現(xiàn).

2.工具開發(fā)：再研究世界名畫

問題3 《蒙娜麗莎》極高的審美價值一定不只與眼睛有關(guān)，同學(xué)們認(rèn)為該畫作中還有哪些地方也能體現(xiàn)出黃金分割？僅靠一把刻度尺夠嗎？

學(xué)生質(zhì)疑 在活動1中，以畫作中的眼睛為目標(biāo)的畫圖、測量、計(jì)算已占用不少時間，若換成無目的地操作，將不利于大家對全畫進(jìn)行高效、深入的研究.

學(xué)具說明 看來刻度尺已無法勝任此項(xiàng)工作，我們有必要開發(fā)一種能直接看出黃金分割點(diǎn)的測量工具.教師查閱資料后發(fā)現(xiàn)“黃金分割尺”具備這樣的功能.黃金分割尺：用螺釘將兩根長度相等的木條AB，AC的端點(diǎn)A固定，點(diǎn)D是木條AB的黃金分割點(diǎn)，并在木條AC上取點(diǎn)F，使得CF=BD.再取一根與BD長度相同的木條DE，將其固定在D點(diǎn)處，并在木條DE上取點(diǎn)G，使得DG=AD.最后取一根與AD長度相同的木條FG，并將其兩端分別固定在點(diǎn)F，G處（如圖3），那么點(diǎn)E為線段BC的黃金分割點(diǎn)[3].

問題4 若將“黃金分割尺”抽象成幾何圖形（如圖4），你能對其運(yùn)作原理進(jìn)行證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生初學(xué)黃金分割時，教師曾用“芭蕾舞演員”“東方明珠”等情境引入，但這些素材均是從高度體現(xiàn)黃金分割的.《蒙娜麗莎》中有多處蘊(yùn)藏了黃金比，假如依舊通過測量、計(jì)算的方式研究明顯是不高效的，因此產(chǎn)生了引入“黃金分割尺”的必要性.接著，教師讓學(xué)生分析“黃金分割尺”的構(gòu)造，證明其操作原理.證明“黃金分割尺”的操作原理時，學(xué)生綜合運(yùn)用了相似三角形、菱形、等腰三角形等知識，對黃金分割進(jìn)行了知識的再建構(gòu).事實(shí)上，將黃金分割作為開發(fā)一種新工具的制作原理，這本身也是數(shù)學(xué)投身于生產(chǎn)、制造方面的一種文化價值體現(xiàn).

3.不同視角：別樣的黃金分割

活動2 利用“黃金分割尺”找到畫作中其他符合黃金比的部位，并將黃金分割點(diǎn)標(biāo)注出來，利用平板拍照上傳至班級云空間，及時共享研究成果.

問題5 從同學(xué)們上傳的照片來看，你們找到了很多除眼睛外能體現(xiàn)黃金比的部位，如鼻子、下巴等.事實(shí)上，這些部位均能抽象為某條線段.若研究視角由線上升到面，你們認(rèn)為蒙娜麗莎的臉也符合黃金比嗎？

設(shè)計(jì)意圖 在前兩個環(huán)節(jié)中，學(xué)生對黃金分割的認(rèn)識依舊停留在點(diǎn)、線層面，哪怕是引入“黃金分割尺”后也僅僅增加了研究的開放性.當(dāng)教師啟發(fā)學(xué)生將視角從眼睛蔓延到臉部、從線上升到面時，便順勢由黃金分割點(diǎn)引出黃金矩形.黃金矩形的出現(xiàn)不僅承接了前面黃金分割知識的運(yùn)用，也是后續(xù)研究五角星、斐波那契數(shù)列、黃金螺線等體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的知識起點(diǎn)，其在整節(jié)課中起到了承上啟下的關(guān)鍵作用.

4.綻放華彩：黃金矩形的演變

活動3 你能借助“黃金分割尺”在透明紙上作一個寬為5 cm的黃金矩形嗎？在作出黃金矩形的基礎(chǔ)上，你能通過尺規(guī)再作出一個黃金三角形嗎？請5人為一組，討論用這些全等的黃金三角形能否拼出五角星，并給出具體方案.

學(xué)生展示 分別以點(diǎn)C，D為圓心，以矩形長為半徑畫弧交于點(diǎn)E，得到黃金三角形CDE（如圖6），并以底邊首尾相接的形式將5個黃金三角形拼成五角星.

畫板驗(yàn)證 由于正五邊形的中心角是72°，通過幾何畫板將黃金三角形繞著中心依次迭代旋轉(zhuǎn)4次（如圖7），便可得到一個五角星（如圖8）.此時，再運(yùn)用“動畫”的“顯示”功能，將五角星呈現(xiàn)于“五星紅旗”之上（如圖9）.

設(shè)計(jì)意圖 設(shè)計(jì)在黃金矩形的基礎(chǔ)上作黃金三角形這一活動，不僅可以讓學(xué)生體驗(yàn)以黃金比設(shè)計(jì)圖形的美學(xué)文化，也發(fā)展了學(xué)生的作圖能力與推理素養(yǎng).另外，五角星是以黃金比構(gòu)造圖形的極致體現(xiàn)，最早被發(fā)現(xiàn)在公元前3000年的美索不達(dá)米亞文獻(xiàn)中，其本身就蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)文化.在本節(jié)課中，無論是讓學(xué)生拼五角星，還是在畫板中演示五角星的生成過程，均讓學(xué)生參與了數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)造過程.最后，將五角星在國旗上呈現(xiàn)更是將數(shù)學(xué)文化與愛國主義教育相結(jié)合，在國內(nèi)外文化的碰撞與融合中為學(xué)科育人提供了一種新的視角.

5.數(shù)字探秘：黃金矩形的真相

材料閱讀 除了能演變?yōu)槲褰切堑狞S金矩形，在數(shù)學(xué)史上有一類矩形也很出名，它們由斐波那契數(shù)列構(gòu)造而成.斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)均為1，后面每一項(xiàng)均由前兩項(xiàng)相加得來，如：1，1，2，3，5，8，13，21…從邊長為1，1開始，依次往后取兩項(xiàng)作為寬與長，可以構(gòu)造一類矩形.

問題6 你認(rèn)為黃金矩形與這類矩形有什么關(guān)系？

畫板驗(yàn)證 利用幾何畫板的“放縮”功能，將黃金矩形拖動至由斐波那契數(shù)列構(gòu)成的矩形處進(jìn)行比對（如圖10）.發(fā)現(xiàn)隨著斐波那契數(shù)列的后移，這類矩形越來越接近黃金矩形.

問題7 你能否從數(shù)的角度，進(jìn)一步驗(yàn)證你的猜想？

計(jì)算驗(yàn)證 打開Excel軟件，在A1欄輸入1，A2欄輸入1，A3欄輸入A1+A2，往下拖動即可形成斐波那契數(shù)列.接著在B2欄輸入A1/A2，往下拖動即可形成斐波那契數(shù)列前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值.發(fā)現(xiàn)該比值隨著數(shù)列的后移，確實(shí)越來越接近于黃金比（如圖11）.

問題8 無論是比對圖形還是計(jì)算比值，都僅僅是通過研究有限種情況進(jìn)行的猜想.你能對該結(jié)論的一般性進(jìn)行證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖 黃金矩形與斐波那契數(shù)列之間有密切的關(guān)系，但又有“形”與“數(shù)”的本質(zhì)區(qū)別，如何由“形”到“數(shù)”自然過渡是需要教師重點(diǎn)思考的問題.設(shè)計(jì)以黃金矩形比對用斐波那契數(shù)列構(gòu)造矩形的實(shí)驗(yàn)，是為了引導(dǎo)學(xué)生從圖形角度初步感悟兩者之間的關(guān)聯(lián)，接著借助Excel軟件從“數(shù)”的角度計(jì)算驗(yàn)證，最后通過代數(shù)推理完成證明.這一探索過程中的數(shù)形結(jié)合、合情猜想、推理論證等元素均是數(shù)學(xué)文化中思想與方法的體現(xiàn)，能讓學(xué)生以數(shù)學(xué)文化視角來研究數(shù)學(xué)文化，進(jìn)而揭示黃金矩形背后的數(shù)學(xué)真相.

6.自然語言：優(yōu)美的“黃金螺線”

材料閱讀 在黃金矩形中靠著三邊作正方形，剩下的部分也是黃金矩形，可以依次再作正方形.將這些正方形的頂點(diǎn)按順序連接，可以得到一條“黃金螺線”.在由斐波那契數(shù)列構(gòu)成的矩形中，從最小的矩形開始依次畫弧，構(gòu)成的曲線可以近似地視為“黃金螺線”（如圖12）.

文化欣賞 之前同學(xué)們發(fā)現(xiàn)《蒙娜麗莎》中有多處符合黃金比，事實(shí)上整幅畫就處于“黃金螺線”之中（如圖13）.“黃金螺線”廣泛存在于自然界、藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域，如帕特農(nóng)神廟（如圖14）、銀河系（如圖15）.由此可見，數(shù)學(xué)作為大自然的語言，既是我們生活的世界的重要組成部分，也促進(jìn)了人類文明的發(fā)展.