摘要：函數(shù)圖象以幾何形態(tài)直觀地刻畫變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是表達(dá)函數(shù)的重要方式，也是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。在函數(shù)及其圖象的學(xué)習(xí)中，相當(dāng)重要的一部分內(nèi)容是能從函數(shù)圖象中獲取信息，分析和研究問題的數(shù)量關(guān)系。以“從函數(shù)圖象中獲取信息”為倒，從識(shí)圖、說圖、畫圖、思圖四個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)設(shè)計(jì)與分析，旨在引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)概念實(shí)質(zhì)，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象；幾何直觀；教學(xué)分析；核·心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.56 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1673-4289（2024）06-0047-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）明確提出了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在初中階段，幾何直觀是“數(shù)學(xué)眼光”的主要表現(xiàn)行為之一，其內(nèi)涵是運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)和習(xí)慣。主要包括：能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。下面以“從函數(shù)圖象中獲取信息”為例，引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)概念實(shí)質(zhì)，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

函數(shù)是數(shù)學(xué)中的重要的基本概念，它揭示了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間的相互依存關(guān)系和變化規(guī)律，是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。函數(shù)圖象以幾何形態(tài)直觀地刻畫變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是表達(dá)函數(shù)的重要方式，也是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具。在函數(shù)及其圖象的學(xué)習(xí)中，相當(dāng)重要的一部分內(nèi)容是能從函數(shù)圖象中獲取信息，分析和研究問題的數(shù)量關(guān)系。

在初中階段，數(shù)學(xué)概念逐步從內(nèi)涵或外延角度給出了明確的定義，幾何直觀電從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步過渡到基于概念的推理，逐步形成用運(yùn)動(dòng)變化眼光觀察世界、數(shù)形結(jié)合分析問題的意識(shí)和習(xí)慣。

一、識(shí)圖——從圖象中獲取信息

例1 王爺爺和孫子小強(qiáng)經(jīng)常一起進(jìn)行早鍛煉，主要活動(dòng)是爬山。有一天，小強(qiáng)讓爺爺先上山，然后追趕爺爺，兩人都爬上了山頂。圖1中的兩條線段分別表示小強(qiáng)和爺爺離開山腳的距離y（米）與爬山所用時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系（從小強(qiáng)開始爬山時(shí)計(jì)時(shí)）。

活動(dòng)1 閱讀例1，提取題干中關(guān)鍵的文字和數(shù)學(xué)符號(hào)信息。

[教學(xué)分析]數(shù)學(xué)家波利亞指出，“對(duì)于一個(gè)題目，必須理解該題目的語言陳述”，“請(qǐng)學(xué)生復(fù)述該陳述”，“學(xué)生應(yīng)能指出題目中的主要部分，即未知量、已知數(shù)據(jù)以及條件”。要把例1中的文字和符號(hào)所表達(dá)的圖象信息形成幾何直觀，建立數(shù)形之間的聯(lián)系，需要先熟悉問題情境，把握題干關(guān)鍵信息?；顒?dòng)1改變教材直接呈現(xiàn)具體問題的形式，引導(dǎo)學(xué)生閱讀分析，提煉關(guān)鍵信息，如“小強(qiáng)讓爺爺先上山”“小強(qiáng)追趕爺爺”“小強(qiáng)和爺爺都爬上了山頂”“y為離開山腳的距離”“x為爬山所用時(shí)間”等，以此為解讀函數(shù)圖象、有針對(duì)性地識(shí)圖用圖作準(zhǔn)備。

問題1 請(qǐng)結(jié)合函數(shù)概念，談?wù)剳?yīng)如何理解圖1中兩條線段表示的函數(shù)關(guān)系。

[教學(xué)分析]理解函數(shù)概念是翻譯圖象語言，獲取圖象信息的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。問題1直指函數(shù)概念內(nèi)涵，需要學(xué)生把握以下幾點(diǎn)：第一，回顧函數(shù)的概念，把握自變量、因變量等基本概念，會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化與對(duì)應(yīng)聯(lián)系的眼光認(rèn)識(shí)函數(shù)關(guān)系；第二，結(jié)合題目問題情境，再次體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型，函數(shù)圖象是表達(dá)函數(shù)的重要方式；第三，基于函數(shù)概念，認(rèn)識(shí)圖1中線段即為函數(shù)圖象，即線段上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）代表函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，橫坐標(biāo)x表示自變量（爬山所用時(shí)間）的某一個(gè)值，縱坐標(biāo)y表示與該自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（離開山腳的距離）。對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。

問題2 觀察圖1，思考如何從函數(shù)圖象中獲取下列信息：

（1）小強(qiáng)讓爺爺先上山多少米？

（2）小強(qiáng)何時(shí)何地追趕上爺爺?shù)模?/p>

（3）山頂離山腳的距離有多少米？

（4）小強(qiáng)和爺爺爬上山頂?shù)臅r(shí)間分別為多少？

[教學(xué)分析]問題2將活動(dòng)1中整理的關(guān)鍵信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象獲取信息?？紤]到學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不足，教學(xué)中應(yīng)提供學(xué)生充足的時(shí)間交流和討論，并注意以下兩點(diǎn)：第一，引導(dǎo)學(xué)生先從整體視角觀察圖象，體會(huì)線段從起點(diǎn)到終點(diǎn)的變化規(guī)律，對(duì)比兩條線段上升速度的差別，直觀感受“爺爺先上山”“小強(qiáng)追趕爺爺”“小強(qiáng)和爺爺都爬上了山頂”等文字信息所呈現(xiàn)的圖象表示；第二，局部觀察線段上的特殊點(diǎn)，如起點(diǎn)、終點(diǎn)、交點(diǎn)，理解時(shí)間與距離的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別指出，為凸顯教學(xué)邏輯線索、提煉從圖象中獲取信息的方法，可借助如表1的格式板書，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)提問、學(xué)會(huì)總結(jié)。

特別指出，解答（4）問，觀察兩線段終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，能直觀判斷小強(qiáng)先爬上山頂，但由于圖1中終點(diǎn)橫坐標(biāo)并未用虛線標(biāo)注具體數(shù)據(jù)，此時(shí)不能確定精準(zhǔn)時(shí)間，需先求出行駛速度，再利用路程、速度、時(shí)間公式求解。因此，提出新的數(shù)學(xué)問題：“小強(qiáng)和爺爺爬山的平均速度分別為多少？”根據(jù)函數(shù)圖象為線段的特征，不難可利用兩線段起點(diǎn)和交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)信息，找到小強(qiáng)和爺爺在爬山8分鐘時(shí)的行駛路程，進(jìn)而求得小強(qiáng)和爺爺爬山的平均速度分別為：240÷8=30，（240-60）÷8=22.5。

問題3 類比問題2，你還能提出哪些數(shù)學(xué)問題？如何利用函數(shù)圖象回答或解釋所提問題？

[教學(xué)分析]采用類比提問的方法，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路觀察圖象，挖掘潛在信息，建立現(xiàn)實(shí)情境、文字語言、符號(hào)語言和圖象表達(dá)之間的有效聯(lián)系。比如，引導(dǎo)學(xué)生提出諸如“交點(diǎn)左、右方圖象反映怎樣的實(shí)際情境”“爬山5分鐘后，爺爺和小強(qiáng)距離多遠(yuǎn)”“小強(qiáng)和爺爺爬到半山腰（山腳到山頂距離的一半）時(shí)，所用時(shí)間分別為多少”等問題，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何以函數(shù)圖象為工具解決問題，提高對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解的深刻性，積累從圖象中獲取信息的經(jīng)驗(yàn)。

二、說圖——由圖描述現(xiàn)實(shí)情境

活動(dòng)2設(shè)計(jì)一個(gè)問題情境，使之滿足圖2所表示的函數(shù)關(guān)系。結(jié)合圖象，說說情境中的變量在變化過程中的實(shí)際意義。

[教學(xué)分析]有效的教學(xué)不僅能從條件推演結(jié)果，也可以從結(jié)果想象條件。通過活動(dòng)2，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的符合函數(shù)關(guān)系和實(shí)際情況的情境，加深對(duì)函數(shù)的理解，發(fā)展幾何直觀，增強(qiáng)有條理地進(jìn)行語言表達(dá)的能力，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。比如，可以將圖2設(shè)計(jì)成“龜兔賽跑的路程與時(shí)間圖”，并類比問題2，結(jié)合圖象提出諸如“賽跑中兔子共睡了多長(zhǎng)時(shí)間”“烏龜在第幾分鐘從睡覺的兔子旁經(jīng)過”“當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子離終點(diǎn)還有多遠(yuǎn)”“兔子睡覺前后的賽跑速度有無變化”“兔子到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間是多少”等問題。事實(shí)上，圖2和圖1均反映了路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，圖2中的一條函數(shù)圖象是由幾條線段組成的折線，可看作圖1的變式。利用圖2解決問題的過程中，除了要再次強(qiáng)調(diào)整體把握函數(shù)圖象變化規(guī)律以及關(guān)注特殊點(diǎn)等識(shí)圖要點(diǎn)，還須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)以下兩點(diǎn)：第一，每段折線段代表一個(gè)階段的活動(dòng)，該折線段左右端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，對(duì)應(yīng)相應(yīng)活動(dòng)所用時(shí)間；第二，若自變量在某一范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值始終為同一常數(shù)，則該范圍內(nèi)的函數(shù)圖象是一條平行于軸的線段，表明此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為“停止不前”。

核心素養(yǎng)是知識(shí)、技能、態(tài)度情感的集合，具有整體性，不能孤立地進(jìn)行單獨(dú)培養(yǎng)或發(fā)展。完成活動(dòng)2，教師還可借助“龜兔賽跑”的寓言意義，培養(yǎng)學(xué)生形成謙虛謹(jǐn)慎、勤奮踏實(shí)、持之以恒的學(xué)習(xí)態(tài)度和精神。

三、畫圖——根據(jù)給定情境畫圖

活動(dòng)3 根據(jù)下列問題情境，作出符合要求的函數(shù)圖象。

情境再現(xiàn)：周末早上，爺爺從家出發(fā)走20分鐘到一個(gè)離家1000米的公園，打太極拳運(yùn)動(dòng)30分鐘后，用10分鐘到離公園500米的市場(chǎng)買菜，買菜20分鐘后，用25分鐘原路返回家中。（不計(jì)打太極拳和買菜的行駛路程）

（1）作出一幅函數(shù)圖象近似地刻畫爺爺行駛路程與時(shí)間的關(guān)系；

（2）作出一幅函數(shù)圖象近似地刻畫爺爺離家距離與時(shí)間的關(guān)系；

（3）若爺爺在從市場(chǎng)返回家的途中，先加速行進(jìn)，然后勻速行進(jìn)一段時(shí)間，再在距家門不遠(yuǎn)的地方開始減速，最后回家停下，下列哪幅函數(shù)圖象能最好地刻畫這段時(shí)間爺爺行走速度與時(shí)間的關(guān)系？

[教學(xué)分析]《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)，“教學(xué)中應(yīng)注重發(fā)揮情境設(shè)計(jì)與問題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動(dòng)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”。活動(dòng)3基于現(xiàn)實(shí)情境，強(qiáng)調(diào)學(xué)生要會(huì)收集、篩選、處理函數(shù)信息，能依據(jù)具體情境繪制函數(shù)圖象，能利用函數(shù)圖象刻畫變量間的變化關(guān)系，養(yǎng)成畫圖思考的習(xí)慣。其中，（1）（2）問重在使學(xué)生理解“行駛路程與時(shí)間”和“離家距離與時(shí)間”這兩對(duì)變量關(guān)系的異同：它們都符合函數(shù)關(guān)系，都是以時(shí)間為自變量的函數(shù)。但（1）問中因變量為行駛路程，側(cè)重描述行走的總路程，即從出發(fā)到回家這段時(shí)間，函數(shù)圖象整體呈上升趨勢(shì)（如圖3）；（2）問中因變量為離家距離，側(cè)重描述行走中離家的距離，即離開家期間，離家距離隨時(shí)間增加而增大，而在返回家的時(shí)間段，離家距離則隨時(shí)間增加而減少，函數(shù)圖象整體呈先增后減趨勢(shì)（如圖4）。通過兩問作圖對(duì)比，引起學(xué)生的注意，體會(huì)利用不同變量刻畫函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系與差異，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念及函數(shù)圖象的理解，培養(yǎng)求同求異思維。

（3）問為速度隨時(shí)間變化的情況，學(xué)生容易將其與“路程與時(shí)間”混淆。因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生將（3）問正確答案A與（1）（2）問圖象對(duì)比，并鼓勵(lì)學(xué)生描述（3）問其他錯(cuò)誤選項(xiàng)中速度的實(shí)際變化過程，以此讓學(xué)生充分理解：研究函數(shù)應(yīng)首先關(guān)注變量是什么，明確研究對(duì)象。在觀察圖象時(shí)電應(yīng)先把握橫、縱軸所代表變量的實(shí)際含義。當(dāng)函數(shù)為速度與時(shí)間關(guān)系時(shí)，“水平線”代表勻速行駛或靜止，“上升的線”代表速度在增加，“下降的線”代表速度在減少。特別提示，（3）問主要考查對(duì)速度變化趨勢(shì)的大致刻畫，由于已知條件有限，不需要精確討論增加或減少的具體數(shù)量。

四、思圖——反思識(shí)圖畫圖要點(diǎn)

通過識(shí)圖、說圖、畫圖環(huán)節(jié)的思考和操作，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自我解決問題的思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行主動(dòng)回顧、檢查、優(yōu)化，幫助他們進(jìn)一步理解函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，把握從圖象中獲取信息的要點(diǎn)。反思活動(dòng)可圍繞以下四方面展開。

第一，理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)：函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的重要模型，函數(shù)圖象是表達(dá)函數(shù)的重要方式，是研究數(shù)學(xué)的有力工具，其直觀性有著其他函數(shù)表達(dá)方式所不能替代的作用。

第二，感悟數(shù)學(xué)的思想：從函數(shù)圖象中獲取信息需要深刻把握數(shù)形結(jié)合與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。認(rèn)識(shí)到“函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)有序?qū)崝?shù)對(duì)函數(shù)的一對(duì)自變量和函數(shù)值”，正是因?yàn)榇嬖谶@種對(duì)應(yīng)關(guān)系，才使得函數(shù)圖象能把問題情境、文字語言、符號(hào)語言形成幾何直觀，能有效利用函數(shù)圖象獲取有用信息。

第三，把握數(shù)學(xué)方法：從函數(shù)圖象中獲取信息，首先要學(xué)會(huì)觀察分析，要用數(shù)學(xué)的眼光審視問題，明確條件中所涉及的變量含義，厘清函數(shù)關(guān)系；其次，要掌握從整體到局部觀察圖象的策略，先從整體視角認(rèn)識(shí)圖象整體形態(tài)和增減趨勢(shì)，清楚橫縱軸所表達(dá)變量的實(shí)際含義，再結(jié)合局部特殊點(diǎn)、特殊線等，明確數(shù)量表達(dá)的現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)意義；再次，要把握合情推理與演繹推理的數(shù)學(xué)方法，能夠根據(jù)局部圖象推測(cè)圖象延伸趨勢(shì)，能夠運(yùn)用特殊點(diǎn)、線信息挖掘隱含條件，展開推理運(yùn)算；最后，要體會(huì)類比、對(duì)比的研究方法。

第四，形成數(shù)學(xué)的品質(zhì)：通過對(duì)具體函數(shù)圖象問題的解決，養(yǎng)成用發(fā)展變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)客觀世界的思維習(xí)慣，形成講道理、有條理的思維品質(zhì)，發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維。能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)。

（作者單位：內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川，內(nèi)江641100；內(nèi)江市第六中學(xué)，四川，內(nèi)江641113）