摘 要：教學“直線的傾斜角和斜率”，要根據(jù)學生的認知基礎，理順知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生自然經(jīng)歷概念生成、公式獲得的過程，完成自主建構(gòu)。具體的教學思路是：基于現(xiàn)實情境中刻畫山坡傾斜程度的需要，從“形”的角度，設立基準線，定義傾斜角；基于刻畫“銳角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，聯(lián)想坡度的概念與表示，進一步坐標化，得出斜率的定義式，并與傾斜角的正切關聯(lián)；基于刻畫“鈍角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，突破坡度概念與表示的局限，擴大傾斜角，推廣斜率的定義式，并與傾斜角的正切關聯(lián)。

關鍵詞：高中數(shù)學；傾斜角；斜率；認知基礎；知識聯(lián)系

“直線的傾斜角和斜率”是高中數(shù)學課程解析幾何板塊的初始內(nèi)容，是“直線的方程”“直線的位置關系”等內(nèi)容的學習基礎。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）要求：“在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式?！?sup>［1^］可知，該內(nèi)容的教學不能“重結(jié)果輕過程”，而要根據(jù)學生的認知基礎，理順知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生自然經(jīng)歷概念生成、公式獲得的過程，完成自主建構(gòu)。

然而，在對使用不同版本教材的多個課例進行分析時發(fā)現(xiàn)：部分教師對學生的認知基礎和知識的內(nèi)在聯(lián)系缺乏準確把握與深入剖析，致使概念生成和公式推導的過程不夠自然，使得學生更多的是機械記憶。下面在幾個關鍵點上，分析教學中容易出現(xiàn)的問題，再設計有針對性的教學活動。

一、 基于攀爬山坡的情境，設立基準線，定義傾斜角

為了描述直線不同的傾斜程度，需要設立一個共同的比較標準。滬教版教材指出：通過確定直線與其中一條坐標軸的相對位置，可以描述直線在坐標系中的位置。人教A版教材指出：這些直線相對于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同。蘇教版教材則直接引入坡度概念，并用點的坐標來表示，之后才介紹傾斜角的概念——這沒有充分發(fā)揮幾何直觀的作用，顯得不夠自然。那么，為什么要選擇一條坐標軸作為基準線？怎樣讓學生感受到設立一條基準線來定義傾斜角是水到渠成的？這需要創(chuàng)設合適的現(xiàn)實情境，讓學生感受到在實際背景下，若不設立基準線，則無法刻畫生活中不同的傾斜程度。具體地，可創(chuàng)設攀爬山坡的情境：

【問題1】如圖1、圖2、圖3所示，學校周圍有三座山坡可攀爬，攀爬哪座山坡會感到最費力呢？

結(jié)合生活經(jīng)驗，學生不難感知攀爬圖3所示的山坡最費力。教師追問原因，便可引出傾斜程度的概念。進一步追問如何刻畫傾斜程度，可以讓學生發(fā)現(xiàn)：是因為坡面上攀爬方向所在的射線與坡底部水平指向山體的射線形成的角度不同。從而引出基準線的概念，進而引出傾斜角的概念（由射線推廣到直線），并自然生成傾斜角的范圍。這里，尤其要讓學生認識到：攀爬圖3所示的山坡最費力是因為傾斜角大于90°。

二、 聯(lián)想坡度的概念與表示，定義斜率，關聯(lián)傾斜角

傾斜角是一個幾何量，而解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)方法（點的坐標關系）研究幾何問題，因此，需要把傾斜角轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)量——斜率。應該如何定義斜率呢？滬教版教材在沒有充分鋪墊的情況下，直接用傾斜角的正切來定義直線的斜率，讓學生感覺到突兀。人教A版教材和蘇教版教材則借助坡度概念（坡度的定義式涉及的兩條直角邊，相對于斜邊是更基本的量）架設橋梁，使傾斜角和斜率自然地建立關聯(lián)。當然，在教學中，還需要引導學生自然想到坡度，建立坡度的坐標表示，從而定義斜率，關聯(lián)傾斜角。具體地，可繼續(xù)利用銳角情況下攀爬山坡的情境（圖1）：

【問題2】除了傾斜角可以刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，在之前所學的知識中，還有哪個量可以刻畫圖1中攀爬方向所在直線的傾斜程度？具體是如何刻畫的？

回憶舊知，學生可以想到坡度的概念及其定義式：豎直高度（爬坡時的豎直升高量）水平寬度（爬坡時的水平前進量）。以水平指向山體的射線為基準線，學生很容易刻畫水平寬度，但可能茫然于豎直高度的刻畫。對此，教師可以提示“還需一條垂直的線來刻畫豎直高度”，引導學生建立平面直角坐標系（如圖4所示）。

由此，便可讓學生意識到“豎直高度與水平寬度都可以轉(zhuǎn)化為坐標表示”，進而探究具體的坐標表示：在攀爬方向所在直線上任取兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則豎直高度和水平寬度可以用兩點在相應方向上的距離來表述，分別為

|y1-y2|=y2-y1和|x1-x2|=x2-x1，故坡度為y2-y1x2-x1。至此，可以引導學生由相似三角形的知識發(fā)現(xiàn)y2-y1x2-x1為定值，順勢引出斜率的定義：這樣的表示在數(shù)學中被定義為斜率，一般記作k。

追問：圖4中，傾斜角（設為θ）與斜率“y2-y1x2-x1”都可以刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，那么，它們之間有什么關系？

教師可以提示：這兩個量都在豎直高度與水平寬度所構(gòu)成的三角形中。由此，學生不難發(fā)現(xiàn)：斜率是傾斜角的正切，即k=y2-y1x2-x1=tanθ。至此，使在傾斜角為銳角的情況下，幫助學生自然地引出了斜率的定義。

三、 突破坡度概念與表示的局限，擴大傾斜角，推廣斜率

人教A版教材和蘇教版教材均直接類比坡度概念幫助學生理解用傾斜角的正切來定義斜率的合理性。然而，實際生活中的坡度都是正數(shù)（因為豎直高度與水平寬度都是正數(shù)），它是在傾斜角為銳角時才有的概念。對此，教師需要引導學生突破已有認知的局限，借助有向線段（正負坐標），將斜率的定義式推廣到傾斜角非銳角的情況。具體地，可繼續(xù)利用鈍角情況下攀爬山坡的情境（見圖3）：

【問題3】用坡度的定義式來刻畫攀爬方向所在直線的傾斜程度，對傾斜角為銳角的情況（圖1）是適用的，但是，用其刻畫圖3中攀爬方向所在直線的傾斜程度時，豎直高度與水平寬度還能用相應的距離（坐標差的絕對值）來表示嗎？

依然是將圖3抽象后放到平面直角坐標系中（如圖5所示），也在攀爬方向所在直線上任取兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）。這時，教師可以引導學生思考：圖3中攀爬方向所在直線的傾斜程度遠大于圖1中的，如果豎直高度與水平寬度還用相應的距離（坐標差的絕對值）來表示，則會造成傾斜角互補的兩條直線的傾斜程度一樣，這不符合實際情況。

追問：這時的豎直高度與水平寬度應該如何表示呢？

教師可以引導學生觀察平面直角坐標系中的圖形，發(fā)現(xiàn)從P1到P2，“升高”的方向與y軸的正方向相同，“前進”的方向與x軸的正方向相反；想到要區(qū)分這“一正一反”，可以讓豎直方向上的距離保持正號，給水平方向上的距離加上符號，從而得到豎直高度和水平寬度分別為|y1-y2|=y2-y1和-|x1-x2|=x2-x1，由此得到坡度依然為y2-y1x2-x1。這樣，傾斜角為鈍角時的斜率定義式與傾斜為銳角時的斜率定義式就得到了統(tǒng)一。

為了幫助學生更好地理解傾斜角為鈍角的情況下斜率小于0，可以充分結(jié)合攀爬山坡的情境解釋：這時相當于從起點反方向攀爬山坡，所以感到費力。為了幫助學生更好地理解兩種情形下斜率定義式的統(tǒng)一，教師可以引導學生在相應的直角三角形中發(fā)現(xiàn)k=y2-y1x2-x1=-tanπ-θ，進而利用三角函數(shù)的誘導公式得到k=y2-y1x2-x1=tanθ。

最后，引導學生自主探究傾斜角為0°和90°的情況，并與現(xiàn)實中水平行走和沿著90°的垂直線攀爬巖壁進行關聯(lián)，使學生更好地理解斜率為零和不存在的現(xiàn)實意義，從而歸納出斜率的完整定義。

四、 反思與總結(jié)

上述教學設計從學生的生活經(jīng)驗切入，基于現(xiàn)實情境中刻畫山坡傾斜程度的需要，從“形”的角度，設立基準線，定義傾斜角；基于刻畫“銳角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，聯(lián)想已有知識中相關的坡度概念與表示，進一步坐標化，得出斜率的定義式，并與傾斜角的正切關聯(lián)；基于刻畫“鈍角”山坡傾斜程度的需要，從“數(shù)”的角度，突破坡度概念與表示的局限，擴大傾斜角，推廣斜率的定義式，并與傾斜角的正切關聯(lián)。進一步反思，可以總結(jié)出引導學生自然經(jīng)歷知識發(fā)生的過程，完成自主建構(gòu)的兩個關鍵：

第一，充分了解學生已有的認知基礎，把握好教學起點。教學起點過高會使學生失去探究信心，過低則會使學生失去探究欲望。確定教學起點需要分析學生的生活與學習經(jīng)驗中是否有與新知相關聯(lián)的情境與知識，即了解學生已有的相關經(jīng)驗與知識。上述教學設計中，攀爬山坡的情境是學生熟悉的現(xiàn)實情境，能引發(fā)學生的興趣，引導學生思考其費力程度相關因素的數(shù)學表達，自然地關聯(lián)傾斜程度、傾斜角和斜率等概念，從而將抽象的知識具體化、直觀化，促進學生主動地參與認知建構(gòu)，提高學生對數(shù)學知識的理解和應用能力。

第二，充分挖掘數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握好認知路徑。數(shù)學是一個有著嚴密邏輯結(jié)構(gòu)的學科，知識之間存在密切的內(nèi)在聯(lián)系。充分挖掘數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，有助于合理構(gòu)建知識學習的邏輯順序，從而促進學生有層次、有條理地進行認知建構(gòu)，同時感悟數(shù)學的基本原理和思維方式。上述教學設計立足于傾斜角概念和斜率概念這兩個內(nèi)容，挖掘出傾斜程度的概念，利用攀爬山坡的現(xiàn)實情境引發(fā)設立基準線的需求，建立了傾斜角概念；挖掘出坡度的知識、任意角的知識和有向線段的知識，引發(fā)了三角函數(shù)的知識，幫助學生關聯(lián)了斜率概念與傾斜角概念，統(tǒng)一了多種情況下的斜率概念。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：43.