摘 要：“雙減”背景下，提高作業(yè)質(zhì)量成為“減負(fù)增效”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。教師作為作業(yè)設(shè)計(jì)的主導(dǎo)者，要提升作業(yè)的有效性。通過(guò)三角形內(nèi)角和定理及其推論的課后習(xí)題，闡釋教師應(yīng)該基于學(xué)生學(xué)業(yè)水平差異設(shè)計(jì)遞進(jìn)的、多元的課后習(xí)題，以引導(dǎo)學(xué)生深度理解和準(zhǔn)確應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，鞏固和遷移數(shù)學(xué)方法，建立和歸納數(shù)學(xué)模型，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：“雙減”；初中數(shù)學(xué)；作業(yè)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)思維

“雙減”政策發(fā)布以來(lái)，“減負(fù)增效”逐漸成為社會(huì)共識(shí)，旨在減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展質(zhì)量?！皽p負(fù)”的前提是“提質(zhì)”，“提質(zhì)”才有利于“減負(fù)”。對(duì)于教師而言，提升作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量是“減負(fù)提質(zhì)”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，具有高度抽象性、結(jié)論確定性和應(yīng)用廣泛性的特點(diǎn)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，是開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的宗旨和指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)作業(yè)作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，更應(yīng)該體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)，成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效手段。教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情設(shè)計(jì)相應(yīng)的課后作業(yè)，有目的、有計(jì)劃、有針對(duì)性地系統(tǒng)規(guī)劃作業(yè)內(nèi)容、作業(yè)形式以及作業(yè)的難度和數(shù)量，提高作業(yè)質(zhì)量［1］。但目前的數(shù)學(xué)課后作業(yè)設(shè)計(jì)，在知識(shí)點(diǎn)結(jié)合上，存在求全但銜接生硬的問(wèn)題，像是涵蓋多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“大拼盤(pán)”；在難度和方法上，與學(xué)生的年級(jí)或知識(shí)量變化缺乏匹配與過(guò)渡。部分基礎(chǔ)較弱的學(xué)生在對(duì)課堂內(nèi)容理解較膚淺的情況下，往往不能根據(jù)已知條件或原理進(jìn)行合理推理，導(dǎo)致他們完成課后作業(yè)耗時(shí)久、收獲低，難以達(dá)到訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的目的［2］。

本文以三角形內(nèi)角和定理及其推論的習(xí)題為例，探討教師如何基于學(xué)生學(xué)業(yè)水平差異，設(shè)計(jì)遞進(jìn)的、多元的課后習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

一、理解概念：建立概念間的聯(lián)結(jié)

概念是指人類對(duì)感知事物所具有的屬性、特征及情感體驗(yàn)加以概括而形成的圖式化的心理知識(shí)，是大腦認(rèn)知的后臺(tái)信息，也是我們思維的單元［3］。數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特征的一種反映形式，與判斷和推理有著密切的關(guān)系。第一，概念是判斷和推理的基礎(chǔ)，人們必須先有關(guān)于某事物的概念，才能做出關(guān)于某事物的判斷和推理。第二，概念是判斷和推理的結(jié)晶，人們通過(guò)判斷、推理獲得新的認(rèn)知，同時(shí)形成新的概念。因此，數(shù)學(xué)教師要重視引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生的思維能力。

以人教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第十一章第二節(jié)“與三角形有關(guān)的角”為例，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求學(xué)生理解三角形內(nèi)角、外角的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理推論［4］65。定義是準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式，需要用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)概念的一種獨(dú)特表達(dá)方式，可將學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程簡(jiǎn)約化、明確化。教師在布置課后作業(yè)時(shí)可依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，突出對(duì)三角形內(nèi)角與外角的相關(guān)概念和性質(zhì)的評(píng)價(jià)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，同時(shí)關(guān)注“設(shè)參”思想與方程思想。學(xué)生通過(guò)獨(dú)立完成習(xí)題，能夠理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與形成過(guò)程，融合前后單元中的相關(guān)數(shù)學(xué)概念，深入理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【例題1】如圖1，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠1∶∠2∶∠3=3∶4∶5，求這個(gè)三角形相鄰的三個(gè)外角的度數(shù)比。

方法1：∵∠1∶∠2∶∠3=3∶4∶5

∴設(shè)∠1=3k ∠2=4k ∠3=5k（k＞0）

∵∠1+∠2+∠3=180°

∴∠1+∠2+∠3=3k+4k+5k=180°

∴k=15°

∴∠1=45° ∠2=60° ∠3=75°

∴∠α=180°-∠1=135°∠β=180°-∠2=120° ∠γ=180°-∠3=105°

∴∠α∶∠β∶∠γ=135°∶120°∶105°=9∶8∶7

方法2：∵∠1∶∠2∶∠3=3∶4∶5

又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠1=180°×=45°

同理可得∠2=60° ∠3=75°

∴∠α=∠2+∠3=135° ∠β=∠1+∠3=120° ∠γ=∠1+∠2=105°

∴∠α∶∠β∶∠γ=135°∶120°∶105°=9∶8∶7

方法3：∵∠1∶∠2∶∠3=3∶4∶5

∴設(shè)∠1=3k ∠2=4k ∠3=5k（k＞0）

∴∠α=∠2+∠3=4k+5k=9k∠β= ∠1+∠3= 3k+5k=8k" ∠γ=∠1+∠2=3k+4k=7k

∴∠α∶∠β∶∠γ=9k∶8k∶7k=9∶8∶7

例題1考查學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角與外角概念的理解，以及他們能否用三角形內(nèi)角和定理及其推論解決問(wèn)題。在求角的度數(shù)方面，方法1強(qiáng)調(diào)比例問(wèn)題與“設(shè)參數(shù)法”的思想聯(lián)系，強(qiáng)化條件和解決方法的連接；方法2強(qiáng)調(diào)比例所體現(xiàn)的部分與整體的關(guān)系。在從內(nèi)角到外角的轉(zhuǎn)化中，方法1利用了三角形外角與相鄰內(nèi)角之間的互補(bǔ)關(guān)系，即鄰補(bǔ)角模型；方法2利用了三角形內(nèi)角和定理的推論，即內(nèi)外角的轉(zhuǎn)化。此類題型在考試中常以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，我們可以在方法1和方法2的基礎(chǔ)上提煉出更高效的解題方法——方法3，利用條件和結(jié)果都是比例式的特征，結(jié)合“設(shè)參數(shù)法”和外角的性質(zhì)，直接表示各外角，抓準(zhǔn)內(nèi)外角之間的轉(zhuǎn)化特征，這體現(xiàn)了解題思路的靈活性。

一題多解兼具嚴(yán)謹(jǐn)性、合理性與參與性。這三種方法均從基本概念出發(fā)，結(jié)合適量運(yùn)算考查學(xué)生對(duì)概念及其相互關(guān)系的理解，能夠培養(yǎng)他們解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

二、掌握方法：建構(gòu)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，從而形成對(duì)問(wèn)題的解釋、判斷和預(yù)言。“授人以魚(yú)不如授人以漁”，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法，將知識(shí)結(jié)構(gòu)化。結(jié)構(gòu)化的知識(shí)具有整體性、有序性、動(dòng)態(tài)性和遷移性，學(xué)生只有理解知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，才能將所學(xué)知識(shí)遷移運(yùn)用于新情境，解決新問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)的持續(xù)再生，實(shí)現(xiàn)由“惰性知識(shí)”到“能遷移的知識(shí)”的轉(zhuǎn)變。

在學(xué)生理解和掌握概念的基礎(chǔ)上，教師還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從題目中抽象出研究對(duì)象，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理等方法分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)和推理能力?；诖?，教師可以在例題1的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)例題2，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回顧和反思基礎(chǔ)題的解法，梳理知識(shí)框架，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

【例題2】如圖2，已知點(diǎn)M、B、C、N在一條直線上，若∠A=80°，則∠ABM+∠ACN= °.

方法1：∵∠A=80°

∴在△ABC中，∠ABC+∠ACB=100°

∴∠ABM+∠ACN=180°-∠ABC+180°- ∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-100°=260°

方法2：∵∠ABM=∠A+∠ACB ∠ACN= ∠A+ ∠ABC

∴∠ABM+∠ACN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC= 180°+∠A=260°

方法3：如圖3，延長(zhǎng)BA

∵∠BAC=80°

∴∠1=180°-80°=100°

∴∠ABM+∠ACN=360°-∠1=260°

相較于例題1，例題2的條件與結(jié)論之間的直接關(guān)聯(lián)性較弱，學(xué)生在解決該問(wèn)題時(shí)，需要結(jié)合圖像與條件構(gòu)建外角模型，實(shí)現(xiàn)內(nèi)角與外角之間的轉(zhuǎn)換與聯(lián)結(jié)，通過(guò)比較與推理歸納出合適的解題路徑。在上述三種解題方法中，方法1通過(guò)已知的三角形的一個(gè)內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和定理求出另外兩個(gè)內(nèi)角的和，然后通過(guò)兩組鄰補(bǔ)角的性質(zhì)整體求得目標(biāo)角的和，鞏固了學(xué)生對(duì)整體性思想的理解。方法2首先進(jìn)行問(wèn)題的預(yù)期分析，從外角定義入手，用已知量表示目標(biāo)角的組成，運(yùn)用隱藏的三角形內(nèi)角和，將未知轉(zhuǎn)化為已知。這一解法能培養(yǎng)學(xué)生膽大心細(xì)的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升他們的邏輯推理能力。方法3要求學(xué)生在讀題時(shí)抓取關(guān)鍵詞，識(shí)別出條件和結(jié)論主要集中于內(nèi)角與外角，并有意識(shí)地思考三角形的一個(gè)內(nèi)角如何轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)內(nèi)角或鄰補(bǔ)角。學(xué)生在條件轉(zhuǎn)化過(guò)程中發(fā)散思維，不僅能夠鞏固知識(shí)，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，還能培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性和靈活性，避免在解題過(guò)程中陷入常規(guī)思路。

三、建構(gòu)模型：注重解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型意識(shí)主要是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟，知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。在課后作業(yè)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)以教材為本，但不應(yīng)拘泥于教材，除了幫助學(xué)生掌握概念外，還要讓學(xué)生能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題［4］83。教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合作探究來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)密切相關(guān)，要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

【例題3】如圖4，把△ABC紙片沿著DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部的A′點(diǎn)，求∠A與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系。

方法1：在△AED中，∠3+∠5=180°-∠A

由翻折可得∠AEA′=2∠3，∠ADA′=2∠5

∴∠AEA′+∠ADA′=2（∠3+∠5）=2（180°-∠A）= 360°-2∠A

∴∠1+∠2=180°-∠AEA′+180°-∠ADA′=360°-（∠AEA′+∠ADA′）=360°-（360°-2∠A）=2∠A

方法2：如圖5，由例2方法2可得∠BED+ ∠CDE=180°+∠A

如圖4，由翻折可得∠4=∠3 ∠6=∠5

則∠1+∠2=∠BED-∠4+∠CDE-∠6= ∠BED+∠CDE-（∠4+∠6）=∠BED+∠CDE- （∠3+∠5）=180°+∠A-（180°-∠A）=2∠A

方法3：連接AA′，如圖6

由翻折可得EA=EA′ DA=DA′

∴∠3=∠4 ∠5=∠6

∴∠1=∠3+∠4=2∠3

∠2=∠5+∠6=2∠5

∴∠1+∠2=2（∠3+∠5）=2∠EAD

這一題是例題2的思維延伸，增加了“翻折形成四邊形”的條件，需要學(xué)生遷移知識(shí)，從實(shí)際問(wèn)題中提煉或構(gòu)建基本數(shù)學(xué)模型，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)合理解決問(wèn)題，培養(yǎng)判斷能力和邏輯思維能力。方法1沿用了例題2中方法1的解題框架，通過(guò)鄰補(bǔ)角的轉(zhuǎn)化將目標(biāo)角表示為三角形的內(nèi)角。方法2則繼承了例題2中方法2的思路，使用三角形外角的基本圖形模型，結(jié)合翻折將新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已有問(wèn)題的組合求解。方法3則要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)由翻折構(gòu)成的四邊形，通過(guò)連接對(duì)角線挖掘出隱含的三角形外角模型，通過(guò)拆解已知角形成兩組直接的外角模型，推導(dǎo)出目標(biāo)角與已知角的關(guān)系。該方法強(qiáng)調(diào)四邊形向三角形的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了將復(fù)雜陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單熟悉問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)思想。

習(xí)題的設(shè)計(jì)要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法。設(shè)計(jì)豐富多元的習(xí)題，既要滿足學(xué)生在鞏固、復(fù)習(xí)、應(yīng)用、拓展等方面的學(xué)習(xí)需求，也要關(guān)注不同層次學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求［4］94。通過(guò)有差異、有梯度、有目標(biāo)的習(xí)題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，鞏固和遷移解題方法，建立和歸納數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)課后作業(yè)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，既是教師反思和改進(jìn)教學(xué)、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的工具，也是學(xué)生鞏固課堂知識(shí)、開(kāi)展自主學(xué)習(xí)的助手。作為教學(xué)工作的重要一環(huán)，作業(yè)設(shè)計(jì)需要根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》和教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)和知識(shí)能力水平進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃。教師可以通過(guò)選擇重組、調(diào)整完善或自主開(kāi)發(fā)等方式，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生實(shí)際需求的數(shù)學(xué)課后作業(yè)，幫助學(xué)生有效完成學(xué)習(xí)任務(wù)，達(dá)成“減負(fù)增效”的目標(biāo)。

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