摘" 要：?jiǎn)栴}是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是思維發(fā)展的工具，是教學(xué)的助推器. 高質(zhì)量的教學(xué)需要高質(zhì)量教學(xué)過(guò)程的優(yōu)化及高質(zhì)量問(wèn)題的設(shè)計(jì). 思維型教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)目標(biāo)要指向核心素養(yǎng). 問(wèn)題設(shè)計(jì)是體現(xiàn)教師素養(yǎng)、導(dǎo)向教學(xué)、滿足學(xué)生思維需求的重要載體，是實(shí)施思維型教學(xué)的重要抓手. 以“線段的垂直平分線”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例，探討以問(wèn)題設(shè)計(jì)為載體，滿足學(xué)生思維需求的教學(xué)模式.

關(guān)鍵詞：思維型教學(xué)；問(wèn)題設(shè)計(jì)；線段垂直平分線

中圖分類號(hào)：G633.6" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " " 文章編號(hào)：1673-8284（2025）01-0012-04

引用格式：劉璇，于妍秋. 以問(wèn)題設(shè)計(jì)為載體滿足學(xué)生的思維需求：以“線段的垂直平分線”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：12-15.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確指出：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式. 通過(guò)數(shù)學(xué)的思維，可以揭示客觀事物的本質(zhì)屬性，建立數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系；能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法，分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題；能夠通過(guò)計(jì)算思維將各種信息約簡(jiǎn)和形式化，進(jìn)行問(wèn)題求解與系統(tǒng)設(shè)計(jì)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神.”數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)可以幫助學(xué)生形成邏輯思維能力，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力得到提升，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的抽象能力，提高問(wèn)題解決能力. 數(shù)學(xué)思維還可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，它不僅對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身有著深遠(yuǎn)影響，而且對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)提升和日常生活都有積極的影響. 因此，我們應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).

思維型教學(xué)理論引領(lǐng)下的課堂一般包括六大基本要素：創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題，自主探究，合作交流，總結(jié)反思和應(yīng)用遷移. 這六大基本要素與培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、促進(jìn)素養(yǎng)的形成緊密關(guān)聯(lián). 如何以問(wèn)題設(shè)計(jì)為載體，通過(guò)自主探究和合作交流滿足學(xué)生的思維需求，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，下面以“線段的垂直平分線”專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)為例展開(kāi)研究.

專題復(fù)習(xí)課是指教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的某一核心數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)地歸納、總結(jié)、理解、鞏固和綜合運(yùn)用，建立相關(guān)知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，深化知識(shí)理解，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力為任務(wù)和目標(biāo)的授課形式. 本節(jié)“線段的垂直平分線”專題復(fù)習(xí)課源自人教版《義務(wù)教育教科書(shū)（五·四學(xué)制）· 數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，包括線段垂直平分線的定義及其性質(zhì). 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)全等三角形等相關(guān)知識(shí)，這為后續(xù)學(xué)習(xí)等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)知識(shí)和深刻理解對(duì)稱變換等奠定了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ). 本節(jié)課以促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展為目標(biāo)，通過(guò)不同形式的問(wèn)題設(shè)計(jì)充分激活學(xué)生的思維，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)習(xí)活動(dòng)真正發(fā)生.

一、設(shè)置遞進(jìn)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)

問(wèn)題是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ). 在教學(xué)中，教師由淺入深地進(jìn)行遞進(jìn)性問(wèn)題設(shè)計(jì)，能引發(fā)學(xué)生思考，把學(xué)生的隱性思維顯現(xiàn)出來(lái)，為教師了解學(xué)生的知識(shí)水平提供第一手資料. 學(xué)生的思維發(fā)展程度是有差異性的. 設(shè)置遞進(jìn)性問(wèn)題，也能讓不同層次學(xué)生的思維以低階思維為起點(diǎn)不斷豐富、發(fā)展和進(jìn)階.

例如，在“線段的垂直平分線”專題復(fù)習(xí)課中可以設(shè)置如下兩個(gè)遞進(jìn)性問(wèn)題作為復(fù)習(xí)回顧.

問(wèn)題1：如圖1，線段BC的垂直平分線DE與BC相交于點(diǎn)E. 由此你能得到哪些結(jié)論？

[B][C][E][D] [圖1]

根據(jù)線段垂直平分線的定義，可以得到BE = EC，DE⊥BC；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，連接BD，DC，可得BD = DC.

【評(píng)析】問(wèn)題1的設(shè)計(jì)旨在引領(lǐng)學(xué)生對(duì)線段垂直平分線的核心知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí). 問(wèn)題1的深度能滿足大多數(shù)學(xué)生的思維需求.

問(wèn)題2：如圖2，以圖1中的BC作為△ABC的邊，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD，你能得到哪些結(jié)論？

[A][B][C][E][D][圖2]

學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組合作交流. 小組匯報(bào)情況如下.

生1：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到BD = CD，從而可得△DBC是一個(gè)等腰三角形. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠DBC = ∠C. 根據(jù)線段垂直平分線的定義，得BE = EC，DE⊥BC. 進(jìn)一步得到△DBE ≌ △DCE. 根據(jù)三角形全等還可以得到∠BDE = ∠CDE.

生2：因?yàn)椤螦DB是△DBC的外角，所以∠ADB = ∠DBC + ∠C. 因?yàn)椤螪BC = ∠C，所以∠ADB = 2∠C.

生3：△ABD的周長(zhǎng) = AB + BD + AD = AB + DC + AD = AB + AC.

【評(píng)析】從學(xué)生的回答來(lái)看，生1基本還停留在問(wèn)題1的思維水平，生2和生3的回答已經(jīng)能將線段垂直平分線的核心知識(shí)與三角形知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái). 此時(shí)，教師要趁機(jī)引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究幾何圖形的一般方法，即線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，角之間的數(shù)量關(guān)系，三角形之間的關(guān)系，形成數(shù)學(xué)研究的一般觀念.

遞進(jìn)式問(wèn)題的設(shè)計(jì)不僅能讓學(xué)生對(duì)核心知識(shí)進(jìn)行鞏固，而且能讓學(xué)生的思維從“知道”“領(lǐng)會(huì)”到“應(yīng)用”. 通過(guò)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)、自主反思、教師引領(lǐng)，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的重組、建構(gòu)和生成，促使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”.

二、設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)化應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)了通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 因此，教師要改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育理念，創(chuàng)新教學(xué)方法和手段，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 創(chuàng)新的本質(zhì)在于思維的創(chuàng)新，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思維，而人的發(fā)散思維能力與其所具有的創(chuàng)造力是成正相關(guān)的. 設(shè)置有價(jià)值的開(kāi)放性問(wèn)題，能使學(xué)生的發(fā)散性思維得到發(fā)展. 教師要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析和解決問(wèn)題的過(guò)程. 問(wèn)題是由學(xué)生自己或與他人交流中提出的，解決問(wèn)題的過(guò)程要與提出問(wèn)題的過(guò)程有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生積累解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

例如，本節(jié)課通過(guò)問(wèn)題1的結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)引入，能讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)研究的一般觀念. 那么學(xué)生對(duì)知識(shí)理解、應(yīng)用得怎么樣？對(duì)此，教師可以設(shè)置如下問(wèn)題.

問(wèn)題3：如圖3，△ABC中，邊BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，若" " " " ，求" " " " .試將題目補(bǔ)充完整，并嘗試解答.

[A][B][C][E][F][圖3]

學(xué)生根據(jù)不完整條件先提出問(wèn)題再分析和解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的思維可視化. 學(xué)生提出了很多有思維含量的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師可以選擇一些問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)，如選擇添加“若BF = AC，∠A = 80°，求∠B的度數(shù)”這一問(wèn)題.

針對(duì)此問(wèn)題，有的學(xué)生先連接CF（如圖4），得出△FBE ≌ △FCE. 得到FB = FC. 由FB = AC，F(xiàn)C = AC，得到∠AFC = ∠A = 80°. 由∠AFC = 2∠B，求得∠B = 40°.

[A][B][C][E][F][圖4]

【評(píng)析】顯然，這樣解決問(wèn)題的學(xué)生對(duì)線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用還不熟練，沒(méi)有對(duì)線段垂直平分線的核心知識(shí)完成建構(gòu). 這也是學(xué)生思維固化的常見(jiàn)表現(xiàn)形式. 學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程是將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自我認(rèn)知的過(guò)程. 在教學(xué)中，通過(guò)有針對(duì)性地設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生將新知識(shí)內(nèi)化和建構(gòu)并靈活應(yīng)用是至關(guān)重要的.

設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，既可以選擇條件開(kāi)放，也可以選擇結(jié)論開(kāi)放、策略開(kāi)放等. 開(kāi)放性問(wèn)題不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和思想方法的理解，更能給學(xué)生提供發(fā)散思維的機(jī)會(huì). 而創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與發(fā)散思維有直接關(guān)系. 因此，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用開(kāi)放性問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生的發(fā)散思維發(fā)展是值得重視的.

三、設(shè)置求異性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)思維多元化進(jìn)階

求異性問(wèn)題可以加深學(xué)生對(duì)題目的形式、組成元素及題目中隱含的邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理、通性通法的認(rèn)識(shí)，給學(xué)生提供自主思考并表達(dá)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度分析和解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力和推理能力，拓寬解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和發(fā)散思維.

例如，本節(jié)課可以通過(guò)設(shè)置如下的求異性問(wèn)題達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

問(wèn)題4：如圖5，已知在△ABC中，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，交∠BAC的外角平分線于點(diǎn)G. 若∠C = 3∠B，你能找出圖形中相等的線段嗎？嘗試說(shuō)明理由.

[圖5] [A][B][C][E][F][P][G]

學(xué)生從不同角度找到了解決問(wèn)題的突破口，具體如下.

生4：根據(jù)線段垂直平分線的定義，可以得到BE = EC. 設(shè)∠B = x，則∠C = 3x. 如圖6，連接FC，得到BF = CF，∠B = ∠FCB = x，∠ACF = 2x. 根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠AFC = 2x. 從而得到∠ACF = ∠AFC，即AF = AC.

[圖6] [A][B][C][E][F][P][G]

生5：根據(jù)∠FEB = 90°，求得∠AFG = ∠BFE =[90°-x]. 利用外角的性質(zhì)可以求得∠FAP = 4x. 根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠GAF = 2x. 利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AGF = 180° -[90°-x]- 2x =[90°-x]，得到∠AGF = ∠AFG，即AG = AF.

生6：如圖6，當(dāng)發(fā)現(xiàn)AF = AC之后，圖中就出現(xiàn)了一個(gè)基本圖形——等腰三角形頂角的外角平分線平行于底邊，即AG∥FC. 可以得到∠AGF = ∠CFE. 因?yàn)椤螧FE = ∠CFE = ∠AFG，所以∠AGF = ∠AFG，AG = AF.

生7：如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥FG于點(diǎn)H. 因?yàn)锳H∥BC，所以∠HAF = ∠B = x. 因?yàn)椤螱AF = 2x，所以∠HAG = ∠HAF. 通過(guò)證明△AGH ≌ △AFH，得到AG = AF.

[A][B][C][E][F][P][G][H][圖7]

生8：我們組還找到了一組相等的線段. 因?yàn)锳F = AC，AG = AF，根據(jù)等量代換可以得出AG = AC.

【評(píng)析】學(xué)生給出的方法多樣，表述清晰. 他們的匯報(bào)讓人感到驚喜. 可見(jiàn)，給學(xué)生一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題和探究的空間，他們會(huì)給我們更多驚喜. 這個(gè)求異性的問(wèn)題搭建起了學(xué)生思維發(fā)展進(jìn)階的橋梁. 學(xué)生基于自己的思維水平選擇多元的解法，使得問(wèn)題得以解決，但此時(shí)學(xué)生的思維還僅限于自己的解法中.

為了增加學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，教師適時(shí)追問(wèn)：在這些方法中，你喜歡用哪種方法來(lái)解決問(wèn)題？理由是什么？然后學(xué)生展開(kāi)了激烈的爭(zhēng)辯.

生9：平行線的性質(zhì)是證明角相等的重要依據(jù)，發(fā)現(xiàn)AG∥FC就能讓問(wèn)題得到解決. 我喜歡這種方法.

生10：我同意生9的觀點(diǎn). 看到線段的垂直平分線，連接FC，是比較常規(guī)的思路. 而剛才在研究基本圖形結(jié)論的時(shí)候就得出了∠BFE = ∠CFE. 平行線比較容易發(fā)現(xiàn)，可以通過(guò)證明角相等來(lái)證明線段相等.

生11：我認(rèn)為通過(guò)計(jì)算導(dǎo)角的方法也挺好的. 題中給了角的倍數(shù)關(guān)系，我們可以通過(guò)設(shè)元導(dǎo)角，把圖形中的角用含x的式子表示出來(lái)，利用等角對(duì)等邊獲得相等的線段. 這樣從已知條件出發(fā)解決問(wèn)題，思維含量比較小，只要細(xì)心計(jì)算便可以很容易解決.

生12：我不同意前面幾名同學(xué)的觀點(diǎn). 全等是證明線段相等的常用方法. 通過(guò)直觀觀察可以猜想AG = AF，就說(shuō)明△AGF是等腰三角形，可以將△AGF當(dāng)成背景圖形來(lái)分析. 遇到等腰三角形，常常根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作輔助線，這道題是它的逆運(yùn)用.

【評(píng)析】教師的追問(wèn)使得學(xué)生在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)傾聽(tīng)其他學(xué)生喜歡不同方法的理由，養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，對(duì)“證明線段相等的常用方法”“不同方法適合在什么情況下使用”“解決問(wèn)題的一般思路”等方面進(jìn)行深入思考，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語(yǔ)言分析和解決問(wèn)題，掌握證明線段相等的一般方法，把握問(wèn)題的本質(zhì)，形成方法體系，明晰問(wèn)題解決的路徑，拓展了思維的廣度和深度.

突破思維定式和固化思維的直接路徑就是培養(yǎng)學(xué)生的求異思維. 求異性問(wèn)題的設(shè)計(jì)能開(kāi)拓學(xué)生的思路，突破常規(guī)思維的束縛，讓學(xué)生從多角度、多方向、多層次思考問(wèn)題，并能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，啟迪學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、結(jié)束語(yǔ)

本節(jié)課以問(wèn)題設(shè)計(jì)為載體，啟發(fā)學(xué)生遵循有序的思維過(guò)程解題，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的深度理解與靈活應(yīng)用，為學(xué)生思維的發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 同時(shí)，將學(xué)生從“客體”學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)化為“主體”學(xué)習(xí)狀態(tài)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性，幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的思維始終保持活躍狀態(tài). 同時(shí)，教師適切的追問(wèn)和梳理總結(jié)指導(dǎo)學(xué)生掌握了正確的思維方向，即正確地分析、綜合、判斷和推理，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，使學(xué)生的思維更廣闊、更深刻、更靈活，也更富有邏輯性和敏捷性. 通過(guò)獨(dú)立思考、合作探究等活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，能使不同層次的學(xué)生都能實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階.

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基金項(xiàng)目：黑龍江省教育科研規(guī)劃教研專項(xiàng)重點(diǎn)課題——基于新課程標(biāo)準(zhǔn)的初中數(shù)學(xué)思維型教學(xué)實(shí)踐研究（JYB1423072）.

作者簡(jiǎn)介：劉璇（1971— ），男，副研究員，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)改革研究；

于妍秋（1972— ），女，高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.