盧敬棣

[摘 要]維數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中時(shí)常用到的概念，但目前中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容幾乎沒提到幾何圖形的維數(shù)概念，因此有必要滲透維數(shù)知識教學(xué)。人們認(rèn)識維數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)復(fù)雜的過程，在初中教學(xué)中滲透維數(shù)知識是有意義的和可行的。但在教學(xué)中不宜喧賓奪主。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 維數(shù) 幾何圖形

新課程要求教師不僅僅是課程的實(shí)施者，還應(yīng)該是課程研究、課程建設(shè)、課程資源的開發(fā)者。具有多重角色的數(shù)學(xué)教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和原有的知識、活動經(jīng)驗(yàn)，靈活結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合適的教學(xué)素材，以使數(shù)學(xué)新課程有利于學(xué)生的發(fā)展。維數(shù)是幾何圖形的一個(gè)性質(zhì)。凡學(xué)過數(shù)學(xué)的人，對某些幾何圖形的維數(shù)總以為是了解的，如“直線是一維的”、“拋物線、圓是二維的”、“長方體、四面體是三維的”。但細(xì)究一下，許多問題又模糊起來。例如：“直線是一維的”，為什么？幾何圖形的維數(shù)是怎樣規(guī)定的？幾何圖形的維數(shù)只是整數(shù)嗎？這些問題的回答是有點(diǎn)難度的，需要現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識來解釋。幾何圖形的維數(shù)具有既簡單又復(fù)雜的雙重身份，是教師在初中幾何教學(xué)中值得開發(fā)的資源，有利于開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

一、人們認(rèn)識維數(shù)的歷程

簡單地說，維數(shù)就是刻畫幾何圖形性質(zhì)的數(shù)，但人們對它的認(rèn)識，卻經(jīng)歷了一個(gè)不斷深化的過程。以往，人們從圖形中的點(diǎn)的位置的確定需要幾個(gè)獨(dú)立參數(shù)的觀點(diǎn)，認(rèn)為直線、線段和曲線是一維的，因?yàn)槠渖系狞c(diǎn)依賴一個(gè)參數(shù)s=s(t)；平面和平面區(qū)域是二維的，決定其上一點(diǎn)需要兩個(gè)參數(shù)（二度坐標(biāo)）；現(xiàn)實(shí)空間和立體是三維的，需要三個(gè)參數(shù)（三度坐標(biāo)）才能決定其上一個(gè)點(diǎn)的位置。

在康托爾揭示了線段上的點(diǎn)集與空間的點(diǎn)集的等勢性以后，皮亞諾建立了線段到正方形的連續(xù)映射，數(shù)學(xué)家們于是開始明白，圖形維數(shù)這個(gè)直觀明顯的概念需要精確的敘述，應(yīng)用邊界的概念，這個(gè)概念可用下列方法來形成：空集有維數(shù)-1；如果集合X的任一點(diǎn)具有這樣的任意小鄰域，其邊界的維數(shù)為n-1，則集X的維數(shù)為n。例如，孤立點(diǎn)的維數(shù)是0，因?yàn)樗泥徲蚴强占揖S數(shù)為-1，由n-1=-1得到n=o,所以得到孤立點(diǎn)的維數(shù)是0；而直線的維數(shù)為1，因?yàn)橹本€上任一點(diǎn)有任意的領(lǐng)域，其邊界由兩點(diǎn)組成且是零維的，由n-1=0得到n=1，所以直線是一維的；類似地可以得到圓域是二維的，球體是三維的。拓?fù)淇臻g的維數(shù)是拓?fù)湫再|(zhì)，即在同胚映射下是保持不變的。可以證明，在中學(xué)數(shù)學(xué)中研究的任意曲線（圓、雙曲線、拋物線、函數(shù)圖象等）的維數(shù)等于1，任意曲面的維數(shù)等于2，球以及其他空間立體的維數(shù)等于3。

二、在初中幾何教學(xué)中滲透維數(shù)知識的意義

1.擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)文化視野。數(shù)學(xué)新課程提倡在教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)文化知識，擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)文化視野，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。維數(shù)在幾何教學(xué)中偶爾被提到，但目前初中數(shù)學(xué)教材幾乎沒有維數(shù)的一席之地，目前沒有哪個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材涉及到維數(shù)的內(nèi)容，所以對這個(gè)在幾何教學(xué)中偶爾遇到的概念，在提倡數(shù)學(xué)文化教育的新課程背景下，我們在教學(xué)中是有必要滲透的。維數(shù)概念經(jīng)歷了由初等數(shù)學(xué)的明顯直觀性到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的精確敘述性，是“人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識是一個(gè)不斷發(fā)展的過程”的一個(gè)體現(xiàn)，是“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)的、嚴(yán)密的”一個(gè)體現(xiàn)，是“數(shù)學(xué)崇尚理性”的一個(gè)體現(xiàn)。

2.促進(jìn)學(xué)生形成正確的維數(shù)觀。為了了解學(xué)生對幾何圖形維數(shù)的認(rèn)識情況，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)調(diào)查問卷，對本校初一的40名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，具體內(nèi)容主要涉及三個(gè)維度：判斷一些常見幾何圖形的維數(shù)；獲得幾何圖形的維數(shù)的途徑；傾向?qū)W習(xí)維數(shù)知識的主觀意愿程度。在第一維度調(diào)查中，學(xué)生能正確判斷一些常見圖形的維數(shù)的準(zhǔn)確率如表1所示。

表1 判斷常見圖形的維數(shù)

由表1得出許多學(xué)生不能正確區(qū)分一些常見幾何圖形的維數(shù)，只有35%的學(xué)生明確曲線是一維的，僅40%的學(xué)生能指出域是二維的，不到30%的學(xué)生認(rèn)為曲面是二維的。學(xué)生可能認(rèn)為曲線和域都是平面圖形，在解析幾何上都是在二維的直角坐標(biāo)系上表示出來的，所以它們都同是二維；相類似地也認(rèn)為球和球面是同維數(shù)的。既然在生活中、教學(xué)中偶爾會有維數(shù)的說法，而且學(xué)生具有某些不正確的維數(shù)觀，那么在教學(xué)中是有必要比較系統(tǒng)地向?qū)W生滲透維數(shù)的知識，使學(xué)生能正確區(qū)分各種常見幾何圖形的維數(shù)，適當(dāng)了解與維數(shù)相關(guān)的知識。

三、在初中幾何教學(xué)中滲透維數(shù)知識的可行性

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）建議教學(xué)活動必須建立在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和主觀愿望基礎(chǔ)之上。

1.大部分學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里有維數(shù)。維數(shù)是幾何圖形的性質(zhì)之一，目前初中數(shù)學(xué)教材并沒有關(guān)于維數(shù)知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在第二維度的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，70%學(xué)生都接觸過維數(shù)（見表2），所以他們對“維數(shù)”并不陌生，在學(xué)習(xí)上能夠像對其他學(xué)習(xí)內(nèi)容一樣，心理上不會產(chǎn)生很大的障礙。學(xué)生總是用原來的知識來過濾、解釋新信息，但是他們不能完全同化不熟悉的新信息。因此，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里有維數(shù)為學(xué)習(xí)提供了同化的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)材料，這對于滲透維數(shù)知識的教學(xué)無疑是一大幸事。

表2 獲取維數(shù)幾何圖形的維數(shù)知識的途徑

2.絕大部分學(xué)生有學(xué)習(xí)維數(shù)知識的意愿。在第三維度的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)有 57.5%學(xué)生認(rèn)為很有必要學(xué)習(xí)維數(shù)知識，有 17.5%學(xué)生認(rèn)為有必要學(xué)習(xí)維數(shù)知識，結(jié)果表明大部分學(xué)生具有傾向?qū)W習(xí)維數(shù)知識的主觀意愿（見表3）。學(xué)習(xí)的主觀意愿是對學(xué)生學(xué)習(xí)維數(shù)知識起激勵(lì)和推動作用的動力，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，推動學(xué)生努力地、有意義地了解維數(shù)知識。所以，學(xué)生具有的這個(gè)學(xué)習(xí)意愿在滲透維數(shù)知識的教學(xué)中可以起到事半功倍的教學(xué)效果。

表3 數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)維數(shù)知識必要性

四、在初中幾何教學(xué)中滲透維數(shù)知識的教學(xué)建議

1.不宜喧賓奪主。維數(shù)知識是作為幾何教學(xué)中的一種數(shù)學(xué)文化的補(bǔ)充形式穿插在授課內(nèi)容中的，不能喧賓奪主，應(yīng)以完成教學(xué)計(jì)劃為主。在幾何的授課過程中自然引出，不應(yīng)過分渲染，忽視了正常的教學(xué)內(nèi)容。正確把握好維數(shù)知識和課堂教學(xué)內(nèi)容的主次，但也不能因?yàn)椴荒苓^分渲染，而在教學(xué)中草率地一筆帶過。課前要精心準(zhǔn)備教學(xué)設(shè)計(jì)，根據(jù)初中學(xué)生的接受能力和旺盛的求知欲，既要交代清楚一般常見圖形的維數(shù)、簡單介紹維數(shù)概念的相關(guān)知識，還要充分挖掘其中蘊(yùn)涵的豐富的數(shù)學(xué)文化意義，努力把維數(shù)有形的數(shù)學(xué)知識和無形的數(shù)學(xué)文化價(jià)值在教學(xué)中融合在一起。

2.語言宜通俗化。維數(shù)的概念要用到邊界和任意小鄰域的概念來敘述，初中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里還沒有極限的概念，任意小鄰域的理解對他們來說是比較抽象的，所以在教學(xué)中要采取一種比較通俗的、學(xué)生可以接受的語言描述方式。20世紀(jì)初，Poincare用通俗的語言指出了維數(shù)的概念，這在教學(xué)中是適宜引用的。Poincare 認(rèn)為：若在一條曲線上標(biāo)定一點(diǎn)，就把曲線“切斷”成兩部分。一個(gè)螞蟻從一端爬進(jìn)其中一部分，如不通過這個(gè)點(diǎn)，它就無法進(jìn)入另一部分。也就是說一個(gè)點(diǎn)就能阻止螞蟻繼續(xù)前進(jìn)。若在一個(gè)曲面上，就不能用點(diǎn)將它“切斷”，必須用曲線才能劃開曲面為兩部分。劃分空間一個(gè)立體為兩部分，則必須用曲面。這就是說一種圖形被另一種圖形劃分，兩者是不同維的。圖形的邊界（也是圖形）比該圖形的維數(shù)低一維。若視點(diǎn)是零維的，曲線即應(yīng)是一維的，曲面是二維的，立體是三維的。根據(jù)這種想法，Menger和Uryon用歸納的方法給出了圖形M維數(shù)的嚴(yán)格定義。

3.簡單介紹分形圖形的維數(shù)。在講完了上述的維數(shù)內(nèi)容之后，或許學(xué)生就覺得幾何圖形的維數(shù)是整數(shù)的，這時(shí)還可以給學(xué)生來個(gè)認(rèn)知沖擊，并不是所有的圖形的維數(shù)都是整數(shù)的，像噪音圖、材料的裂縫圖等分形圖形的維數(shù)并不是一維的，而是分?jǐn)?shù)維的。如果學(xué)生很感興趣，那么，分形又是另一個(gè)值得開發(fā)的數(shù)學(xué)素材。

數(shù)學(xué)教學(xué)不等于教學(xué)數(shù)學(xué)，而是著眼于人的素質(zhì)的提高和德智體美諸方面的和諧發(fā)展。幾何圖形的維數(shù)蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)意義，數(shù)學(xué)教師可以挖掘出許多蘊(yùn)涵其中的教育價(jià)值，在滲透教學(xué)中做到全面育人。

參考文獻(xiàn)：

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[2]唐復(fù)蘇.中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)代基礎(chǔ)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1988.