楊清洲

【摘要】立體幾何的研究對象是立體圖形,它是平面幾何的延伸和拓展,是高中階段學生學習的難點之一.筆者結合自己多年的教學實踐認真剖析了學生在學習立體幾何時遇到的兩個問題，并總結介紹了自己在講授這一知識模塊時的經(jīng)驗方法.

【關鍵詞】空間想象力；邏輯思維能力；轉化；分類；歸納；類比オ

立體幾何是高中階段學生學習的一個重要內(nèi)容，學習這一部分的知識對于培養(yǎng)學生的空間想象力、邏輯思維能力有著極其重要的意義.但由于學生原有的立體幾何知識的欠缺，空間想象力有限，學習方法的不恰當，都給學習這部分知識帶來了相當大的困難，這同時也給我們教師如何講授立體幾何提出了一個重要課題.筆者經(jīng)過長期的教學實踐與研究總結出自己的一些體會與方法.

一、立體幾何教學中學生常出現(xiàn)的兩個問題

1.混淆立體圖形與平面圖形——欠缺空間想象能力

立體幾何的題目大多是在“直觀感知，加以確認”的基礎上得到結論的.但是學生由于受初中平面幾何的影響，頭腦中難以對立體圖形形成較為準確、直觀的認識.表現(xiàn)在做題時不會畫圖或畫出圖來也不易辨認，甚至作出錯誤的圖形，誤導了解題.例如，在立體圖中找兩條異面直線時，個別學生總是把相交直線與異面直線混淆；在求二面角平面角時，部分學生找不到或畫不出二面角的平面角，等等.所以培養(yǎng)學生的空間想象能力是立體幾何教學的首要任務.

2.概念模糊，定理理解不透徹——欠缺邏輯推理能力

學生對教材中的概念理解模糊，不夠深入，一味地死記硬背，不能很好地分析概念的內(nèi)涵與外延，特別是易混概念間的區(qū)別和聯(lián)系.例如，在學習直線與平面垂直的定義時，有些學生誤以為“一條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，就一定垂直于該平面”，錯誤的原因在于學生對“線面垂直”的實質(zhì)理解不清，混淆了“無數(shù)條”和“任意一條”的含義.

對定理、公理的理解和掌握不扎實，不透徹，部分學生在做證明題時經(jīng)常出現(xiàn)邏輯推理不夠嚴密，定理、公理運用混亂的現(xiàn)象，甚至以主觀臆斷代替嚴密的邏輯推理，導致了這部分學生應用定理分析問題、解決問題的能力不強，面對立體幾何的證明題時不知從何下手.例如，在證明線面垂直時，知道要根據(jù)線線垂直來證，卻不知道如何通過步步推理來完成解題過程.所以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力也是當前立體幾何教學的重要任務.

二、針對立體幾何教學中出現(xiàn)的問題，筆者提出了自己的幾種做法

（一）注重對學生空間想象能力的培養(yǎng)

1.借助模型，提高學生的觀察力

空間想象力的培養(yǎng)，首先就要多看，看得多了，才能心領神會，做到感知和理解相結合.因此，“看”是培養(yǎng)空間想象能力、學好立體幾何的關鍵.一是看生活中的實物模型，如講授“直線與平面的位置關系”時，讓學生觀察教室內(nèi)的日光燈管（直線）、墻角線（直線）等與墻面（平面）、桌子面（平面）、書本面（平面）等之間的關系.二是看教具模型，如講授“多面體”時，就要充分利用教具模型，要求學生學會全面地觀察模型，不斷提高觀察力，讓他們在觀察中了解多面體的結構.這樣學生就能把看似復雜的知識很輕松地消化吸收，同時也提高了學生的空間想象能力.

2.勤于動手，提高學生的繪圖能力

教師應指導學生畫圖，可以先從簡單的圖形或幾何體入手，由對照模型畫圖，到逐步學會熟練正確地畫出空間圖形的直觀圖，通過學生畫立體圖形來加強他們對空間幾何體的了解，從而培養(yǎng)學生繪圖的能力，這樣也有助于提高學生的空間想象能力.

3.善于演示，提高學生的識圖能力

學生不但要會畫圖，更要會識圖，指導學生充分利用身邊的物品，如筆（代表直線）、課本（代表平面）、桌面（代表平面），運用這些身邊的事物隨時加以演示，提高學生的識圖能力.如在研究“過平面外一點有多少條直線與這個平面平行？”“過直線外一點有多少個平面與這條直線平行？”的問題時，讓學生親手演示一下自己發(fā)現(xiàn)答案，要遠比老師的講授效果更好，學生在加深知識的理解的同時，也發(fā)展了學生對立體圖形的解讀能力，提高了學生的空間現(xiàn)象力.

（二）注重對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)

1.梳理總結，培養(yǎng)學生的歸納能力

立體幾何解題過程中，很多題目的解法與思路常有一定的規(guī)律性.因此，學生一定要善于總結提煉，歸納出不同類型題目的解題方法，做到舉一反三、觸類旁通.例如，要求證線線垂直（平行）或線面垂直（平行）都最終轉化為證線線垂直（平行）；求面與面的距離先轉化為求線與面的距離，再轉化為求點與面的距離；在立體圖形中求角問題可歸納為：求角先找角，三角形中解決，正（余）弦定理常用.教師在引導學生總結歸納這些解題方法與思路的過程中培養(yǎng)了學生的歸納能力.

2.幫助學生建立起立體幾何知識體系

學生解題時感到無法下手的一個重要原因是對知識模糊不清，掌握不牢固.立體幾何概念、定理特別多，這就需要老師引導學生理順知識框架，梳理知識結構.教師可以先給出知識主干：一個基礎、兩種關系、三個角、四個距離.然后引導學生添枝加葉，考慮：“一個基礎”是什么？（就是四個公理、三個推論）“兩種關系”是什么？（“兩種關系”就是平行關系、垂直關系.其中平行關系又包括線線平行、線面平行、面面平行；垂直關系又包括線線垂直、線面垂直、面面垂直）“三個角”是什么？（兩條異面直線組成的角，直線和平面組成的角，兩個平面組成的角）……在教師給出知識主干的情況下，引導學生添枝加葉，對整個章節(jié)進行再整理，串聯(lián)起所有知識點，建立起立體幾何的知識體系，由此也提高了學生的邏輯推理能力.

（三）重視學生對數(shù)學思想方法的掌握與應用

1.轉化的思想方法

轉化的思想方法是立體幾何中最常用的一種方法，在立體幾何教學中幫助學生掌握轉化的思想方法也是一項重要的教學目標，教師在課堂教學中要時時滲透這種數(shù)學思想.例如，“面面垂直”問題通常轉化為“線面垂直”，而“線面垂直”又可以轉化為“線線垂直”；“面面成角”通常轉化為“線面成角”，而“線面成角”通常又可以轉化為“線線成角”，等等.在立體幾何的教學中，教會學生善于“轉化”，事實上是教會了他們一種學習方法，提高了他們運用所學知識分析問題、解決問題的能力，同時也培養(yǎng)了他們的邏輯思維能力.

2.分類的思想方法

分類的思想方法是中學數(shù)學的一種基本方法，幫助學生掌握分類的思想方法也是立體幾何教學的一項重要任務，教師需引導學生對知識進行分類總結.如：把直線與直線的位置關系、直線與平面間的位置關系、平面與平面間的位置關系歸為一類，把兩條異面直線的夾角與二面角分為一類……教學中，不失時機地揭示并幫助學生運用分類的思想方法，有助于學生全面系統(tǒng)地歸納整理，消化知識，亦有益于訓練思維的條理性和嚴密性，發(fā)展思維能力.

3.類比的思想方法

立體幾何教學中，類比的思想方法也經(jīng)常被采用，由學生已經(jīng)學過的平面幾何知識通過類比遷移到立體幾何，能夠加深學生對立體幾何知識的理解，便于對新知的掌握.例如，由平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可類比出空間內(nèi)平行于同一個平面的兩個平面互相平行；由平面內(nèi)平行四邊形的性質(zhì)可類比得到空間內(nèi)平行六面體的類似性質(zhì)；“線線垂直”與“面面垂直”，平面內(nèi)的三角形與空間中的四面體均有較多的類比性質(zhì)等.在立體幾何教學中幫助學生掌握類比的思想方法，對不同模塊知識進行比較，不僅可以鞏固舊知識，加速對新知識的理解和掌握，還能開拓學生的思維空間，誘發(fā)學生的靈感，溝通知識間的聯(lián)系，幫助學生建立良好的認知結構.