丁陽(yáng)

【摘 要】該文從分析比較新舊教材入手，以數(shù)列部分為例，剖析新舊教材的基本理念以及新舊教材的結(jié)構(gòu)和難度，以求有助于中職數(shù)學(xué)老師理解新教材的編寫理念，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教育和教學(xué)觀念，改變傳統(tǒng)的灌輸性教學(xué)方式，更好地使用新教材。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 模塊 信息化教學(xué) 課程難度

新中職教學(xué)大綱要求貫徹“以服務(wù)為宗旨，以就業(yè)為導(dǎo)向”的職業(yè)教育辦學(xué)方針，堅(jiān)持以學(xué)生為主體的教學(xué)理念，著眼于學(xué)生的全面發(fā)展，在培養(yǎng)高素質(zhì)勞動(dòng)者和技能型人才上發(fā)揮應(yīng)有的作用。按照教育部2009年頒布的新教學(xué)大綱要求編寫的新教材，由于與舊教材差別較大，許多教師在不同層面產(chǎn)生了困惑，依然使用舊教材、舊方法組織教學(xué)，偏離新教材編寫意圖。鑒于此，筆者在對(duì)“數(shù)列”部分進(jìn)行表層結(jié)構(gòu)、深層結(jié)構(gòu)及難度比較分析的基礎(chǔ)上，提出新教材“數(shù)列”部分的教學(xué)建議。

一、數(shù)列部分表層結(jié)構(gòu)的分析

數(shù)列部分在基礎(chǔ)模塊中是第六章，所占篇幅為30頁(yè)。涉及的知識(shí)點(diǎn)包括：數(shù)列的定義、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。本教材模塊設(shè)置及特點(diǎn)分析如下：

1.課前導(dǎo)入模塊。在章前導(dǎo)入部分，教材通過(guò)三個(gè)例子意在指出，古今中外，不論是生活還是科學(xué)，都能看見數(shù)列的影子，數(shù)列扮演著重要的角色。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)和本章目錄設(shè)置的意圖在于使讀者明確本章內(nèi)容的廣度與深度，明確學(xué)習(xí)的內(nèi)容與目標(biāo)。

2.思考交流模塊。從模塊設(shè)置中我們可以看出，新教材與舊教材相比，最大的區(qū)別就在于采用了“探究——思考交流——問題解決”模式。新教材中的探究性學(xué)習(xí)模式主要是指情境探索學(xué)習(xí)，體現(xiàn)的思維比較發(fā)散，問題的答案一般不唯一，教材中一般不會(huì)為設(shè)置的問題提供解答或提示，要靠學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的思考以及交流討論獲取答案。

3.習(xí)題模塊。新教材是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)安排一個(gè)練習(xí)，并注意學(xué)后練習(xí)鞏固，每一小節(jié)安排一個(gè)習(xí)題，習(xí)題量較少，而且一般是例題的變式或加深題，題量一般不超過(guò)10個(gè)，全章安排一個(gè)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)題分為A、B兩組，A組為基礎(chǔ)題，B組為加深題，并且復(fù)習(xí)題的題量較大。新教材在處理等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的內(nèi)容時(shí)，沒有安排相應(yīng)的例題，只是把等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念以及習(xí)題放在復(fù)習(xí)題B組中。

4.閱讀模塊。閱讀模塊目標(biāo)：體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，滲透數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)研究新分支——分形幾何，感悟大自然中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。與舊教材相比，新教材閱讀模塊更有趣味性和科學(xué)性。新教材“數(shù)列”部分的閱讀材料是雪花問題，這首先是一種數(shù)學(xué)文化的滲透，介紹了數(shù)列在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的成就，并且可以通過(guò)雪花問題鍛煉學(xué)生的觀察能力和空間想象能力，通過(guò)這種趣味性的材料引導(dǎo)學(xué)生將計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生信息化意識(shí)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

5.小結(jié)模塊。新教材的“回顧與小結(jié)”整體篇幅小，其突出特色是配有直觀的章節(jié)知識(shí)框架圖，并且以精練的語(yǔ)言高度概括了本章的內(nèi)容要點(diǎn)和其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。教師利用章節(jié)知識(shí)框架圖可以使學(xué)生能夠整體把握本章的知識(shí)點(diǎn)，并用類比的方法更加透徹地理解本章內(nèi)容。

二、數(shù)列部分深層結(jié)構(gòu)的分析

新教材中，數(shù)列一章一共配有8幅插圖，新教材中的插圖一般都是在探究模塊出現(xiàn)，與探究問題的內(nèi)容相結(jié)合，對(duì)文字起到了很好的輔助作用，同時(shí)也使得學(xué)生更加容易理解文字的內(nèi)容，通過(guò)形象生動(dòng)的圖片引起學(xué)生注意，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。“探究——思考交流——問題解決”是新教材的最大亮點(diǎn)，新教材設(shè)計(jì)了許多不同形式的探究活動(dòng)，這些都有助于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)。所謂數(shù)學(xué)思維，就是指教師在教學(xué)活動(dòng)中，根據(jù)數(shù)學(xué)素材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)形象化的數(shù)學(xué)構(gòu)思，形成數(shù)學(xué)運(yùn)算。而數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過(guò)程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的解釋、判斷和預(yù)測(cè)的方法。

新教材在開篇“數(shù)列的概念”這一知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容展開中，給出了三個(gè)探究問題（見教材P2），拋出這三個(gè)問題的意圖就是想讓學(xué)生根據(jù)生活實(shí)例，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述相關(guān)問題，抽象歸納出一般性的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生使用猜想、歸納、抽象等方法，經(jīng)歷整個(gè)數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使知識(shí)內(nèi)化，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)思想主要是指數(shù)學(xué)本身的形成、論證、運(yùn)算及應(yīng)用的思想，主要是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的本質(zhì)概括，是在反復(fù)理解運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法的基礎(chǔ)上形成和發(fā)展的。數(shù)列雖篇幅不長(zhǎng)，但其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想。在解答數(shù)列中的有關(guān)問題時(shí)，充分利用數(shù)學(xué)思想方法會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。教師應(yīng)借助例題講演，讓學(xué)生領(lǐng)悟并學(xué)會(huì)應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合法”與“函數(shù)轉(zhuǎn)化法”。

三、新舊教材課程難度比較分析

我們定義影響課程難度（用N表示）三要素：課程的深度、廣度和課程時(shí)間。其中，課程廣度（用G表示）就是指課程中包含的知識(shí)點(diǎn)的多少，我們用知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量來(lái)表示；課程深度（用S表示）則是指各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，我們用大綱要求的不同程度來(lái)表示；課程實(shí)施時(shí)間（用T表示）是指按照教學(xué)計(jì)劃的課程內(nèi)容的安排時(shí)間，用大綱中的“課時(shí)”來(lái)表示。這樣，我們可以建立課程難度的數(shù)學(xué)模型如下所示：

N=λ·G/T+（1-λ）·S/T

在這個(gè)模型中，其中G/T表示單位時(shí)間的課程廣度，S/T表示單位時(shí)間的課程深度，λ稱為加權(quán)系數(shù)，且滿足0<λ<1。

1.難度模型的相關(guān)說(shuō)明。

（1）課程廣度。為了量化新舊教材數(shù)列部分的廣度，我們用數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)量化。因?yàn)樾屡f教材都是依據(jù)大綱編寫的，故我們根據(jù)大綱中數(shù)列部分的內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

（2）課程深度。由于大綱對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的要求不同，我們根據(jù)大綱要求將不同的認(rèn)知要求進(jìn)行賦值，以此量化課程深度，如表1所示。

表1 知識(shí)點(diǎn)掌握程度量化表

（3）λ的取值。λ是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，根據(jù)現(xiàn)有研究成果，專家學(xué)者普遍認(rèn)為課程廣度對(duì)課程難度的影響較大一些，故取值為λ=0.6。

2.新舊教材數(shù)列部分課程難度的量化比較。數(shù)列部分課程時(shí)間的確定。根據(jù)舊教材數(shù)列部分內(nèi)容的課時(shí)安排情況確定為14課時(shí)，即T1=14；而新教材數(shù)列部分內(nèi)容的課時(shí)安排總計(jì)10個(gè)課時(shí)，即T2=10。

根據(jù)上文中確認(rèn)知識(shí)點(diǎn)以及賦值法，我們將新舊教材數(shù)列部分的知識(shí)點(diǎn)及對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度用表2羅列出來(lái)。根據(jù)此表數(shù)據(jù)，可以得出新舊教材課程廣度和課程深度（見表3），并可以分別求出兩本教材中數(shù)列部分的可比廣度和可比深度（見表4）。

表2 “數(shù)列”各知識(shí)點(diǎn)及掌握程度的賦值

表3 新舊教材課程廣度和課程深度統(tǒng)計(jì)

舊教材的可比廣度為G1/T1=0.86，可比深度為S1/T1=2.14；新教材的可比廣度為G2/T2=0.8，可比深度為S2/T2=1.4。

表4 新舊教材數(shù)列部分的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

所以根據(jù)所建立的模型，分別表示出新舊教材數(shù)列部分的課程難度：

N1=0.80·λ+1.40·（1-λ）=1.4-0.6·λ

N2=0.86·λ+2.14·（1-λ）=2.14-1.28·λ

由于0<λ<1，故0.8

如果λ=0.6，那么N1=1.04，N2=1.37。

3.新舊教材數(shù)列部分課程難度對(duì)比結(jié)論。

由圖1可以看出，直線l1表示新教材數(shù)列部分課程難度系數(shù)值N1，直線l2表示舊教材數(shù)列部分課程難度的N2，由于0<λ<1，無(wú)論λ如何取值，線段l1始終在線段l2的下方。

結(jié)果表明，與舊教材數(shù)列部分的難度相比，新教材的難度有所下降，這主要是因?yàn)樾陆滩臄?shù)列部分的課程廣度以及課程深度都比舊教材的要低。

四、新教材使用教學(xué)建議

新大綱倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、生生之間交流互動(dòng)與共同發(fā)展，讓學(xué)生都能獲得必需的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生得到全面發(fā)展。以下幾點(diǎn)教學(xué)建議僅供教師使用新教材時(shí)參考。

1.新教材使用時(shí)，教學(xué)要突破“定義-定理-證明”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，不必拘泥于嚴(yán)格的演繹推理，可從具體的生產(chǎn)或生活實(shí)例進(jìn)行探究引入課題，導(dǎo)出相關(guān)概念，關(guān)注學(xué)生的直覺感受和已有經(jīng)驗(yàn)，并把它們提升到數(shù)學(xué)理論的高度。挖掘“思考交流”的深度，使學(xué)生真正內(nèi)化知識(shí)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。充分利用“問題解決”強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界的能力。

2.按照大綱的要求，數(shù)列概念的引入、等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)都要結(jié)合學(xué)生生活實(shí)例和不同專業(yè)背景來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。因此，教師在教學(xué)的過(guò)程中要精選一些典型的、適合學(xué)生的生活情境，從實(shí)際應(yīng)用的角度去引出概念，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，提高教學(xué)效率。

3.本章節(jié)的重點(diǎn)是等差數(shù)列和等比數(shù)列。等差數(shù)列和等比數(shù)列在知識(shí)內(nèi)容和思想方法上都很相似。在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列后，建議教師引導(dǎo)學(xué)生用比較學(xué)習(xí)法，類比于等差數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)以及前n項(xiàng)和等，自主探索等比數(shù)列的相應(yīng)問題。

4.關(guān)于信息化教學(xué)的引入。根據(jù)教學(xué)大綱要求，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算工具使用技能。信息化時(shí)代智能化計(jì)算工具的使用應(yīng)該成為學(xué)生的必備技能。本章節(jié)借助計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，可以在學(xué)習(xí)過(guò)程中起到化繁為簡(jiǎn)的作用，如“正方形篩子”的建立等。

5.本章節(jié)的“探究”“問題解決”以及例題和習(xí)題中，有許多來(lái)源于古代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的素材，如“出門望九堤”“雪花問題”等，還有很多來(lái)源于實(shí)際生活情境，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化價(jià)值的題目，如“麥田怪圈”“分形幾何學(xué)”等。教學(xué)中要注意加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，同時(shí)也要注意利用這些資源，提高學(xué)生學(xué)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

（作者單位：江蘇省連云港中等專業(yè)學(xué)校）