唐志華

【摘 要】三角函數(shù)是中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的第一個(gè)周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個(gè)基本初等函數(shù)。學(xué)習(xí)三角函數(shù)將對(duì)函數(shù)的周邊概念如函數(shù)符號(hào)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建構(gòu)更完整的認(rèn)識(shí)。教師在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與一般函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)要特別注重?cái)?shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。本文還分節(jié)給出了在教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過程及例題處理等具體環(huán)節(jié)的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個(gè)周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個(gè)基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對(duì)函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號(hào)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識(shí)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒有將其作為一種函數(shù)來教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，落實(shí)大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。

本章首先對(duì)角的概念進(jìn)行推廣，并通過弧度制對(duì)角的度量建立角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計(jì)算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。

本章內(nèi)容分為五個(gè)部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時(shí)，其中新授部分16課時(shí)，復(fù)習(xí)部分2課時(shí)。

《大綱》對(duì)本章知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項(xiàng)“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項(xiàng)“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項(xiàng)“掌握”（利用計(jì)算器求三角函數(shù)值及利用計(jì)算器求角度）。

本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個(gè)性與共性之間的關(guān)系。同時(shí)，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點(diǎn)的作法到一個(gè)周期內(nèi)的圖像上的畫法乃至整個(gè)定義域上的圖像的畫法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行類比。

下面，筆者對(duì)本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。

一、5.1角的概念推廣（2課時(shí)）

在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進(jìn)行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，角的范圍是0°～360°。

為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對(duì)所有的角來說，角的頂點(diǎn)、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個(gè)象限的角。

銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。

由“問題解決”可歸納出一般的結(jié)論：

若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個(gè)周角的1/360叫做一度。

在此基礎(chǔ)上通過多種形式的教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個(gè)角的弧度數(shù)就是這個(gè)角（以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑的圓的圓心角）所對(duì)弧的長度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在初中，學(xué)生是通過直角三角形邊的比值來規(guī)定角的三角函數(shù)值：對(duì)于一個(gè)直角三角形的銳角，其正弦值為對(duì)邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對(duì)邊與鄰邊的比值?，F(xiàn)在對(duì)任意角，分別用三個(gè)比值y/r、x/r、y/x來規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的具體位置無關(guān)。

從“問題解決”中，我們可以得出結(jié)論：

一個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于這個(gè)角的正弦；與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就等于這個(gè)角的余弦；與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個(gè)角的正切。

由討論可知，對(duì)于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因?yàn)閞>0），但正切不同（因?yàn)閠anα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要確定角α的三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。

四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時(shí)）

本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱為商數(shù)關(guān)系）。

由兩個(gè)基本關(guān)系式可知，一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個(gè)三角函數(shù)值。

學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡的原則。

五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時(shí)）

根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。

要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點(diǎn)：函數(shù)名稱不變，至于正負(fù)號(hào)，可以通過特殊化的辦法來確定。既然公式對(duì)任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時(shí)當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時(shí)，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

由“問題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對(duì)于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進(jìn)而判定這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時(shí)）

用正弦線作正弦曲線的好處是不需要計(jì)算角的正弦值，實(shí)際就是把正弦線平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時(shí)注意曲線的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五點(diǎn)法”作正弦曲線，實(shí)際就是列表描點(diǎn)法。這里的五個(gè)點(diǎn)分別是曲線與x軸的交點(diǎn)和最高點(diǎn)及最低點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。

無論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到曲線上的一些點(diǎn)，再用光滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來。熟練之后就要把握好正弦曲線的形狀和特征，能迅速畫出正弦曲線的草圖。

由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進(jìn)一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個(gè)單位而得到。

無論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過程中正弦線的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對(duì)周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。

要判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒有特別說明的情況下，我們所說的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。

由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說其圖像每經(jīng)過2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長度為2π的區(qū)間即可。

解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問題時(shí)，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達(dá)式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。

不求值比較兩個(gè)角的正弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時(shí)）

本節(jié)的教學(xué)過程中要充分運(yùn)用好類比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類似方法來研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

與畫正弦線類似，我們要畫出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點(diǎn)（x，cosx）。但余弦線不像正弦線那樣是“豎立”的。從畫圖的角度來說，得到每一個(gè)角的余弦線后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達(dá)到使它“立”起來的效果，這樣畫圖就比較方便。

無論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點(diǎn)，再用平滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來。熟練之后把握好余弦曲線的形狀和特征，就能迅速畫出余弦曲線的草圖。

仔細(xì)觀察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

類比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個(gè)性質(zhì)，對(duì)照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類同的根本原因，可以從幾何上得到解釋：余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

不求值比較兩個(gè)角的余弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來確定它們的大小。

對(duì)于例3，解決時(shí)要有整體意識(shí)，即把x/3看作一個(gè)角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫成集合形式。

八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時(shí)）

為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識(shí)，特別是誘導(dǎo)公式，各個(gè)象限的三角函數(shù)值的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值等。

兩處“思考交流”，都是把例題中的角的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)集R，此時(shí)滿足題意的角就有無數(shù)個(gè)：當(dāng)其正弦值為正時(shí)，它們應(yīng)分別是第一、第二象限角。由例2中已得到滿足題意的兩個(gè)角：π/4和3π/4，再得到所有滿足題意的角的集合：{α│α=π/4+2kπ或3π/4+2kπ，k∈Z}；當(dāng)余弦值為負(fù)時(shí)，它們應(yīng)分別是第二象限角和第三象限角。由例4中已得到滿足題意的兩個(gè)角129.79°和230.21°，再得到所有滿足題意的角的集合：{x│x≈129.79°+k·360°或230.21°+k·360°，k∈Z}。

（作者單位：南京幼兒高等師范學(xué)校）