吳云順

【摘要】文章論述了解析概念的產(chǎn)生，介紹了解析函數(shù)研究的背景及其發(fā)展過程；細致分析了函數(shù)解析的本質(zhì)，總結(jié)了若干解析的等價條件；然后具體剖析了解析概念在課程教學中的重要性；接著指出了現(xiàn)行課程教學中存在的突出問題；最后，針對問題分析了解析函數(shù)內(nèi)容教學的特點并給出了相應(yīng)的教學建議.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；解析函數(shù)；概念探究；教學特點；教學建議

【中圖分類號】G642

引言

復(fù)變函數(shù)論是現(xiàn)行大學本科數(shù)學專業(yè)的核心課程，主要學習經(jīng)典的解析函數(shù)理論.早在19世紀，有關(guān)解析函數(shù)的研究就已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論.這一數(shù)學分支是19世紀最為獨特的創(chuàng)造，幾乎統(tǒng)治了整個19世紀，曾被認為是抽象科學中最和諧的理論之一.自其形成以來，一方面，它深刻地滲透到了代數(shù)學、解析數(shù)論、微分方程、概率統(tǒng)計、計算數(shù)學等數(shù)學分支；另一方面，它又被廣泛地應(yīng)用于理論物理、彈性理論、流體力學、電學以及天體力學等方面.它和數(shù)學其他分支的聯(lián)系也日益密切.并且，對它的研究還發(fā)展出了一些新的數(shù)學分支.因而，在大學數(shù)學專業(yè)的課程學習中，解析函數(shù)的理論占有十分重要的地位.

一般而言，在本科階段該課程包含的主要內(nèi)容有：解析函數(shù)及其性質(zhì)、復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等.這些內(nèi)容都圍繞解析函數(shù)這個中心概念展開.要學好復(fù)變函數(shù)理論，弄清解析函數(shù)是一個關(guān)鍵.然而，在教學的過程當中，針對學生而言，對于解析函數(shù)概念的學習，尤其是對其本質(zhì)的認識，仍然是一個薄弱的環(huán)節(jié).所以，在教學的過程當中，有必要對解析函數(shù)的概念在深層次上作一定的剖析和探究，同時對其教學特點作一定的分析和總結(jié).這樣一來，有利于教學活動的有效展開，起到事半功倍的作用.

文章首先論述了解析概念的產(chǎn)生，介紹了解析函數(shù)研究的背景及其發(fā)展過程；其次深刻分析了函數(shù)解析的本質(zhì)，總結(jié)了若干解析的等價條件；然后具體剖析了解析概念在課程教學中的重要性；接著指出了現(xiàn)行課程教學中存在的突出問題；最后，針對問題分析了解析函數(shù)內(nèi)容教學的特點并給出了相應(yīng)的教學建議.

一、解析概念的產(chǎn)生

1.研究的歷史

復(fù)數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的研究是與部分分式積分法，確定復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的對數(shù)，保形映射，以及實系數(shù)多項式的分解等研究相聯(lián)系而被引入數(shù)學的.

三、解析概念教學的重要性

1.解析概念的地位

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的中心對象，因而復(fù)變函數(shù)論常常又稱為解析函數(shù)論.解析函數(shù)是整個復(fù)變函數(shù)論最基本最重要的概念.

其重要性體現(xiàn)在：首先，通過解析函數(shù)的定義，將復(fù)變函數(shù)論的中心研究對象作了界定，使課程主題對象明確化.其次，由解析函數(shù)論研究的歷史，許多相關(guān)的數(shù)學和實際問題的研究其對應(yīng)的對象都是解析函數(shù)，這在課程中有重要的體現(xiàn).最后，在課程中，由不同時期關(guān)于復(fù)變函數(shù)的研究得到的結(jié)果是由解析這個概念系統(tǒng)組織在一起的.

2.解析概念的紐帶作用

現(xiàn)行大學復(fù)變函數(shù)論課程的內(nèi)容因要求不同而有所區(qū)別.一般在本科階段該課程包含的主要內(nèi)容有：解析函數(shù)及其性質(zhì)、復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等.如上所言，解析函數(shù)是該課程研究的中心對象，而解析又是該課程最基本最重要的概念.實際上，在課程教學中，解析概念還起著關(guān)鍵的紐帶作用.

除去復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)的基本概念外，課程其他部分的內(nèi)容均圍繞解析函數(shù)而展開.在討論復(fù)積分時，由函數(shù)解析得到著名的柯西積分定理和柯西積分公式等結(jié)論；在復(fù)級數(shù)的討論中，得到冪級數(shù)的解析性和解析函數(shù)的級數(shù)性質(zhì)；隨后對環(huán)狀區(qū)域內(nèi)函數(shù)的解析與級數(shù)展開討論了條件與性質(zhì)；在討論留數(shù)理論時，雖然是針對奇點（不解析點），但還是利用去心鄰域內(nèi)函數(shù)的解析性；共形映射則從幾何的角度討論解析的性質(zhì)與應(yīng)用.所以，課程的各部分內(nèi)容都是由解析概念聯(lián)系在一起的.

四、教學中的問題

1.背景知識教學的缺乏

目前，大學數(shù)學專業(yè)課程的教學中普遍存在概念背景知識教學的缺乏.通常直接給出概念以及公理、引理，接下來，大部分時間在做推理論證.這種教學和學習的方式使學生感到課程枯燥乏味，大大降低了學習效率.復(fù)變函數(shù)論課程的教學中當然也存在類似問題.

關(guān)于解析函數(shù)的概念，大多數(shù)教材都未給出相應(yīng)的背景知識，教師教學時也不太重視這個問題.通常是給出定義后，僅將定義本身解釋一遍，而如此定義的原因、過程等等卻未給出相應(yīng)的必要說明.如忽視了解析概念的研究的起源、解析函數(shù)研究的發(fā)展變化以及概念形成的背景等等.致使學生在學習中感到突兀和茫然，對概念沒有深刻的體會和把握，只能低效機械地學習.

2.概念本質(zhì)的強化不夠

在通常的課程教學中，對解析概念的本質(zhì)強化不夠.實際上，在學完了解析的概念（定義）后，學生對解析幾乎不可能有任何深層的體會.而在稍后幾部分重要內(nèi)容即復(fù)函數(shù)的積分理論、解析函數(shù)的Taylor展式、解析函數(shù)的Laurent展式、留數(shù)理論、共形映射以及解析延拓等的學習中，教師和學生又會更加注重于數(shù)學邏輯的推導和技巧的鍛煉，往往忽視了在這些內(nèi)容的教學和學習中去深化對“解析”的認識.

這樣一來，削弱了學生對解析概念的認識和體會，一定程度上使其降低了對各部分內(nèi)容關(guān)聯(lián)度的認識，不能從更高的視野下來系統(tǒng)把握整個課程的內(nèi)容.

五、教學的特點及建議

1.教學特點分析

由上述對解析概念的剖析探究以及復(fù)變函數(shù)論課程內(nèi)容的特點，結(jié)合數(shù)學教育的內(nèi)在規(guī)律，對于解析概念的教學，總結(jié)如下幾個特點：

（1）背景知識的教學，如研究的起源、發(fā)展、形成等對于解析概念的教學是必要的.恰當?shù)谋尘爸R的引入會使學生更為自然和輕松地接受概念，并且對知識的發(fā)展會有一定的歷史的把握.

（2）解析概念對應(yīng)的實際意義，如映射的保形性、場的無源無旋性等內(nèi)容的教學對加深學生在概念理解和接受上有很大的作用.它會在一定程度上將概念形象化，使學生易于接受.

（3）解析概念在整個復(fù)變函數(shù)論課程各部分內(nèi)容的教學中具有紐帶作用，充分發(fā)揮并適時強化這一紐帶作用有利于學生對課程內(nèi)容的全面把握.

（4）解析及其性質(zhì)與實函數(shù)的對比在教學上有利于深化學生對解析概念的理解.函數(shù)的解析特性導致復(fù)函數(shù)在性質(zhì)上與一元實函數(shù)有本質(zhì)差異，在教學中特意比較這種差異有利于學生深刻領(lǐng)會解析的含義.

（5）解析的多種不同等價形式也有利于學生對概念的理解和掌握.熟悉并領(lǐng)會多種不同的等價形式不僅有助于理解概念，還有助于對整體內(nèi)容的把握.

2.相應(yīng)的教學建議

基于現(xiàn)行大學復(fù)變函數(shù)論課程的教學要求，根據(jù)上述解析函數(shù)概念的特征，結(jié)合教學過程中的典型問題以及解析概念教學的特點分析，對復(fù)變函數(shù)論課程中解析函數(shù)概念的教學給出如下建議：

（1）選取恰當?shù)慕滩囊约敖虒W參考書，有目的和針對性地在教學過程中增強關(guān)于解析概念背景知識的教學.同時注重對解析給予恰當?shù)膶嶋H解釋.一句話，就是要使解析這個概念在教學中不要太抽象.

（2）充分發(fā)揮解析概念在復(fù)變函數(shù)論課程中的紐帶作用.通過總結(jié)、展示各種不同形式的解析等價條件，強化學生對解析概念的理解.同時加強學生對整體內(nèi)容的全面把握.

（3）在教學過程中，重視解析函數(shù)與一元實函數(shù)在性質(zhì)上的比較.可引導學生通過比較二者的性質(zhì)差異性，深化學生對解析內(nèi)涵的認識.

【參考文獻】

[1]（美）M. Kline.古今數(shù)學思想（第三冊）[M].上海：上海科學技術(shù)出版社，2002.

[2]（德）C. Caratheodory.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]方企勤.復(fù)變函數(shù)教程[M].北京：北京大學出版社，2009.

[5]余家榮.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6]李忠.復(fù)變函數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2011.

[7]（美）G. Polya，G. Latta.復(fù)變函數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，1985.