陳康金

[摘 要] 本文從“圖形計(jì)數(shù)”“數(shù)字排列”“裁剪拼接”三類問(wèn)題入手，分析如何組織活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想，讓學(xué)生獲取成就感的同時(shí)，產(chǎn)生更大的動(dòng)力去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新.

[關(guān)鍵詞] 歸納猜想；創(chuàng)新實(shí)踐；初中數(shù)學(xué)

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾指出：在我們證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，我們必須猜想到這個(gè)定理，在我們搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，我們必須猜想出證明的主導(dǎo)思想. 數(shù)學(xué)猜想是指人們從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行試探，從而形成某種假設(shè)的一種比較抽象的思維活動(dòng). 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)研究的問(wèn)題進(jìn)行觀察、比較聯(lián)想等一系列非邏輯推理之后，再依據(jù)已有的材料和知識(shí)作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的合理猜想，不僅可使問(wèn)題化難為易，還有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，促進(jìn)智力的發(fā)展，從而提高解題能力. 本人在教學(xué)過(guò)程中，嘗試從以下幾類歸納猜想問(wèn)題入手，組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的觀察動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

圖形計(jì)數(shù)問(wèn)題

此類問(wèn)題往往給出具有一定規(guī)律、逐漸變化的圖形，要求探索該數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律或不變的數(shù)學(xué)性質(zhì). 解決過(guò)程中需要大膽地進(jìn)行猜想、分析、歸納、比較和推理，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索、想象、創(chuàng)造的空間.

探究過(guò)程 學(xué)生四人一組，每組準(zhǔn)備若干圍棋子. 先動(dòng)手嘗試，再分組討論，最后各組總結(jié)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和結(jié)論.

（1）觀察：圖①的棋子數(shù)為1，圖②的棋子數(shù)為6，圖③的棋子數(shù)為16……

（2）分析：圖①為1；圖②為6=1+5；圖③為16=1+5+10……由此可以推知，圖④有1+5+10+15顆棋子，圖⑤有1+5+10+15+20顆棋子，圖⑥有1+5+10+15+20+25顆棋子.

（3）結(jié)論：圖⑥中棋子的顆數(shù)為1+5+10+15+20+25=76顆.

解決圖形計(jì)數(shù)問(wèn)題往往應(yīng)從圖形規(guī)律和數(shù)據(jù)特征兩方面探求解題突破口，關(guān)鍵是讓學(xué)生學(xué)會(huì)將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律歸納成與序號(hào)有關(guān)的公式. 通過(guò)以上活動(dòng)，很容易讓學(xué)生體會(huì)到獲取規(guī)律的樂(lè)趣，并充分感受到從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的知識(shí)推理過(guò)程.

數(shù)字排列問(wèn)題

此類問(wèn)題重在發(fā)現(xiàn)數(shù)字特征，分析排列規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以運(yùn)用.

解析 為了找出數(shù)字排列規(guī)律，我們可先將前8行前8列的數(shù)字全部寫出并用表格呈現(xiàn). 從表格中我們發(fā)現(xiàn)：以第1行、第2行、第1列、第2列上的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)正方形，其中位于正方形的左下頂點(diǎn)，即第2行、第1列交叉處的數(shù)字是4（22）；以第1行、第3行、第1列、第3列上的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)正方形，其中位于正方形的右上頂點(diǎn)，即第1行、第3列交叉處的數(shù)字是9（32）；以第1行、第4行、第1列、第4列上的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)正方形，其中位于正方形的左下頂點(diǎn)，即第4行、第1列交叉處的數(shù)字是16（42）；以第1行、第5行、第1列、第5列上的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)正方形，其中位于正方形的右上頂點(diǎn)，即第1行、第5列交叉處的數(shù)字是25（52）；…，所以可以得到行的數(shù)字排列規(guī)律為，位于偶數(shù)行第1列的數(shù)是行的平方，且第n（偶數(shù)）行的前n個(gè)數(shù)是從n2開始的連續(xù)遞減的自然數(shù)；列的數(shù)字排列規(guī)律為，位于奇數(shù)列第1行的數(shù)字是列的平方，第n（奇數(shù)）列的前n個(gè)數(shù)是從n2開始的連續(xù)遞減的自然數(shù).

如果從行的數(shù)字排列規(guī)律入手推算，由于第6行的第一個(gè)數(shù)是62=36，所以第6行的前六個(gè)數(shù)分別是36，35，34，

33，32，31，無(wú)從得知第7個(gè)數(shù)及其以后的數(shù)字.

如果從列的數(shù)字排列規(guī)律入手推算，由于第45列的第一個(gè)數(shù)是452=2025，所以第45列前45行的數(shù)分別是2025，2024，2023，2022，2021，2020，2019，

2018，…，所以位于第6行第45列的數(shù)是2020.

數(shù)字排列的問(wèn)題，關(guān)鍵在于由數(shù)的位置分析數(shù)的大小規(guī)律，既培養(yǎng)閱讀觀察能力，又提高計(jì)算分析能力. 更重要的是，能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)原來(lái)這么有趣味、有規(guī)律，還有更多的奧秘等待他們?nèi)ヌ剿鳌⑷グl(fā)現(xiàn).

裁剪拼接問(wèn)題

此類問(wèn)題要求學(xué)生有較強(qiáng)的動(dòng)手能力和觀察能力，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 解決此類問(wèn)題，第一，要注意挖掘圖形的特征；第二，要注意根據(jù)特征尋找其中變化的規(guī)律；第三，要根據(jù)規(guī)律大膽地進(jìn)行嘗試性猜想；第四，要注意對(duì)已作出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證并得出結(jié)論.

例3 閱讀下列材料：小文遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：有2個(gè)同樣大小的正方形紙片，排列形式如圖2所示，將它們分割后拼成一個(gè)新的正方形.

小文是這樣做的：沿對(duì)角線剪開，按圖3表示的方法，就可以拼接成一個(gè)新的正方形DENB.

（1）請(qǐng)你也參考小文的作法解決下面問(wèn)題：

現(xiàn)在有兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為2和1的正方形紙片，排列形式如圖4所示，請(qǐng)將其分割后也拼成一個(gè)新的正方形. 要求：在圖4和圖5中分別畫出兩個(gè)拼接成的新正方形.

（2）求出拼接后正方形的面積.

（3）如圖6所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的中點(diǎn)，如果想使中間陰影小正方形的面積是5，那么大正方形ABCD的邊長(zhǎng)應(yīng)該是多少？

探究過(guò)程留給讀者自己完成.

在整個(gè)探索過(guò)程中，由特殊到一般的思想方法引領(lǐng)我們認(rèn)真觀察、分析，先由特例蘊(yùn)涵的特點(diǎn)出發(fā)，探尋規(guī)律，再得出一般結(jié)論，完成創(chuàng)造過(guò)程. 所以，活動(dòng)過(guò)程中，不僅要關(guān)注學(xué)生是否找到了規(guī)律，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否進(jìn)行了思考，教師尤其應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生相互合作、交流，進(jìn)一步探索.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，歸納法扮演著很重要的角色，它啟發(fā)我們思考，幫助我們猜想，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 盡管某些個(gè)別情況下成立的結(jié)論在一般情況下不一定成立，因?yàn)椤拔覀冇米詈?jiǎn)單的歸納方法所得到的真理，并不總是完全的，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)可能是不完備的”，但我們決不能低估這種歸納和猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或今后從事科學(xué)研究中的重要作用. 就人類的認(rèn)識(shí)順序來(lái)說(shuō)，總是先認(rèn)識(shí)個(gè)別的、特殊的事物，再逐步地?cái)U(kuò)大到認(rèn)識(shí)一般的事物，這就是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程. 大數(shù)學(xué)家高斯說(shuō)過(guò)：“如果沒(méi)有大膽而放肆的猜想，那么我們就可能無(wú)法談科學(xué)的發(fā)現(xiàn). ”歸納法雖不能證明真理，卻是探索真理的有力鑰匙，能提供發(fā)現(xiàn)真理的線索.

作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)積極地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)式的探究學(xué)習(xí)，并運(yùn)用觀察、歸納、猜想、類比、驗(yàn)證等手段，進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，使學(xué)生體驗(yàn)到探究的樂(lè)趣，逐步增強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和探索能力，這些都能為今后的創(chuàng)新發(fā)明打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).