胡李萍

【摘要】 隨著近世代數(shù)的不斷完善，以及平面幾何研究工具的不斷發(fā)展，尺規(guī)作圖這一早在古希臘時(shí)期提出的最原始的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在我們的實(shí)踐教學(xué)中越來(lái)越不被重視. 在我們的平面幾何教學(xué)工作中，我們也越來(lái)越多地忽視了尺規(guī)作圖對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)新力的重要作用. 本文將結(jié)合教學(xué)案例來(lái)說(shuō)明尺規(guī)作圖在開(kāi)發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性思維方面的積極作用.

【關(guān)鍵詞】 尺規(guī)作圖；平面幾何；創(chuàng)新力；教學(xué)案例

前人對(duì)尺規(guī)作圖難題的各種開(kāi)創(chuàng)性研究，極大促進(jìn)了數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，這是由于創(chuàng)新性在其中起到了決定性的作用. 相比于現(xiàn)在，我覺(jué)得我們的學(xué)生大多依賴(lài)于教科書(shū)上的標(biāo)準(zhǔn)解題方法，所缺乏的恰是這種對(duì)問(wèn)題的創(chuàng)新性探索. 下面，我通過(guò)尺規(guī)作圖中過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)這一簡(jiǎn)單的教學(xué)案例來(lái)說(shuō)明尺規(guī)作圖對(duì)學(xué)生創(chuàng)新力的重要作用.

一、教學(xué)案例反映尺規(guī)作圖的創(chuàng)新性?xún)r(jià)值

（一）案例一：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)

首先，我們來(lái)回顧一下尺規(guī)作圖的幾種基本方法：（1）作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段. （2）作一個(gè)角等于已知角.（3）作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).（4）作已知角的角平分線(xiàn).（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn). 這幾種基本操作我們?cè)谙逻叺恼撌鲋兄苯邮褂?，不再做證明.

然后，我們來(lái)看一個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題：如圖1，已知圓外一點(diǎn)A，求作過(guò)該點(diǎn)A的圓的切線(xiàn). 我們的方法是：首先，連接AO，作AO的垂直平分線(xiàn)交AO于D. 然后，以D點(diǎn)為圓心，DO為半徑作圓交已知圓于B，C兩點(diǎn). 直線(xiàn)AB，AC即為所求.

在這里，我們用到的性質(zhì)是：（1）圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑. （2）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半. 上面的解法中我們是反過(guò)來(lái)利用了這兩個(gè)性質(zhì). 但是這里并沒(méi)有體現(xiàn)出尺規(guī)作圖對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性的影響，因?yàn)樵谖覀兊慕虒W(xué)中，幾乎所有的老師都止步于這里，只是簡(jiǎn)單地告訴了學(xué)生這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該這樣解決，沒(méi)有去誘導(dǎo)學(xué)生自主地想方法去解決這個(gè)問(wèn)題.

（二）案例二：一道課后證明題

如圖2，已知兩個(gè)同心圓，大圓和小圓半徑分別為R，r，分別過(guò)大圓上A，C兩點(diǎn)作小圓的一條切線(xiàn)交大圓于B，D兩點(diǎn)，切點(diǎn)分別為P，Q. 證明：AB = CD.

這個(gè)問(wèn)題并不難證明，連接OP，OQ，OA，OC，由于OP = OQ = r，OA = OC = R，我們可以證明Rt△APO ≌ Rt△CQO（HL），因此可得AP = CQ；同理可得證△BPO ≌ △DQO，因此BP = DQ. 所以，AP + BP = CQ + DQ，即AB = CD，命題得證.

這道題目?jī)H僅是一道簡(jiǎn)單的證明題嗎？它和尺規(guī)作圖有什么關(guān)系呢？我們知道，尺規(guī)作圖所利用的基本方法就是我們所熟知的一些定理性質(zhì)的逆應(yīng)用，很少有人在做這道題目的時(shí)候會(huì)想到它和尺規(guī)作圖有關(guān)聯(lián)，但是有一名學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)這個(gè)證明題反過(guò)來(lái)做的話(huà)，可以是過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)這個(gè)尺規(guī)作圖問(wèn)題的另一種作法.

（三）案例三：利用案例二的證明題解決案例一的尺規(guī)作圖問(wèn)題

首先，以O(shè)為圓心，OA為半徑作一大圓；其次，在小圓上任意取一點(diǎn)S，過(guò)S點(diǎn)作OS的垂線(xiàn)交大圓于M，N兩點(diǎn)；然后以A點(diǎn)為圓心，MN的長(zhǎng)度為半徑，作圓弧交大圓于P，Q兩點(diǎn)；最后，連接AP，AQ，此時(shí)直線(xiàn)AP，AQ即為所求.

這個(gè)例子中用到的方法就是圖2的證明題逆過(guò)來(lái)思考的. 這樣我們就會(huì)想，在平面幾何里尺規(guī)作圖這個(gè)模塊的教學(xué)中，我們是否可以鼓勵(lì)學(xué)生多去嘗試，在按教科書(shū)教他們做一個(gè)尺規(guī)作圖題目之前，讓他們先去用自己所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，或者鼓勵(lì)他們用多種方法去解決一個(gè)尺規(guī)作圖題目，這樣有利于他們把自己所學(xué)的知識(shí)或者所做的題目和尺規(guī)作圖題目有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，對(duì)學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新性思維也是一種提升.

二、尺規(guī)作圖對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)新力的重要作用

通過(guò)前邊的幾個(gè)教學(xué)案例，尺規(guī)作圖對(duì)提高學(xué)生創(chuàng)新力的重要作用主要表現(xiàn)在：一是尺規(guī)作圖強(qiáng)調(diào)的是圖形的運(yùn)動(dòng)和變換，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力；二是尺規(guī)作圖是學(xué)生實(shí)際操作的過(guò)程，不僅鍛煉學(xué)生的思維，而且對(duì)其動(dòng)手能力也有很大的幫助；三是這種從定理性質(zhì)或是證明題結(jié)論出發(fā)來(lái)解決尺規(guī)作圖的方法，對(duì)學(xué)生的逆向思維的培養(yǎng)有很重要的作用；四是尺規(guī)作圖還是我們教學(xué)工作中一些問(wèn)題解決不可或缺的工具，比如怎樣證明“邊邊角”不能作為證明全等三角形的依據(jù)，我們用尺規(guī)作圖可以直觀清晰地給學(xué)生以展示. 然而，在《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，尺規(guī)作圖被很大地削弱了，并且對(duì)學(xué)生在這方面的要求也有所降低. 對(duì)于我們教學(xué)工作者而言，我們要重視其教學(xué)意義，不僅因?yàn)槠錃v史悠久，是數(shù)學(xué)思維的瑰寶，可以促進(jìn)人們對(duì)問(wèn)題直觀清晰地認(rèn)識(shí)，而且更多的是其這種對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維的啟發(fā).

三、結(jié)束語(yǔ)

尺規(guī)作圖是平面幾何極其重要的一部分，是數(shù)學(xué)美的一種直觀形式表現(xiàn)，是我們教學(xué)工作中對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性思維啟發(fā)的一重要工具，它不僅對(duì)古人數(shù)學(xué)思想的發(fā)展有不可磨滅的推進(jìn)作用，而且對(duì)當(dāng)代學(xué)生數(shù)學(xué)思維的啟迪有極大的影響. 在教學(xué)工作中，我們要利用好這一重要的特點(diǎn)，不斷地啟發(fā)學(xué)生在解決尺規(guī)作圖問(wèn)題中增強(qiáng)創(chuàng)新力，為培養(yǎng)出更優(yōu)秀的學(xué)生，更有數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的驕子而不斷努力！

【參考文獻(xiàn)】

[1]向坤.從尺規(guī)作圖看古希臘數(shù)學(xué)觀及其對(duì)教育的啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（22）.

[2]劉芳.對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)的三個(gè)思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)雜志，2009（10）.