白瑾

摘 要：錯題，特別是題目本身數(shù)據(jù)有問題的一類錯題，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一筆寶貴財(cái)富。如果能夠認(rèn)真糾錯并深入探究錯題，學(xué)生的學(xué)習(xí)將會達(dá)到事半功倍的效果。從一道錯題出發(fā)，對錯題進(jìn)行了深入的分析和探究，不僅弄清楚了錯題的原因，而且還得到了直角三角形的周長與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)錯題；轉(zhuǎn)化思想；舉一反三

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中可能都會遇見一些題目本身就有問題的錯題，而大多數(shù)人都會把錯題扔在一邊，不去理會。殊不知數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定要善于總結(jié)和拓展，善于發(fā)現(xiàn)錯題，并進(jìn)一步探究錯題的原因，這樣才能學(xué)有所用，舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果。

我們不妨來看這一道例題：已知直角三角形的周長為4+

4■，斜邊長為4，則該直角三角形的面積是多少？

錯解：設(shè)該直角三角形的兩直角邊分別為a和b，易知a+b= 4■，則：

易知：a2+b2+2ab=48①

又由勾股定理可知：a2+b2=16②

把②式代入①式可得：ab=16，

因此，該三角形面積為■ab=8

解析：學(xué)生對二元方程組理解不到位，從而算出了錯誤的答案。因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)a和b同時滿足a+b=4■和a2+b2=16，也就是說周長為4+4■，斜邊長為4的直角三角形不存在。直角三角形不存在，面積也就不存在了，因此這是一道錯題。

很多同學(xué)發(fā)現(xiàn)了題目本身出錯后就不去思考了，其實(shí)不然，如果能認(rèn)真研究出錯的原因，說不定你會有意外的驚喜。接下來我們探究：直角三角形周長為4+4■，斜邊c為多少時，該直角三角形是存在的？

分析：我們先用特殊值法試一試，當(dāng)c=5時，直角三角形是否存在？c=6呢？結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=5時，方程a+b=4■-1和方程a2+b2=25組成的方程組有解，即，此時直角三角形存在；但c=6時，方程組a+b=4■-2和a2+b2=36無解，即，此時直角三角形不存在。沿著上述思路，我們就把直角三角形的存在性問題轉(zhuǎn)化成了二次方程的解的存在性問題了。

解：設(shè)該直角三角形的一條直角邊為x，則另一條直角邊為4+4■-c-x，故：

由勾股定理可知：x2+（4+4■-c-x）2=c2

整理二次方程，并根據(jù)判別式法得到c2+2（4+4■）c-（4+ 4■）2≥0，解得c≥■或c≤■，∵c>0故有c≥■。

又根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：x+（4+4■-c-x）>c，

解得c<■

綜上所述，當(dāng)直角三角形的周長為4+4■時，斜邊c一定滿足■≤c<■。

不僅如此，我們還能得到一個更一般的結(jié)論：若直角三角形的周長為m，其斜邊長為c，則斜邊c一定滿足■≤c<■。

證明：設(shè)該直角三角形的一條直角邊為n，則另一條直角邊為m-c-n，從而：n2+（m-c-n）2=c2。整理上面關(guān)于n的一元二次方程，可得判別式Δ=c2+2mc-m2 ∵c2+2mc-m2≥0且c>0∴c≥■又∵n+（m-c-n）>c ∴c<■

綜上所述：c滿足■≤c<■，完成證明。

拓展練習(xí)：

1.已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橫軸正半軸、縱軸正半軸上的兩個動點(diǎn)，且滿足AO、BO、AB三條線段之和為16。

（1）若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，A、B的運(yùn)動過程中，線段OP有最小值，求出此時A、B的坐標(biāo)及OP的最小值。

（2）若⊙M是△AOB的內(nèi)切圓，在A、B的運(yùn)動過程中，求⊙M的半徑R的最大值。

2.已知直角三角形的斜邊長為16，若直角三角形的周長為l，求l的取值范圍。

（作者單位 廣東省深圳市寶安區(qū)新湖中學(xué)）

？誗編輯 董慧紅