劉婷+楊軍

摘 要： 本文為《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》選修系列3中的專題《球面上的幾何》起始內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì).《球面上的幾何》專題課程的開設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力，使學(xué)生體會(huì)類比方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中的重要作用.

關(guān)鍵詞： 球面幾何 教學(xué)設(shè)計(jì) 類比

一、教材分析

《球面上的幾何》是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》選修系列3中的一個(gè)專題.誠(chéng)如《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的那樣：“系列3和系列4是為對(duì)數(shù)學(xué)有興趣和希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而設(shè)置的.所涉及的內(nèi)容反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想，有利于擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值的認(rèn)識(shí).”在開展數(shù)學(xué)培優(yōu)的第二課堂中，筆者將此內(nèi)容進(jìn)行了選講，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此很感興趣.通過對(duì)球面幾何和歐氏平面幾何的類比學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何知識(shí)有了更進(jìn)一步的理解.為此，下面進(jìn)行了《球面上的幾何》的起始課“球面上的基本圖形”的教學(xué)設(shè)計(jì)，以期對(duì)這個(gè)專題的開設(shè)有所幫助.

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

1.認(rèn)識(shí)球面上的基本圖形大圓劣?。ㄇ蛎嫔系木€段）、大圓（球面上的直線）、球面角、球面二角形、球面三角形及其特征；

2.知道球面上的兩條直線只有相交而沒有平行關(guān)系；

3.會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的球面三角形三個(gè)內(nèi)角和三邊大小，從而了解球面三角形的內(nèi)角和大于；

4.通過對(duì)球面上基本圖形的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象力和幾何直觀能力.

（二）過程與方法

通過平面上的線段、直線、角、三角形等圖形類比認(rèn)識(shí)球面上的線段、球面上的直線、球面角、球面三角形的過程，體會(huì)類比方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過對(duì)球面上基本圖形的認(rèn)識(shí)，了解球面幾何與平面幾何的相同之處與不同之處，認(rèn)識(shí)到球面幾何是一個(gè)重要的一個(gè)非歐幾何模型，從而改變對(duì)幾何的固有觀念.

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：球面角、球面三角形相關(guān)量的計(jì)算；類比的研究方法.

教學(xué)難點(diǎn)：球面角、球面三角形的相關(guān)概念及特征的理解.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）課題引入

問題1：我們以前學(xué)過平面幾何的內(nèi)容，平面幾何是研究平面上的基本圖形及其性質(zhì)的一門課程.但是，我們身處的地球及熟知的乒乓球、籃球等物體，卻并不是由平面圍成的幾何體，它們又有怎樣的特性呢？從這節(jié)課開始，我們就學(xué)習(xí)球面幾何的基本內(nèi)容.仿照平面幾何的研究?jī)?nèi)容，你能說一說球面幾何是研究什么內(nèi)容的？

問題2：在現(xiàn)實(shí)生活中，球面幾何知識(shí)有著廣泛的應(yīng)用，大家能舉例說一說，現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用球面幾何的例子嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】問題1：讓學(xué)生從平面幾何的研究?jī)?nèi)容類比聯(lián)想球面幾何的研究?jī)?nèi)容，充分考慮到了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)也為后面通過平面幾何的基本圖形及其性質(zhì)學(xué)習(xí)球面幾何的基本圖形及其性質(zhì)奠定了知識(shí)與方法基礎(chǔ).問題2：通過教師和學(xué)生共同舉例，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活、用于生活、高于生活.

（二）探究新知

1.球面上的大圓劣弧——“線段”

創(chuàng)設(shè)情境：球面上有兩點(diǎn)M、N（這兩點(diǎn)非直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），一只螞蟻想從M點(diǎn)爬到N點(diǎn)，你能找到螞蟻爬行的最短路徑嗎？（動(dòng)畫演示）

由此引出球面上過M、N兩點(diǎn)的大圓劣弧，就是球面上的線段.在平面上兩點(diǎn)確定一條線段，在球面上也有類似的結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生對(duì)球面幾何的認(rèn)知基礎(chǔ)是球面距離這個(gè)概念，讓學(xué)生通過尋找在球面上螞蟻爬行的最短路徑，喚起學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上順理成章地幫助學(xué)生形成球面上的大圓劣弧就是球面上的線段這個(gè)基本而又重要的概念，為后面進(jìn)一步形成球面上的直線概念做好鋪墊.

2.球面上的大圓——“直線”

教師啟發(fā)：既然把平面上的線段向兩邊無限延伸形成的圖形稱為平面上的直線，那么是否也可以把球面上的大圓劣弧向兩邊延伸形成的大圓稱為球面上的直線呢？

【設(shè)計(jì)意圖】球面上的直線概念的建立是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，如果學(xué)生對(duì)“球面上的直線就是球面上的大圓”不能有效認(rèn)同，那么就會(huì)對(duì)整個(gè)球面幾何體系產(chǎn)生懷疑.這里通過平面上的線段向兩邊無限延伸形成一條直線類比建立“球面上的大圓劣弧向兩邊延伸形成的大圓就是球面上的直線”這個(gè)認(rèn)識(shí)，有效地突破了這個(gè)難點(diǎn).

類比2：平面上兩點(diǎn)定線，并且直線的長(zhǎng)度無限，那么球面上的大圓，即球面上的直線是否也具有類似的性質(zhì)？

師生發(fā)現(xiàn)：過非直徑兩端點(diǎn)的直線具有唯一性；過直徑兩端點(diǎn)的直線不唯一；球面上的直線長(zhǎng)度固定.

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)球面上的大圓，即球面上的直線具有與平面相同的特征，也具有與平面完全不同的特征.

3.兩個(gè)大圓的位置關(guān)系

類比3：平面上兩條直線有相交與平行兩種位置關(guān)系，那么球面上的兩個(gè)大圓，即球面上兩條直線的位置關(guān)系是什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過類比，學(xué)生認(rèn)識(shí)到球面上的兩個(gè)大圓只有相交而沒有平行關(guān)系.這一點(diǎn)顯然與平面上直線的特征完全不同，從而從根本上轉(zhuǎn)變學(xué)生對(duì)“兩條直線”位置關(guān)系的原有觀念.這種轉(zhuǎn)變是震撼性的，所以教師在此處可以介紹歐幾里得關(guān)于平面幾何的5個(gè)公設(shè)，特別是平行公設(shè)，從而使學(xué)生了解球面幾何是不同于歐氏幾何的一個(gè)重要非歐幾何模型.

4.球面角

（1）球面角的定義

類比4：平面上兩條直線的相交程度是用角度度量的，那么球面上兩條直線的相交程度是否也可以用角度度量？試著根據(jù)平面上角的概念類比定義球面上兩條直線相交所成的角.

【設(shè)計(jì)意圖】通過平面上的角類比定義球面上的角，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)類比方法在研究球面幾何中的作用.同時(shí)學(xué)生通過思考球面上的角與平面上的角的區(qū)別，能使球面角的概念作為相對(duì)獨(dú)立的新知識(shí)單獨(dú)保存下來.endprint

（2）球面角的度量與計(jì)算

【設(shè)計(jì)意圖】球面角的度量方法是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).通過動(dòng)畫演示使學(xué)生發(fā)現(xiàn)球面角大小的變化其實(shí)與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關(guān)，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現(xiàn)了化曲為直的思想.

熱身練習(xí)一：如圖3，已知球面上點(diǎn)A（北極）、B（經(jīng)緯度均為0°）、M（東經(jīng)20°、北緯45°）、N（東經(jīng)100°、赤道），分別計(jì)算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設(shè)計(jì)意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個(gè)內(nèi)角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習(xí)的目的一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)用上述兩種方法計(jì)算簡(jiǎn)單的球面角大小，另一方面為學(xué)生以后認(rèn)識(shí)“球面三角形的內(nèi)角大于180°，過球面上直線外一點(diǎn)可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結(jié)論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請(qǐng)大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習(xí)二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計(jì)算其三邊長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的大小.

【設(shè)計(jì)意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎(chǔ)上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯(lián)系，使學(xué)生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些問題轉(zhuǎn)化為歐氏幾何問題，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結(jié)與反思

在總結(jié)球面上的基本圖形及其研究方法的基礎(chǔ)上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質(zhì)？

五、教學(xué)設(shè)計(jì)總結(jié)

（一）球面上兩點(diǎn)間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個(gè)概念是學(xué)習(xí)本專題的基礎(chǔ).

（二）類比是學(xué)習(xí)球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進(jìn)而在后續(xù)內(nèi)容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內(nèi)角和等使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到類比方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些判定定理轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內(nèi)角和大于π”認(rèn)識(shí)到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到世界是豐富多彩的，不同的實(shí)際需要不同的數(shù)學(xué)模型來描述.

（五）通過球面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何內(nèi)容有了更深的理解，進(jìn)一步完善了所學(xué)的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內(nèi)，但是通過球面幾何的學(xué)習(xí)最終學(xué)生能發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學(xué)生終生受益.

參考文獻(xiàn)：

[1]李學(xué)軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（24）：19-22.

[2]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量與計(jì)算

【設(shè)計(jì)意圖】球面角的度量方法是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).通過動(dòng)畫演示使學(xué)生發(fā)現(xiàn)球面角大小的變化其實(shí)與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關(guān)，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現(xiàn)了化曲為直的思想.

熱身練習(xí)一：如圖3，已知球面上點(diǎn)A（北極）、B（經(jīng)緯度均為0°）、M（東經(jīng)20°、北緯45°）、N（東經(jīng)100°、赤道），分別計(jì)算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設(shè)計(jì)意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個(gè)內(nèi)角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習(xí)的目的一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)用上述兩種方法計(jì)算簡(jiǎn)單的球面角大小，另一方面為學(xué)生以后認(rèn)識(shí)“球面三角形的內(nèi)角大于180°，過球面上直線外一點(diǎn)可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結(jié)論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請(qǐng)大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習(xí)二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計(jì)算其三邊長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的大小.

【設(shè)計(jì)意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎(chǔ)上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯(lián)系，使學(xué)生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些問題轉(zhuǎn)化為歐氏幾何問題，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結(jié)與反思

在總結(jié)球面上的基本圖形及其研究方法的基礎(chǔ)上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質(zhì)？

五、教學(xué)設(shè)計(jì)總結(jié)

（一）球面上兩點(diǎn)間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個(gè)概念是學(xué)習(xí)本專題的基礎(chǔ).

（二）類比是學(xué)習(xí)球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進(jìn)而在后續(xù)內(nèi)容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內(nèi)角和等使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到類比方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些判定定理轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內(nèi)角和大于π”認(rèn)識(shí)到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到世界是豐富多彩的，不同的實(shí)際需要不同的數(shù)學(xué)模型來描述.

（五）通過球面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何內(nèi)容有了更深的理解，進(jìn)一步完善了所學(xué)的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內(nèi)，但是通過球面幾何的學(xué)習(xí)最終學(xué)生能發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學(xué)生終生受益.

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[2]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量與計(jì)算

【設(shè)計(jì)意圖】球面角的度量方法是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn).通過動(dòng)畫演示使學(xué)生發(fā)現(xiàn)球面角大小的變化其實(shí)與角兩邊所確定的半平面形成的二面角大小變化有關(guān)，從而得到刻畫球面角大小的二面角法.另外通過極限過程，得到刻畫球面角大小的切線法.這種切線法體現(xiàn)了化曲為直的思想.

熱身練習(xí)一：如圖3，已知球面上點(diǎn)A（北極）、B（經(jīng)緯度均為0°）、M（東經(jīng)20°、北緯45°）、N（東經(jīng)100°、赤道），分別計(jì)算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【設(shè)計(jì)意圖】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三個(gè)內(nèi)角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此熱身練習(xí)的目的一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)用上述兩種方法計(jì)算簡(jiǎn)單的球面角大小，另一方面為學(xué)生以后認(rèn)識(shí)“球面三角形的內(nèi)角大于180°，過球面上直線外一點(diǎn)可以做不止一條直線與已知直線垂直”這些與毆氏幾何完全不同的結(jié)論埋下伏筆.

5.球面三角形

類比5：平面上三條首尾相接的線段圍成的圖形叫做三角形.那么類似地，請(qǐng)大家定義球面上的三角形，并指出球面三角形的邊與角.

球面三角形定義：球面上三條大圓劣弧首尾順次相接構(gòu)成的封閉圖形稱為球面三角形.

熱身練習(xí)二：如圖4，已知球心為O的單位球面△ABC滿足OA，OB，OC兩兩所成的角均為60°，計(jì)算其三邊長(zhǎng)和三個(gè)內(nèi)角的大小.

【設(shè)計(jì)意圖】在用平面上的三角形類比定義球面上的三角形的基礎(chǔ)上，通過球面△ABC與三面角O-ABC的聯(lián)系，使學(xué)生看到三面角在研究球面三角形中起到的“腳手架”作用，利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些問題轉(zhuǎn)化為歐氏幾何問題，從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和幾何直觀能力.

（三）小結(jié)與反思

在總結(jié)球面上的基本圖形及其研究方法的基礎(chǔ)上，反思：為什么球面幾何既有與平面幾何相同的特征，又有與平面幾何不同的性質(zhì)？

五、教學(xué)設(shè)計(jì)總結(jié)

（一）球面上兩點(diǎn)間的距離是球面幾何的核心概念，理解這個(gè)概念是學(xué)習(xí)本專題的基礎(chǔ).

（二）類比是學(xué)習(xí)球面幾何最重要的思想方法.通過類比平面上的直線、角、三角形，引入球面上的“直線”（大圓）、球面角、球面三角形等基本圖形，進(jìn)而在后續(xù)內(nèi)容中類比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及內(nèi)角和等使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到類比方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用.

（三）三面角是研究球面幾何問題的“腳手架”.利用這個(gè)“腳手架”，可以把球面三角形的有關(guān)問題，如邊長(zhǎng)、夾角、全等的一些判定定理轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.

（四）通過“球面三角形的內(nèi)角和大于π”認(rèn)識(shí)到球面幾何是不同于歐氏幾何的一類幾何模型.從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到世界是豐富多彩的，不同的實(shí)際需要不同的數(shù)學(xué)模型來描述.

（五）通過球面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何內(nèi)容有了更深的理解，進(jìn)一步完善了所學(xué)的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高了幾何直觀能力和空間想象能力.盡管球面幾何不在高考的范圍之內(nèi)，但是通過球面幾何的學(xué)習(xí)最終學(xué)生能發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，而這恰恰能使學(xué)生終生受益.

參考文獻(xiàn)：

[1]李學(xué)軍.起始課，能否承載更多——基于人教A版起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（24）：19-22.

[2]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（08）：45-48.

[3]張勁松，劉長(zhǎng)明.高中數(shù)學(xué)課程中的《球面幾何》（續(xù)）[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（09）：52-57.

[4]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的幾何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint