韓俊義

【摘 要】“模型思想”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的十大核心概念之一。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)建模，甚至可以說(shuō)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程。在這過(guò)程中，合情推理，舉三反一，可以把發(fā)現(xiàn)規(guī)律系統(tǒng)地梳理串聯(lián)，縱向成線；觸類(lèi)旁通，再舉一反三，可以把新舊知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，橫向成片。線面組合，立體建構(gòu)，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具深度、廣度、高度。

【關(guān)鍵詞】模型；數(shù)學(xué)模型；建模教學(xué)；舉三反一；舉一反三

談到建模教學(xué)，首先要明白什么是“數(shù)學(xué)模型”，什么是“數(shù)學(xué)建?！保?/p>

何為“數(shù)學(xué)模型”？我以為，作為“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的數(shù)學(xué)模型和我們?nèi)粘Ｉ钪幸?jiàn)到的物品制作模型既有聯(lián)系又有區(qū)別。聯(lián)系是，作為“模型”二者都能由“一”派生出“很多”。不同的是，用生活中物品制作模型制造出來(lái)的東西，材料、質(zhì)地、模樣、外觀都完全相同，比如，用礦泉水瓶模型制作出來(lái)的成千上萬(wàn)的瓶子都是一模一樣的；而同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，卻有著豐富多樣的具體形態(tài)，只不過(guò)這些具體形態(tài)中蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”又是同一的。

所謂“數(shù)學(xué)建模”，就是“把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)的這一運(yùn)用過(guò)程也就是數(shù)學(xué)建?！薄＜?xì)細(xì)想來(lái)，“實(shí)際問(wèn)題→建立模型→解釋?xiě)?yīng)用”的路徑早就存在于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，只是以前我們沒(méi)有從“建模”的角度來(lái)提，也沒(méi)有提到現(xiàn)在的高度。

通過(guò)上述分析思考，使我想到兩個(gè)耳熟能詳?shù)脑~語(yǔ)：“舉三反一”和“舉一反三”?！熬唧w問(wèn)題→建立模型”的過(guò)程實(shí)際上就是“舉三反一”，即從一些具體的、特殊的、個(gè)別化的具體問(wèn)題（“三”）的研究中發(fā)現(xiàn)出共性的、普遍性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、關(guān)系等（“一”）。“建立模型→解釋?xiě)?yīng)用”的過(guò)程實(shí)際上就是“舉一反三”，即通過(guò)知識(shí)遷移，思考實(shí)踐，將提煉出的數(shù)學(xué)思想、方法等（“一”）靈活變通地運(yùn)用到更加豐富多樣的實(shí)際問(wèn)題中（“三”）。這兩個(gè)過(guò)程，多樣性和統(tǒng)一性相互交融，前后關(guān)聯(lián)又螺旋上升，意蘊(yùn)豐富，奧妙無(wú)窮。

一、舉三反一——從具體到抽象，積累有深度

1.舉三反一理解算理

關(guān)于計(jì)算教學(xué)，一般都是就算式講算法。很多時(shí)候，學(xué)生知其然，但不知其所以然。究其原因，一是算法比較“顯現(xiàn)”，容易把握，而算理比較“隱藏”，較為抽象；二是算法多樣化受到普遍重視，但多樣性中的統(tǒng)一性卻受到冷落。事實(shí)上，在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種途徑探尋算法的過(guò)程中，有必要提煉出共同的本質(zhì)特征，建立起初步的模型。

2.舉三反一發(fā)現(xiàn)規(guī)律

數(shù)學(xué)中規(guī)律無(wú)處不在?！罢乙?guī)律”在蘇教版教材中也多處涉及到，在數(shù)、式子、圖形排列中我們都可以看到它的身影，還單獨(dú)安排了“找規(guī)律”單元。對(duì)于學(xué)生而言，直觀形象的簡(jiǎn)單規(guī)律大多都能夠發(fā)現(xiàn)，但如果是一些復(fù)雜的規(guī)律或者是需要探索出的潛在規(guī)律，學(xué)生往往很難發(fā)現(xiàn)。只有充分感悟，從事例中積累經(jīng)驗(yàn)，才能有所得，有所獲，掌握的規(guī)律數(shù)學(xué)模型才更有價(jià)值。

二、舉一反三——從抽象到具體，遷移有廣度

1.變換情境舉一反三

從抽象到具體時(shí)，特別要注意這個(gè)“具體”的多樣性和豐富性，而多樣性和豐富性更多的來(lái)自不同的情境、不同的素材，因此，讓學(xué)生由點(diǎn)及面，以“一”引“三”，多角度、分層次變換情境來(lái)進(jìn)行模型應(yīng)用，可以深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)下冊(cè)第二單元的教學(xué)內(nèi)容是“用數(shù)對(duì)確定位置”，學(xué)生在一年級(jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)用“第幾個(gè)”、在二年級(jí)已經(jīng)學(xué)過(guò)用“第幾排第幾個(gè)”以及類(lèi)似的方式來(lái)描述實(shí)際情境中物體的位置，而數(shù)對(duì)則是通過(guò)二維平面軸（列，行）來(lái)確定物體在平面上的位置。學(xué)習(xí)中，我們可以將教室內(nèi)學(xué)生位置主題圖變成點(diǎn)子圖、公園景點(diǎn)地圖、方格圖等，基本目標(biāo)就是用“數(shù)對(duì)”表示物體的具體位置，稍作提高，可以讓學(xué)生根據(jù)提示用點(diǎn)表示出物體的位置，可以在交叉點(diǎn)上，也可以是交叉格內(nèi)，最后還可以讓學(xué)生在象棋盤(pán)上邊下棋邊報(bào)棋子位置。變化了背景圖的外在形式，不變的是用數(shù)對(duì)確定位置的方法，萬(wàn)變不離其宗，通過(guò)一系列的練習(xí)鞏固，學(xué)生深刻體會(huì)到“數(shù)對(duì)”的作用與價(jià)值，加深了印象，頭腦中的數(shù)學(xué)模型也更加清晰。

2.變通思維舉一反三

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是讓學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”或“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，開(kāi)展建模教學(xué)，最終是要培養(yǎng)學(xué)生更好的模型意識(shí)，建立起基于模型的數(shù)學(xué)思維。這樣的目標(biāo)，需要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)素材來(lái)不斷地進(jìn)行點(diǎn)撥、提示、強(qiáng)化，直至變得自然。

總的說(shuō)來(lái)，不管是“舉三反一”，還是“舉一反三”，都是建立在遵循數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，是讓學(xué)生在“舉”與“反”的循環(huán)往復(fù)中不斷提升技能的過(guò)程，是引導(dǎo)學(xué)生不斷增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，不斷獲得一種基于模型的學(xué)習(xí)能量。相比而言，“舉三反一”強(qiáng)調(diào)“積累”，“舉一反三”著力“遷移”?！斑w移”要以“積累”為基礎(chǔ)，“積累”必以“遷移”為延伸。二者有機(jī)結(jié)合，相輔相成，承前啟后，螺旋遞進(jìn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的系統(tǒng)整合和數(shù)學(xué)模型思想的全面落實(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000，第15頁(yè)