【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程總目標(biāo)提出“三重聯(lián)系”，這不僅規(guī)定了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，而且也為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一個(gè)新的視角。以“頻率的穩(wěn)定性”為例，分析“三重聯(lián)系”在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的地位和作用，并由此構(gòu)建“頻率的穩(wěn)定性”的教學(xué)設(shè)計(jì)。

【關(guān)鍵詞】三重聯(lián)系;教學(xué)設(shè)計(jì);頻率的穩(wěn)定性

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）26-0015-03

【作者簡(jiǎn)介】陳克勝，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院（安徽蕪湖，241002）副教授，碩士生導(dǎo)師。

高水平的教學(xué)設(shè)計(jì)是保證課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的根本性措施之一，同時(shí)也反映教師專業(yè)化水平?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程總目標(biāo)提到：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”，概稱為“三重聯(lián)系”，作為課程總目標(biāo)之一，實(shí)際上為教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)指明了方向，同時(shí)也架構(gòu)了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的基本內(nèi)容。由此，可以說(shuō)“三重聯(lián)系”為高水平的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)提供一個(gè)新的視角。

從數(shù)學(xué)的發(fā)展來(lái)看，19世紀(jì)前，數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力主要來(lái)自于現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，與之對(duì)應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，很自然地將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間建立了聯(lián)系，但容易忽視數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。到了20世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展的另一動(dòng)力來(lái)自數(shù)學(xué)自身內(nèi)部，特別是羅素悖論的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)形成了三個(gè)不同觀點(diǎn)——邏輯主義、直覺(jué)主義和形式主義，與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)容易過(guò)于“數(shù)學(xué)化”“抽象化”。綜合考量“三重聯(lián)系”，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)提供了基本思路，下面以“頻率的穩(wěn)定性”為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，以供參考。

一、“頻率的穩(wěn)定性”的“三重聯(lián)系”之分析

1.概率與其他學(xué)科和生活之間的二重聯(lián)系。

概率最早源于賭博問(wèn)題的研究，與人們的生活緊密聯(lián)系在一起。1653年，帕斯卡的一位朋友梅雷向其請(qǐng)教賭博中分配賭金的問(wèn)題，引起帕斯卡的興趣，帕斯卡和費(fèi)爾馬共同研究，解決了賭博中的問(wèn)題，他們將擲骰子視為古典概型，后來(lái)拉普拉斯給出了古典概率的定義。由賭博而開(kāi)啟了概率的研究，這成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家研究的動(dòng)力和興趣。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯出版了《論賭博中的計(jì)算》，專門討論賭博中有關(guān)點(diǎn)數(shù)的問(wèn)題，如計(jì)算骰子的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率。1713年，雅各布·伯努利《猜度術(shù)》，將概率知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化，并由有限樣本空間逐步擴(kuò)展到無(wú)限樣本空間，得到處理隨機(jī)現(xiàn)象的大數(shù)定律。而現(xiàn)實(shí)生活能為理解概率提供大量有趣、啟迪思維的例子?？傊?，在現(xiàn)實(shí)生活、其他學(xué)科中存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，為“頻率的穩(wěn)定性”的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了豐富的教學(xué)資源，包括課題學(xué)習(xí)的引入、教學(xué)中的師生互動(dòng)、分析以及鞏固練習(xí)、課外訓(xùn)練等。

2.數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

由于概率源自于生活，并用于解決其他學(xué)科的問(wèn)題，內(nèi)容豐富而有意義，而建立在公理化基礎(chǔ)上的概率論對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，因此，應(yīng)加強(qiáng)概率有關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系。由數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系而獲得教學(xué)設(shè)計(jì)的啟發(fā)，其教學(xué)設(shè)計(jì)除了用豐富的實(shí)例引入、分析、歸納“頻率的穩(wěn)定性”定義外，還應(yīng)關(guān)注：（1）概率的古典定義和統(tǒng)計(jì)定義的聯(lián)系;（2）概率的統(tǒng)計(jì)定義中關(guān)于試驗(yàn)的次數(shù)的確定;（3）頻率估計(jì)概率的基本思想與方法。

3.概率的古典定義和統(tǒng)計(jì)定義的聯(lián)系。

概率的古典定義是由拉普拉斯給出的，它討論的對(duì)象僅限于隨機(jī)試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果為有限多且等可能的情形，并且每一事件都是等可能發(fā)生，具有先驗(yàn)性，是客觀存在的理想值。而概率的統(tǒng)計(jì)定義是以伯努利大數(shù)定理為理論依據(jù)，取頻率的穩(wěn)定值為概率，具有后驗(yàn)性。也就是說(shuō)，概率的統(tǒng)計(jì)定義是利用頻率來(lái)研究隨機(jī)事件的概率，只是近似地計(jì)算隨機(jī)事件概率的方法。其優(yōu)點(diǎn)有：一是這種定義突破了隨機(jī)試驗(yàn)要滿足“事件發(fā)生的等可能性”的限制，具有一般性;二是這種定義突破了事件發(fā)生所有可能的結(jié)果的有限性，而只關(guān)注某個(gè)事件發(fā)生的概率;三是直觀性，直觀地揭示了概率的含義;四是隨機(jī)試驗(yàn)并不限于古典概型，需要通過(guò)大量試驗(yàn)、重復(fù)觀察來(lái)確定概率，是用來(lái)估計(jì)概率的一種方法。因此，概率的統(tǒng)計(jì)定義主要是具有理論上的價(jià)值，很少用它直接計(jì)算事件的概率。但也有其弊端：在有限次試驗(yàn)中很難確定頻率的穩(wěn)定值，求概率比較難。因?yàn)槭录碾S機(jī)性會(huì)導(dǎo)致不同的試驗(yàn)者在有限試驗(yàn)的次數(shù)內(nèi)可能會(huì)得到不同的“穩(wěn)定值”，也就是說(shuō)在穩(wěn)定值上下擺動(dòng)，只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限大時(shí)，才能得到穩(wěn)定值。但在實(shí)際中，往往不知概率為何值，只能通過(guò)試驗(yàn)的次數(shù)充分大，頻率才能近似地表示概率。

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師從中獲得的啟發(fā)是：考量學(xué)生已有的認(rèn)知水平和現(xiàn)實(shí)生活的經(jīng)驗(yàn)，將其納入到教學(xué)設(shè)計(jì)中來(lái)，例如，擲硬幣、骰子，可以從檢驗(yàn)古典概型有關(guān)概率計(jì)算的正確性的角度，把概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義聯(lián)系起來(lái)，有助于理解概率的統(tǒng)計(jì)定義。

4.概率的統(tǒng)計(jì)定義中關(guān)于試驗(yàn)的次數(shù)。

由頻率的穩(wěn)定性來(lái)刻畫(huà)概率可以通過(guò)試驗(yàn)來(lái)進(jìn)行教學(xué)，但是頻率具有隨機(jī)性，是一個(gè)不斷變化的值，需要進(jìn)行大量的試驗(yàn)反映隨機(jī)事件的穩(wěn)定性，即概率是一個(gè)理論的確定值。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮試驗(yàn)的次數(shù)，以保證學(xué)生直觀感受到頻率的穩(wěn)定性能刻畫(huà)概率，同時(shí)又考慮課堂教學(xué)時(shí)間的有限性。

關(guān)于隨機(jī)事件試驗(yàn)的次數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)說(shuō)明。假設(shè)我們要估計(jì)某隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，共進(jìn)行n次試驗(yàn)，將第i次試驗(yàn)的結(jié)果用Xi表示（i=1，2，…，n），1表示在第i次試驗(yàn)中隨機(jī)事件A發(fā)生，0表示該隨機(jī)事件不發(fā)生。在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率為fnXi，其均值E（fn）=p，方差var（fn）=，實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)n≥100時(shí)，事件A發(fā)生的頻率近似服從正態(tài)分布。由中心極限定理，若p=0.5，試驗(yàn)次數(shù)n=100，此時(shí)=0.1，則有p{fn-p<0.1}≈0.95，即大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.1。若精度再提高1位，試驗(yàn)次數(shù)要提高100倍，即10000次試驗(yàn)，大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.01。

由此，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師從中獲得的啟示是：讓學(xué)生在試驗(yàn)的過(guò)程中逐漸增加次數(shù)，使學(xué)生初步感受到概率的統(tǒng)計(jì)定義是在一定量的試驗(yàn)的基礎(chǔ)上頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值。設(shè)計(jì)課堂教學(xué)時(shí)，考慮對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，可以2人一組，然后匯總，每組學(xué)生試驗(yàn)次數(shù)分為兩個(gè)數(shù)量級(jí)：100次以下，100次以上，這樣保證試驗(yàn)的次數(shù)達(dá)到一定的量。在此基礎(chǔ)上再利用計(jì)算機(jī)模擬，給出更大數(shù)量。將兩種途徑相互結(jié)合，既達(dá)到有足夠試驗(yàn)次數(shù)的目的，又能讓學(xué)生親身感受隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性。

5.頻率估計(jì)概率的基本思想和方法。

統(tǒng)計(jì)方法的選擇依賴于要解決的實(shí)際問(wèn)題和收集數(shù)據(jù)的方法。頻率估計(jì)概率涉及統(tǒng)計(jì)方法的運(yùn)用，其基本方法是：兩個(gè)估計(jì)量均為同一個(gè)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，在統(tǒng)計(jì)中方差小的估計(jì)量更好。假設(shè)為了估計(jì)事件A發(fā)生的概率p做了大量的試驗(yàn)，得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表。

事件A發(fā)生的頻率表

記n=n1+n2+…+nk，把頻率再平均通常有以下兩種方法。

加權(quán)平均的方法p1=

直接取平均的方法p2=

現(xiàn)在有三個(gè)估計(jì)量p1、p2和fnk可以用來(lái)估計(jì)事件A發(fā)生的概率P，且它們都是P的無(wú)偏估計(jì)，分兩種情況來(lái)討論它們中哪個(gè)估計(jì)量最好，即方差最小。

因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師獲得的啟示是：利用頻率估計(jì)概率，讓學(xué)生理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，在分析和處理數(shù)據(jù)時(shí)，感受到概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系。

二、基于“三重聯(lián)系”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

基于上述“頻率的穩(wěn)定性”之“三重聯(lián)系”分析，我們?cè)囎魅缦陆虒W(xué)設(shè)計(jì)，希望能夠?yàn)槌踔猩袑?shí)掌握“頻率的穩(wěn)定性”提供幫助。

1.問(wèn)題情境引入課題。

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常利用拋擲硬幣來(lái)決定事情的先后，請(qǐng)同學(xué)們想一想：這樣做合理嗎？硬幣正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎？為什么？

（設(shè)計(jì)意圖：以現(xiàn)實(shí)例子來(lái)引入課題，其目的是：其一，學(xué)生對(duì)擲硬幣的隨機(jī)現(xiàn)象已有了一定的認(rèn)知，并已知道其中的結(jié)論，為從統(tǒng)計(jì)的意義驗(yàn)證結(jié)論奠定基礎(chǔ);其二，現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科存在豐富的隨機(jī)現(xiàn)象的例子，以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)概率的現(xiàn)實(shí)意義。）

2.試驗(yàn)驗(yàn)證知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

請(qǐng)同學(xué)們分成小組來(lái)驗(yàn)證一下你們的猜想，2人一個(gè)小組，分別做三次試驗(yàn)：第一次試驗(yàn)次數(shù)為50次，第二次試驗(yàn)次數(shù)為200次，第三次試驗(yàn)次數(shù)為300次，并分別統(tǒng)計(jì)頻數(shù)和頻率，然后請(qǐng)同學(xué)們將每個(gè)小組的試驗(yàn)數(shù)據(jù)匯總，統(tǒng)計(jì)全班所做試驗(yàn)的頻數(shù)和頻率，并畫(huà)出統(tǒng)計(jì)折線圖。請(qǐng)同學(xué)們研究其中有什么規(guī)律。

教師也可以利用計(jì)算機(jī)模擬硬幣試驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察在相同試驗(yàn)次數(shù)下的頻率值，比較一下發(fā)現(xiàn)了什么？

（設(shè)計(jì)意圖：由“數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系”啟發(fā)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)經(jīng)驗(yàn)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，其目的是：其一，通過(guò)學(xué)生親自動(dòng)手操作，重在學(xué)生親身體驗(yàn)頻率與概率的關(guān)系，利于啟迪學(xué)生內(nèi)心世界的自我反省與思考;其二，重溫統(tǒng)計(jì)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象;其三，經(jīng)歷試驗(yàn)過(guò)程的比較與研究，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、猜想等，提升數(shù)學(xué)活動(dòng)能力，學(xué)會(huì)表達(dá)自己的想法;其四，感受計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)研究中的作用;其五，有助于培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作的精神。）

展現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家曾做過(guò)的擲硬幣試驗(yàn)，利用計(jì)算機(jī)模擬這些數(shù)學(xué)家所做試驗(yàn)的次數(shù)，比較結(jié)果，并做出解釋。

（設(shè)計(jì)意圖：其一，讓學(xué)生再次認(rèn)識(shí)、感受頻率的隨機(jī)性，并由之體會(huì)概率的統(tǒng)計(jì)定義;其二，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)家的探索精神和研究方法;其三，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)權(quán)威有一種勇于批判的精神。）

3.課堂練習(xí)鞏固所學(xué)。

小凡做了5次拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他認(rèn)為正面朝上的概率大約為■，朝下的概率約為■。你同意他的觀點(diǎn)嗎？你認(rèn)為他再多做一些試驗(yàn)，結(jié)果還是這樣嗎？

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為■，那么，擲100次硬幣，你能保證恰好50次正面朝上嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：將所學(xué)的知識(shí)用于解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象與困惑，做到學(xué)以致用，反思所學(xué)，利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)批判與審視的態(tài)度和精神。）

三、一點(diǎn)啟示

以上“頻率的穩(wěn)定性”嘗試以“三重聯(lián)系”為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)提供一種理論指導(dǎo)，構(gòu)建“頻率穩(wěn)定性”教學(xué)設(shè)計(jì)，從而為教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供一種新的視角。同時(shí)，也給數(shù)學(xué)教育工作者更多的啟示與思考：第一，“三重聯(lián)系”是以課程總目標(biāo)的形式規(guī)定了教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)達(dá)到的教學(xué)目的，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)需要整體地考量數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，基顯著的特點(diǎn)是整體性;第二，“三重聯(lián)系”是課程總目標(biāo)之一，從宏觀上規(guī)定了數(shù)學(xué)具體的課堂教學(xué)目標(biāo)，但是將課程總目標(biāo)轉(zhuǎn)化為課堂具體目標(biāo)需要教師的數(shù)學(xué)教育智慧，既能實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)，又能滿足學(xué)生意愿，讓學(xué)生樂(lè)意去學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣、興趣;第三，從某種意義上說(shuō)，“三重聯(lián)系”可以作為體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的一種手段，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教育的目的。

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【基金項(xiàng)目】安徽省教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目，編號(hào)：JG12016