徐秀玲

[摘 要] 初中數(shù)學不只是抽象地研究數(shù)與形，初中數(shù)學需要借助初中生的認知特點，確保形象思維和抽象思維均得到充分運用，從而實現(xiàn)數(shù)學教學的知行合一. 數(shù)學實驗是實現(xiàn)這一教學目標的重要途徑，數(shù)學實驗與自然科學實驗類似，但又具有數(shù)學的本質(zhì)特征. 本文以“勾股定理”為列，闡述如何通過數(shù)學實驗實現(xiàn)知行合一.

[關鍵詞] 初中數(shù)學；數(shù)學實驗；知行合一

數(shù)學實驗是一個新興事物，在百度中輸入數(shù)學實驗關鍵詞會發(fā)現(xiàn)，其更多地指向以計算機技術為基礎的大學數(shù)學實驗，這意味著，在初中數(shù)學教學階段，數(shù)學實驗還沒有得到廣泛認識，更別說理解了. 但事實上，初中數(shù)學又蘊涵著豐富的數(shù)學實驗內(nèi)容，從基本的合情推理，到數(shù)學課堂上的數(shù)學活動，其實都有數(shù)學實驗的影子. 有人這樣界定數(shù)學實驗的內(nèi)涵：為獲得某種數(shù)學理論，檢驗某個數(shù)學猜想，解決某類問題，實驗者運用理性的手段，在數(shù)學思維活動的作用下，在特定的實驗環(huán)境中進行探索、研究活動. 這樣的界定指明了數(shù)字實驗的基本含義，但對實驗本身特點的描述不夠充分. 筆者梳理其他相關資料后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學實驗具有實驗特性，選擇數(shù)學實驗所需要的器材并以一定的步驟加以運用，也是數(shù)學實驗的基本因子. 在這樣的視角之下，數(shù)學實驗既具有動手的含義，又具有動腦的要素，從而具有數(shù)學探究特征. 從這個角度講，在初中數(shù)學教學中引入數(shù)學實驗，應當是一件一舉多得的事情.

需指明的是，數(shù)學實驗作為一種操作性活動，其有利于數(shù)學知識與數(shù)學行為的巧妙結合，也有利于數(shù)學教學的知行合一.

初中數(shù)學實驗的理論梳理

根據(jù)筆者對相關理論的梳理發(fā)現(xiàn)，在自然科學及自然學科的教學中，在新課程改革的背景之下，實驗所充當?shù)淖饔贸俗鳛榭茖W概念的背景之外，就是作為科學規(guī)律的探究的某一個環(huán)節(jié)存在. 事實上，數(shù)學與科學關系密切，很多科學家本身也是數(shù)學家，而大數(shù)學家歐拉也說，“數(shù)學這門科學需要觀察，也需要實驗，實驗是科學研究的基本方法，數(shù)學也不例外. ”那么，在初中數(shù)學教學中，數(shù)學實驗應當以什么樣的形態(tài)出現(xiàn)在學生面前呢？筆者以為這首先是一個理論問題.

研究表明，數(shù)學實驗的出現(xiàn)形式與科學探究中的形式并無質(zhì)的區(qū)別，具體到數(shù)學探究的過程中，以數(shù)學實驗為核心的課堂教學常常由如下幾個部分組成.

第一步：創(chuàng)設情境，提出數(shù)學問題. 數(shù)學情境的作用自不必細說，數(shù)學情境對于數(shù)學問題的提出，其作用主要體現(xiàn)在情境對數(shù)學認知平衡的作用上. 研究表明，良好的數(shù)學情境可以讓學生原有的認知平衡受到?jīng)_擊，從而讓學生產(chǎn)生問題意識. 一旦學生的問題經(jīng)過語言或文字表達出來，那就成為一個有形的數(shù)學問題. 從數(shù)學探究的角度來看，適合學生解決的數(shù)學問題才是有意義的.

第二步：作出數(shù)學猜想. 對于提出的數(shù)學問題，其答案可能是什么？一般來說需要經(jīng)過學生的猜想過程. 猜想不是沒有依據(jù)的瞎想，猜想是學生結合原有的認知經(jīng)驗，并對新問題進行可能性判斷的過程. 猜想不一定正確，但一般來說猜想必須有依據(jù). 有無依據(jù)，一般是衡量學生猜想質(zhì)量的重要指標.

第三步：設計數(shù)學實驗，驗證數(shù)學猜想. 猜想是否正確，需通過證明. 一般來說，證明方式有兩種：一種是數(shù)學推理，即通過已知的數(shù)學規(guī)律進行邏輯上的推理，其需要的是學生的邏輯思維，學生此時的加工對象是抽象的數(shù)（包括符號、公式等）與形；另一種是數(shù)學實驗，數(shù)學實驗也需要邏輯思維，但其表現(xiàn)往往是形象的數(shù)學實驗，其往往需要形象思維超過抽象思維. 相比較而言，后者對于更多的初中生具有普適性，但在傳統(tǒng)的數(shù)學教學情境下，數(shù)學實驗因為需要的時間更長，因而常常為教師所放棄（當然也有可能是數(shù)學教師無運用意識）.

第四步：進行數(shù)學實驗，收集實驗現(xiàn)象及數(shù)據(jù). 根據(jù)設計的數(shù)學實驗步驟，利用相應的器材（這里所說的器材不一定是有形的器材，與自然科學的探究不一樣，數(shù)學實驗中的器材更多的是相關計算機應用軟件的使用）進行實驗，觀察現(xiàn)象并收集相關數(shù)據(jù).

第五步：得出數(shù)學實驗規(guī)律. 數(shù)學規(guī)律的得出依賴于實驗的結果，利用數(shù)學知識進行規(guī)律分析.

第六步：對規(guī)律進行數(shù)學化. 上一步驟中得出的數(shù)學規(guī)律往往是經(jīng)驗性的，對于經(jīng)驗性的樸素數(shù)學規(guī)律進行數(shù)學化處理，使之變成科學的數(shù)學規(guī)律，是數(shù)學實驗的最終步驟.

上述內(nèi)容是一個完整的數(shù)學實驗過程，其既類似于自然科學中的實驗步驟，又具有明顯的數(shù)學特征：其一，其面對的對象是數(shù)學的；其二，其過程中用到的是數(shù)學工具與數(shù)學思維；其三，其結果需要數(shù)學化.

初中數(shù)學實驗的教學實踐

在實際的數(shù)學教學中，數(shù)學實驗的運用既具有普遍的共性，又與具體的數(shù)學內(nèi)容相關. 一般來說，想要尋找一個精細且放之四海而皆準的數(shù)學實驗模式，幾乎不可能. 但在宏觀步驟（如上）的指導之下，結合具體的數(shù)學內(nèi)容去設計一個數(shù)學實驗，那是可能的. 現(xiàn)以“勾股定理”的教學為例，談談筆者的探究過程.

勾股定理是初中數(shù)學的重點內(nèi)容，其以什么樣的形式出現(xiàn)在學生面前，關鍵在于教學重點的確定. 筆者認為，對于本內(nèi)容的教學，探究的過程是重點，因此問題的提出相對就應簡單一些. 筆者提出的問題是：中國數(shù)學研究有一個規(guī)律叫“勾三股四弦五”，它是什么意思呢？西方的古老數(shù)學中有一個數(shù)學家叫畢達哥拉斯，它有一項重要發(fā)現(xiàn)，是什么發(fā)現(xiàn)呢？通過古代中外兩個殊途同歸的數(shù)學研究引入課題，算是一種情境創(chuàng)設，可以吸引學生的興趣，也可以激發(fā)學生的探究欲望.

在提出問題與猜想環(huán)節(jié)，筆者也沒有花太多的時間，主要任務有二：其一，借助直角三角形，解釋“勾三股四弦五”的含義；其二，介紹畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)（具體可以參考教材，這里不贅述）. 然后提出問題：是不是所有的直角三角形都滿足這樣的規(guī)律呢？

學生的猜想這時往往有困難，因為這個問題學生不具有猜想的知識基礎，無論答案是“是”還是“不是”，往往只能是學生的無意識判斷，不宜花費太多時間.endprint

在設計實驗與實驗驗證兩個環(huán)節(jié)，數(shù)學實驗的魅力可以得到充分彰顯. 首先是實驗的設計，學生面臨的主要問題是：兩條直角邊的平方可以轉換成什么？而學生的答案往往是：長度. 這個時候，學生很少想到面積. 于是，第一個數(shù)學實驗往往不是利用面積來證明，而是利用純粹的長度來證明. 筆者在實驗中借助應用軟件，可以相對精確地測出兩條直角邊和斜邊的長度，然后求出它們的平方，并去檢驗其是否滿足直角邊的平方和等于斜邊的平方這一關系. 有意思的是，學生還會下意識地在紙上畫出一個直角三角形，然后利用刻度尺去測量. 筆者以為這也是有價值的，盡管其不精確，但實驗思想?yún)s是正確的. 但就算是借助計算機軟件，其關系也不是十分精確.

面對這樣的困難，教師需要引導學生思考：測量和計算的方法，是純粹的數(shù)學意義. 而某一條邊的平方還具有幾何意義！這樣的引導，容易讓學生想到正方形的面積，于是學生的思維就由測量計算轉向?qū)ふ遗c三條邊相關的面積關系——這是這一數(shù)學實驗的核心所在. 傳統(tǒng)數(shù)學教學中，為什么會想到用面積關系來證明勾股定理，這是難以突破的. 但在這樣的實驗過程中，基于學生原有的認知基礎去進行引導，可以讓學生產(chǎn)生一種恍然大悟的感覺，而這樣的感覺恰恰會為后面的實驗探究奠定基礎.

至于后面的實驗過程，同行們倒是比較熟悉，這里也不贅述，只是需要強調(diào)的是，實驗的最后需要進行數(shù)學化. 因為學生得到的結果往往是經(jīng)驗化的表述，“一條直角邊的平方，加上另一條直角邊的平方，等于斜邊的平方”是學生最容易產(chǎn)生的說法，而由其引導到最終的勾股定理過程不容忽視，這里要跟學生強調(diào)數(shù)學語言的簡潔性.

到此，數(shù)學實驗過程全部結束. 分析這段過程，發(fā)現(xiàn)其既與傳統(tǒng)數(shù)學教學有重疊的地方，又有所不同，而不同之處，往往也是數(shù)學實驗的關鍵之處

基于數(shù)學實驗的初中數(shù)學教學

今天，我們認為數(shù)學是研究數(shù)與形，而數(shù)與形又是高度抽象的，因此，無論是教師還是學生，總認為抽象是數(shù)學的特征. 其實這一認識是片面的，尤其是對于初中數(shù)學教學而言，要充分展示其形象性，而形象性的重要手段就是數(shù)學實驗.

在筆者上面所舉的例子中，既有必要的抽象思維，又有豐富的形象操作手段，無論是學生粗糙的測量、計算操作，還是借用計算機軟件的操作，其實都是數(shù)學實驗的思想體現(xiàn).

因此，筆者認為，初中數(shù)學教學要高度重視實驗的價值，要讓學生在數(shù)學學習的過程中，形象思維與抽象思維得到協(xié)調(diào)運用，讓動手和動腦能夠相互促進，這對于學生認識數(shù)學而言，具有重要的意義. 對于初中數(shù)學有效教學而言，也是重要的實現(xiàn)途徑. 數(shù)學是知，實驗是行，數(shù)學實驗，無疑有效地促進了知行合一.endprint