王　倩　李　佳　張亞婷

( 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識整體性探究及其教育價值

王倩李佳張亞婷

( 北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

[摘要]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出學(xué)生應(yīng)該體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是注重?cái)?shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的教學(xué)，教師要經(jīng)常有目的地揭示數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展的過程，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，溝通各部分知識之間縱向與橫向的聯(lián)系，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識。在介紹知識整體性的理論基礎(chǔ)上，闡述了數(shù)學(xué)知識之間相同領(lǐng)域和不同領(lǐng)域的聯(lián)系，以及這樣的聯(lián)系帶來的教育價值(聚合知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率；學(xué)會推理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；融會貫通，提高學(xué)生解決問題的綜合能力；自主建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)知識；整體性；知識聯(lián)系；教育價值；小學(xué)

在現(xiàn)階段的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師大多數(shù)是依據(jù)教材上的內(nèi)容分課時進(jìn)行授課，學(xué)生接收到的知識也是孤立地存在著；再加上教材編寫時，必須考慮學(xué)生的心理接受水平，原本邏輯關(guān)系密切的數(shù)學(xué)知識分布在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”的各個學(xué)段。鑒于數(shù)學(xué)知識之間存在關(guān)聯(lián)性、邏輯性的特征，因此，我們有必要更加廣泛、深入地挖掘數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，一方面擴(kuò)充以教材為依據(jù)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容；另一方面也加深對數(shù)學(xué)知識的理解，更全面地體現(xiàn)其育人功能。

一、知識整體性的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性、邏輯性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時應(yīng)該注意知識間的聯(lián)系性，運(yùn)用整體的思維來學(xué)習(xí)。有學(xué)者對知識的整體性做了一番研究，主要成果有布魯納的結(jié)構(gòu)教學(xué)法、系統(tǒng)論的整體原理。

布魯納認(rèn)為：“不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！苯虒W(xué)論必須詳細(xì)規(guī)定大量知識組織起來的方式，以便于學(xué)習(xí)者掌握。而將知識組織起來的最理想方式是建立知識結(jié)構(gòu)，即學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，它的最大優(yōu)越性在于它具有簡化信息、產(chǎn)生新的命題和增強(qiáng)知識的可操作性等方面的力量。[1]他還指出，知識的相互聯(lián)系首先體現(xiàn)為知識的整體性。它要求教師在教學(xué)中，不僅要了解內(nèi)容本身的規(guī)定和含義，還要把它與其他內(nèi)容聯(lián)系起來去理解和掌握，以此克服知識的離散性，使學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重建立數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生把相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來，形成數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)。

系統(tǒng)論的整體原理也提出了知識的整體性的觀點(diǎn)，把系統(tǒng)看作“是由具有相互聯(lián)系、相互制約的若干組成部分結(jié)合在一起并且具有特定功能的有機(jī)整體”。[2]系統(tǒng)論的整體原理指出，任何系統(tǒng)都是具有結(jié)構(gòu)的，系統(tǒng)的整體功能由系統(tǒng)各部分的綜合功能反映出來。因此，只要挖掘出系統(tǒng)各個部分潛在的最大積極因素，促使其密切配合、協(xié)調(diào)一致，就會產(chǎn)生系統(tǒng)的整體功能大于各孤立部分功能之和的效果。建立數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性就是把孤立的數(shù)學(xué)知識統(tǒng)整在一起，使之具有一定的內(nèi)在邏輯，同時也體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時也有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

正如《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總目標(biāo)所提倡的學(xué)生要“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！盵3]在當(dāng)下日益強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間聯(lián)系的教學(xué)背景下，同樣不能忽視數(shù)學(xué)知識自身內(nèi)部的聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)密性和聯(lián)系性有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，因此筆者著重探索數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，尋找小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，以此來提高課堂教學(xué)的效率，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)知識的整體性

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的整體性體現(xiàn)為各知識間的關(guān)聯(lián)，是指數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系，關(guān)注內(nèi)部的聯(lián)系才能有效把握數(shù)學(xué)知識的整體性，從而利用知識的內(nèi)在聯(lián)系解決問題。但是，由于教材對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律等內(nèi)容是分段編排的，容易造成知識的割裂，因而教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)整理，比較知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，明晰知識的來龍去脈，使各知識點(diǎn)在腦海中連成線、結(jié)成網(wǎng)，形成整體性知識結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容領(lǐng)域包括四個部分：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率和綜合與實(shí)踐。綜合與實(shí)踐本身就融合了數(shù)學(xué)各個知識點(diǎn)，因此不過多論述，而是針對數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率這三部分進(jìn)行闡述。數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的聯(lián)系可分為相同領(lǐng)域和不同領(lǐng)域兩種類型。

1.相同領(lǐng)域內(nèi)的聯(lián)系

在數(shù)與代數(shù)中，毋庸置疑，認(rèn)識數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起步，數(shù)的運(yùn)算是對認(rèn)識數(shù)的承接，而式與方程是在算式的基礎(chǔ)上提高了一些難度，轉(zhuǎn)變成含有未知數(shù)的等式，正反比例更是在式與方程中用抽象的字母來表示它們之間的關(guān)系。整個過程一環(huán)接一環(huán)，是對數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)一步步地加深，能逐漸剖析出更深層次的內(nèi)容。另外，常見的量和探索規(guī)律與“數(shù)”也有關(guān)聯(lián)，比如元角分的進(jìn)率換算、有規(guī)律的遞增數(shù)列都需要借用數(shù)的運(yùn)算。在圖形與幾何中，剛接觸這個領(lǐng)域時，會認(rèn)識圖形的特征，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何測量和計(jì)算長度、面積，熟知這些性質(zhì)之后，能有效幫助學(xué)生掌握圖形平移和旋轉(zhuǎn)后所展示的圖像。在統(tǒng)計(jì)與概率中，數(shù)據(jù)的整理和統(tǒng)計(jì)可以為可能性奠定基礎(chǔ)，因?yàn)閷W(xué)習(xí)可能性時，需要列出事件發(fā)生的所有情況類別，這就需要運(yùn)用分類、整理等知識。因此，教師在講授相同領(lǐng)域內(nèi)的知識點(diǎn)時，注意到這層聯(lián)系后，會幫助學(xué)生用已學(xué)過的知識為新學(xué)的知識做鋪墊。而另一方面，在講授新的知識時，也可以重溫和鞏固已學(xué)的知識。這種雙向的受益最終都會促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握和理解。

2.不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系

“數(shù)與代數(shù)”以各種形式遍布在小學(xué)數(shù)學(xué)中，和圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率相互聯(lián)系。長度的多少、面積的大小、平均數(shù)的求解都要以數(shù)學(xué)計(jì)算為基礎(chǔ)，而在學(xué)數(shù)的運(yùn)算和統(tǒng)計(jì)圖的時候，通常會借用一些小圓形、線段圖、扇形圖等幾何直觀形式來解題，幫助學(xué)生更直觀地理解求解的過程。比如認(rèn)識鐘表和角的初步認(rèn)識這兩節(jié)內(nèi)容，鐘表上的中心可以看作角的頂點(diǎn)，時針和分針相當(dāng)于角的兩條邊，而指針的夾角就是角，當(dāng)鐘表每到一個時刻時，都會出現(xiàn)一個新的角度，這是生活中最常見的例子。將“角的認(rèn)識”和“認(rèn)識鐘表”有效結(jié)合起來，不僅可以讓學(xué)生全面認(rèn)識0°到360°之間不同大小的角，而且能培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成觀察生活的好習(xí)慣。因?yàn)殓姳淼臅r針和分針時刻在轉(zhuǎn)動，他們之間的角度也隨之在改變，鐘表是讓學(xué)生在靜態(tài)與動態(tài)變化中認(rèn)識角的好工具。因此，教師在講授不同領(lǐng)域的知識時，可以利用它們的共通點(diǎn)建立聯(lián)系，這樣就能幫助學(xué)生迅速建立聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

綜上，不管是相同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域還是不同的學(xué)習(xí)領(lǐng)域之間都有著千絲萬縷、緊密的聯(lián)系。相同領(lǐng)域之間的聯(lián)系是縱向的，可以延伸知識聯(lián)系的深度；不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系是橫向的，可以拓寬知識聯(lián)系的廣度。總的來說，這些聯(lián)系是對教材中以螺旋上升的形式表現(xiàn)的知識進(jìn)行重新整合的基礎(chǔ)上，使教師在實(shí)際教學(xué)內(nèi)容依靠教材的同時又超越教材，逐漸成為一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)。就像人類大腦一樣，尋找著各個聯(lián)系點(diǎn)，搭建聯(lián)系，使大腦變得更聰明；而知識網(wǎng)絡(luò)的存在也具有很大的價值，減少人類的記憶負(fù)擔(dān)，減少冗余，使更有價值的東西存留腦中。

三、建立知識整體性的教育價值

1.聚合知識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

學(xué)生通過對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，積累了知識，形成了舊知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的時候，可以用舊知識來同化新知識，把新知識納入舊知識的結(jié)構(gòu)體系中。通過新舊知識的聯(lián)系，一方面，可以減少學(xué)習(xí)知識和認(rèn)知負(fù)荷，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)；另一方面，還可以用新知識來鞏固舊知識，通過聚合新舊知識提高學(xué)習(xí)效率。數(shù)學(xué)知識的緊密性決定了數(shù)學(xué)新舊知識可以互相融通的特點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等知識時，不僅可以尋找各板塊內(nèi)部知識的聯(lián)系，減少各板塊內(nèi)部知識的數(shù)量；還可以將不同的板塊聯(lián)系起來，把不同板塊的知識串聯(lián)起來，形成更大的知識網(wǎng)絡(luò)，理清復(fù)雜知識間的聯(lián)系，將復(fù)雜知識簡單化，把新知識同化到舊知識中，減少知識的學(xué)習(xí)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

2.學(xué)會推理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！蓖评砟芰Πê锨橥评砗脱堇[推理，通常的表現(xiàn)形式是歸納、比較、聯(lián)想、估算、自覺等。其實(shí)在教學(xué)過程中，教師會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、猜想、類比等一系列活動去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一些結(jié)論；并且在建立各知識點(diǎn)的聯(lián)系時，學(xué)生會努力尋找數(shù)學(xué)知識之間的共通點(diǎn)，這種通過現(xiàn)象看本質(zhì)的學(xué)習(xí)過程推動著學(xué)生合情推理能力和邏輯思維能力的發(fā)展。另外，學(xué)生還可以運(yùn)用各種知識，快速反應(yīng)、舉一反三，培養(yǎng)其發(fā)散思維。因此，知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的開拓。

3.融會貫通，提高學(xué)生解決問題的綜合能力

生活中的問題是復(fù)雜多變的，因此人們在應(yīng)對時往往需要依賴于自身的綜合能力。數(shù)學(xué)這門學(xué)科正好給學(xué)生提供了這樣的契機(jī)，它可以將相關(guān)知識構(gòu)成一個網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生能夠?qū)⒏鞣N知識融會貫通，形成較強(qiáng)的綜合能力，內(nèi)化于心，去解決問題、適應(yīng)生活。另外，學(xué)生在學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的同時，也可以掌握數(shù)學(xué)基本概念、原理，擴(kuò)寬自己對數(shù)學(xué)廣度和深度的理解，提高所掌握的數(shù)學(xué)知識的抽象程度。除此之外，在看待問題時，學(xué)生能更加快速地進(jìn)行反應(yīng)，找出快速的解決辦法，并且還能培養(yǎng)學(xué)生全面看問題的態(tài)度，從多種角度分析問題，使自己的思維保持靈活性，提高學(xué)生創(chuàng)新意識。

反之，如果學(xué)生學(xué)到的知識只是簡單、分散的個體，它們之間沒有搭建好橋梁、建立聯(lián)系，那么知識網(wǎng)絡(luò)的整體功能就會弱化，學(xué)生在生活中解決問題時也會變得棘手，不能更快、更好、有效地去應(yīng)對。

4.自主建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

在新課程改革中，“培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”是改革方向和目標(biāo)價值取向，把創(chuàng)新精神擺在了突出的位置。在新課程改革的十大核心概念中，也突出強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)新意識，并且指出：創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。

建立數(shù)學(xué)知識之間的整體性，就是把在教材中孤立呈現(xiàn)的知識進(jìn)一步精細(xì)加工，挖掘知識之間本身就存在的內(nèi)在聯(lián)系，然后通過數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形等多種數(shù)學(xué)表達(dá)方式把它們進(jìn)行整合，使知識之間的聯(lián)系更加鮮明、一目了然。這樣一方面可以促進(jìn)學(xué)生融會貫通，加強(qiáng)對知識的理解和掌握；另一方面，在教授的過程中，學(xué)生自己運(yùn)用所學(xué)知識探究、發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，用他們自己的方式進(jìn)行合理表達(dá)，學(xué)生的創(chuàng)新意識會得到不斷的提升與發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 余文森.布魯納結(jié)構(gòu)主義教學(xué)理論評析[J].外國教育研究，1992(3)：14.

[2] 王雨田.控制論、 信息論、 系統(tǒng)科學(xué)與 哲學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1988：401.

[3] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：8.

[責(zé)任編輯：陳學(xué)濤]

[收稿日期]2015-10-17

[作者簡介]王倩(1993-)，女，湖南懷化人，碩士研究生；李佳(1993-)，女，廣東梅州人，碩士研究生；張亞婷(1990-)，女，河南焦作人，碩士研究生。

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1002-1477(2016)05-0061-03

數(shù)學(xué)研討[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.05.016