【摘 要】理解性學(xué)習(xí)是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的基本要素，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正是實(shí)現(xiàn)理解性學(xué)習(xí)的一種方式。從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的視角，構(gòu)建認(rèn)知系統(tǒng)的邏輯秩序，是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“道”。這里的邏輯秩序包括基礎(chǔ)性的知覺目標(biāo)、層次性的變異思維、概括性的具身經(jīng)驗(yàn)以及科學(xué)性的審美關(guān)系，它們分別是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“頻道”、“通道”、“跑道”和“航道”。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；邏輯秩序；認(rèn)知系統(tǒng)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）33-0023-04

【作者簡(jiǎn)介】孫朝仁，江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所（江蘇連云港，222006）所長(zhǎng)，正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)副主編。

“讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生”，這是第11屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)的主題。筆者有幸聆聽了幾位蘇派青年教師的課堂教學(xué)，在領(lǐng)略了蘇派青年教師教學(xué)風(fēng)采的同時(shí)，也一直在揣摩這一主題的真實(shí)內(nèi)涵。我們知道，學(xué)生是教學(xué)過(guò)程中的主體，“教學(xué)從學(xué)生出發(fā)”是課堂教學(xué)最重要的特征之一。但是，受學(xué)科特點(diǎn)的影響及呈現(xiàn)形式等因素的制約，教材通常是以靜態(tài)的方式直接呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)于成人來(lái)講是很容易理解的，但對(duì)學(xué)生來(lái)講，卻不容易理解。毋庸置疑，不理解性的學(xué)習(xí)，就不可能深入學(xué)科的本質(zhì)，也不可能觸及學(xué)生的心靈，更不可能促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的持續(xù)建構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)一定不會(huì)真正發(fā)生。因此，筆者認(rèn)為，理解性學(xué)習(xí)是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的前提。

從數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，由于其“高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性以及廣泛的應(yīng)用性”而顯得學(xué)習(xí)“枯燥無(wú)味”，學(xué)生的學(xué)習(xí)便不會(huì)真正意義上得以發(fā)生?；诖耍趥鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，引進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這一學(xué)習(xí)方式可以助推學(xué)習(xí)的真正發(fā)生。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動(dòng)。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)充分突出了“智者明‘法，慧者通‘道”的學(xué)習(xí)秩序與法理，是數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的基本方式?！懊鞣ā本褪呛夏康男浴⒑弦?guī)則性、合法理性；“通道”就是學(xué)習(xí)范式符合“道”的要義（一生二、二生三、三生萬(wàn)物）。換言之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是打通讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“道”。這里的“道”就是構(gòu)建認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的邏輯秩序，關(guān)乎知覺認(rèn)知目標(biāo)的確立，關(guān)乎變異認(rèn)知思維的激發(fā)，關(guān)乎具身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的積累，更關(guān)乎審美認(rèn)知關(guān)系的梳理。

一、知覺目標(biāo)：認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的基礎(chǔ)性邏輯秩序，找準(zhǔn)讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“頻道”

知覺是解釋外界客體和事件產(chǎn)生的感覺信息的加工過(guò)程，是對(duì)現(xiàn)實(shí)的感性反映，具有整體性、恒常性、意義性和選擇性特征。目標(biāo)是課程的精神統(tǒng)領(lǐng)和行動(dòng)指南，是教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的思維線索?！敖?jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”是對(duì)“做數(shù)學(xué)”行為目標(biāo)的生動(dòng)刻畫，與知覺目標(biāo)具有內(nèi)部關(guān)系的一致性，反映初中段學(xué)生的感性思維好于理性思維的“思維事實(shí)”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)突出“做”“視”“說(shuō)”“用”的知覺特征，用“感知”“感受”“感悟”“領(lǐng)悟”等感官類動(dòng)詞刻畫知覺目標(biāo)。

梅洛·龐蒂?gòu)闹X現(xiàn)象學(xué)出發(fā)，認(rèn)定身體是認(rèn)識(shí)世界的通道，身體知覺具有認(rèn)識(shí)世界的能力，是人認(rèn)識(shí)世界的基點(diǎn)。[1]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)就是通過(guò)身體“做”數(shù)學(xué)的行為獲得對(duì)新概念、新原理和新方法的領(lǐng)悟與理解，因此，這樣可以很好地找準(zhǔn)讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“頻道”。在“做”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范疇，知覺目標(biāo)涵蓋“四個(gè)頻道”：一是通過(guò)“觀察”，感知概念的局部屬性；二是通過(guò)“知覺選擇”，感受概念的本質(zhì)屬性；三是通過(guò)“建立表象”，感悟概念的整體屬性；四是通過(guò)“意義表征”，領(lǐng)悟概念間的內(nèi)部關(guān)系。在課堂教學(xué)中，如果調(diào)適好這“四個(gè)頻道”，不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的補(bǔ)注作用，而且也可以發(fā)揮提升學(xué)生學(xué)力的功能，更可以構(gòu)建知覺在學(xué)理意義上的邏輯秩序，“四個(gè)頻道”協(xié)調(diào)運(yùn)作，學(xué)習(xí)自然會(huì)真正發(fā)生。

以“認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體”主題活動(dòng)為例：首先，讓學(xué)生觀察長(zhǎng)方體，借此認(rèn)識(shí)棱柱和棱錐，并根據(jù)圖形特征進(jìn)行分類；其次，讓學(xué)生折疊棱柱和棱錐，并進(jìn)行觀察和描述；最后，以小組合作的形式進(jìn)行集體活動(dòng)，摸出指定的幾何體并分工描述其特征。為此，確立的知覺目標(biāo)是：學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)物圖片的欣賞和生活中物體的觀察，抽象感知幾何圖形，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；學(xué)生經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的分類過(guò)程，感受立體圖形和平面圖形之間的區(qū)別，對(duì)幾何圖形的抽象有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界；學(xué)生經(jīng)歷折紙和摸幾何體的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，感悟立體圖形和平面圖形之間的內(nèi)部關(guān)系，并通過(guò)小組合作，描述幾何體的活動(dòng)，領(lǐng)悟用幾何語(yǔ)言表達(dá)世界的意義。

就主題活動(dòng)的邏輯秩序來(lái)說(shuō)，“觀察”“欣賞”幾何體行為是知覺認(rèn)知目標(biāo)的邏輯起點(diǎn)，“折疊”“描述”幾何體行為是知覺認(rèn)知目標(biāo)的邏輯過(guò)程，“摸出”“表征”指定幾何體行為是知覺目標(biāo)的結(jié)果狀態(tài)，反映認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的邏輯理序。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論來(lái)說(shuō)，觀察是知覺認(rèn)知的邏輯基礎(chǔ)，操作是知覺加工的邏輯手段，表征是知覺學(xué)習(xí)的邏輯通道，有了這些，學(xué)生對(duì)于“認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單幾何體”的學(xué)習(xí)才有了真正發(fā)生的基礎(chǔ)。本次展評(píng)活動(dòng)中，有一節(jié)“正方形中的45°美”的課，執(zhí)教者通過(guò)“在正方形中旋轉(zhuǎn)三角板”創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，找準(zhǔn)了認(rèn)知的邏輯起點(diǎn)，繼而讓學(xué)生自主尋找要探究的問(wèn)題，完善了認(rèn)知過(guò)程，最后讓學(xué)生“學(xué)以致用”，反映了知覺目標(biāo)的結(jié)果狀態(tài)，“三位一體”奏出了“讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生”的和諧音符。

二、變異思維：認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的層次性邏輯秩序，構(gòu)筑讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“通道”

變異思維作為數(shù)學(xué)命題認(rèn)知的一種思維方式，得到馬頓（Marton）變異理論的強(qiáng)有力支撐。[2]該理論的核心思想是“學(xué)習(xí)源于變異”，也就是說(shuō)，變異（Variation）、審辨（Discernment）和同時(shí)性（Simultaniety）是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的基礎(chǔ)要素，變異思維是學(xué)習(xí)的基本通道。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正是在突出概念變異、原理變異以及經(jīng)驗(yàn)變異的審辨與同時(shí)性特征的基礎(chǔ)上，形成概念法則的邏輯連貫性認(rèn)識(shí)體系，進(jìn)而促進(jìn)心理概念圖的建立和認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)邏輯秩序的規(guī)范形成。

米山國(guó)藏的《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一書從變異思維的邏輯出發(fā)，認(rèn)定數(shù)學(xué)是由簡(jiǎn)單明了的事實(shí)與邏輯推理結(jié)合一步一步構(gòu)成的。[3]這里的“一步一步”就是對(duì)變異思維的具體刻畫，前“一步”思維是后“一步”思維的基礎(chǔ)，后“一步”思維是前“一步”思維的變異，正因?yàn)槿绱?，學(xué)生的學(xué)習(xí)在這“一步一步”的過(guò)程中得以真正的發(fā)生，實(shí)現(xiàn)學(xué)生接受“更好的教育”的質(zhì)量目標(biāo)也才能實(shí)現(xiàn)。[4]因此，我們規(guī)約操作范式邏輯秩序?yàn)椋阂皇亲儺惽榫尘S度，突出概念審辨思維的立體遷移；二是變異問(wèn)題發(fā)問(wèn)方向，突出原理加工程序的概括性特征；三是變異經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)有發(fā)展區(qū)（由單稱現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)發(fā)展區(qū)到復(fù)稱事實(shí)經(jīng)驗(yàn)水平區(qū)），突出新舊經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)性重組與同時(shí)性改造的特征，以此構(gòu)筑變異思維初始目標(biāo)良性遷移的通道。

例如：在探索“基本圖形性質(zhì)”這一主題時(shí)，通過(guò)“折紙與證明”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，突出變異思維特征，完成對(duì)“合情推理”認(rèn)識(shí)的變遷，最終把握基本圖形內(nèi)部關(guān)系。具體活動(dòng)安排如下。首先，實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是經(jīng)歷折紙過(guò)程，感受證明的必要性以及合情與演繹的內(nèi)部關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展合乎邏輯的思考秩序和有條理的表達(dá)能力。其次，讓學(xué)生在折紙活動(dòng)中，體驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的適配性和可接近性。從三個(gè)維度進(jìn)行思維聚焦：一是讓學(xué)生用長(zhǎng)方形紙片折出一個(gè)正方形，說(shuō)明理由并進(jìn)行可行的驗(yàn)證；二是讓學(xué)生用長(zhǎng)方形紙片折出一個(gè)菱形，并在說(shuō)理的基礎(chǔ)上驗(yàn)證結(jié)論的合理性；三是讓學(xué)生用正方性紙片和長(zhǎng)方形紙片各折出一個(gè)等邊三角形，并在推演的基礎(chǔ)上驗(yàn)證結(jié)論的可靠性。最后是讓學(xué)生設(shè)計(jì)盡可能多的“‘做菱形”的方案，并探究如何用足夠長(zhǎng)的紙條折出一個(gè)正五邊形。

目標(biāo)是思維的依據(jù)，變異目標(biāo)的確立為實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的邏輯展開提供了思維秩序，構(gòu)筑了思維通道。如果說(shuō)“折正方形→折菱形→折等邊三角形”思維變化過(guò)程是情境變異思維秩序的集中表現(xiàn)，那么“變異目標(biāo)的建立→變異問(wèn)題反應(yīng)塊的組織→后實(shí)驗(yàn)方案的編制”的思維秩序，是程序性加工概念圖得以建立的具體表現(xiàn)，而探究折正五邊形的思維流變行為是變異經(jīng)驗(yàn)發(fā)展區(qū)的內(nèi)部秩序，反映了認(rèn)知系統(tǒng)的層次性邏輯秩序，體現(xiàn)了程序性加工審辨的科學(xué)性以及信息流的適配性。本次展評(píng)活動(dòng)中來(lái)自南京市蓮花實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部的金明明老師執(zhí)教的“平面圖形的密鋪”一課，就是讓學(xué)生經(jīng)歷“選擇一種形狀、大小完全相同的正多邊形進(jìn)行密鋪”到“從邊長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形和正八邊形中選擇兩種合適的正多邊形進(jìn)行密鋪”再到“用形狀、大小完全相同的任意三角形、任意四邊形進(jìn)行密鋪”這樣“一步一步”的“變異”過(guò)程，既動(dòng)手又動(dòng)腦，真正學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

三、具身經(jīng)驗(yàn)：認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的概括性邏輯秩序，規(guī)劃讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“跑道”

具身認(rèn)知（Embodied Cognition）主張“認(rèn)知是通過(guò)身體的體驗(yàn)及其行為活動(dòng)方式而形成”。[5]這就強(qiáng)調(diào)人的身體在認(rèn)知過(guò)程中起到了不可替代的作用。已有研究表明：身體的物理屬性對(duì)認(rèn)知的內(nèi)容具有直接的作用，這種作用不僅體現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)物質(zhì)概念上，同樣體現(xiàn)在抽象的理性概念上。[6]當(dāng)然，這些抽象概念的獲得與保持不完全依賴于身體的具身經(jīng)驗(yàn)（感覺經(jīng)驗(yàn)），這也是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中逐步積累的邏輯根據(jù)。這里的“做”突出“現(xiàn)實(shí)物質(zhì)概念”的本體特征，而“思考”側(cè)重突出“理性概念”特征，從而形成具身經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生式系統(tǒng)（做數(shù)學(xué)→理解數(shù)學(xué)→具身經(jīng)驗(yàn)）。

在經(jīng)典學(xué)習(xí)心理學(xué)理論中，大腦的學(xué)習(xí)方式主要可以分為兩種：聯(lián)想學(xué)習(xí)（associative learning）和觀察學(xué)習(xí)（observational learning）。[7]把“神經(jīng)學(xué)”借用到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范疇，則可以把“觀察學(xué)習(xí)”看作是“做”數(shù)學(xué)的邏輯手段，“聯(lián)想學(xué)習(xí)”看作是“用”數(shù)學(xué)的邏輯思維，這也是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的兩條“跑道”，缺一不可，需要我們科學(xué)地規(guī)劃。這些經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性的邏輯秩序，內(nèi)在地支配著認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的概括性能力。當(dāng)然，觀察學(xué)習(xí)始于現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，終于重組經(jīng)驗(yàn)，對(duì)行為模仿、社會(huì)技能習(xí)得、文化傳播以及價(jià)值觀形成起到關(guān)鍵作用。聯(lián)想學(xué)習(xí)始于定向經(jīng)驗(yàn)，終于素養(yǎng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)記憶、情緒、習(xí)慣以及獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的形成至關(guān)重要。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在具身經(jīng)驗(yàn)層面的邏輯秩序可從三個(gè)維度進(jìn)行規(guī)劃：一是讓學(xué)生在相似情境經(jīng)驗(yàn)中，進(jìn)行同化性具身實(shí)驗(yàn)；二是讓學(xué)生在半開放問(wèn)題解決中，進(jìn)行順應(yīng)性具身實(shí)驗(yàn)；三是讓學(xué)生在“中間變量”（機(jī)體的內(nèi)部變化）的行為中，進(jìn)行重組性具身實(shí)驗(yàn)，形成具身經(jīng)驗(yàn)可靠性范式。

例如，在進(jìn)行“估算”這一概念教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)了易于實(shí)踐的“折紙”活動(dòng)，集中反映具身經(jīng)驗(yàn)獲得的邏輯秩序。具體流程概括如下：首先，讓學(xué)生取出一張標(biāo)準(zhǔn)報(bào)紙，嘗試對(duì)折8次，猜想、驗(yàn)證疊后報(bào)紙的厚度，并算出一張報(bào)紙的可能厚度；其次，讓學(xué)生解決一張報(bào)紙連續(xù)對(duì)折30次后，其厚度的估計(jì)值，并與珠穆朗瑪峰的海拔高度相比較；再次，讓學(xué)生估計(jì)《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》的厚度，并說(shuō)明個(gè)體結(jié)論獲得的過(guò)程；最后，讓學(xué)生設(shè)計(jì)編制估算蘇科版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》上冊(cè)教科書厚度的預(yù)案，以及如何估測(cè)該書100頁(yè)、50頁(yè)、10頁(yè)和1頁(yè)的厚度。另外，讓學(xué)生逆向估計(jì)多少本這樣的教科書壘成的高度才能為1米，并用1米高的課桌驗(yàn)證結(jié)論的接近度。

僅從具身認(rèn)知邏輯秩序來(lái)說(shuō)，“折→疊→猜測(cè)→估算→驗(yàn)證→比較”等具身認(rèn)知行為，是同化概念經(jīng)驗(yàn)的具體表現(xiàn)；“編制→估計(jì)→度量→推算”一本書的厚度、部分書頁(yè)的厚度，是順應(yīng)概念經(jīng)驗(yàn)的逆向思維表現(xiàn)；“估測(cè)報(bào)紙的厚度→估測(cè)手冊(cè)的厚度→估測(cè)教科書的厚度”以及由“執(zhí)行方案”到“制定、實(shí)施方案”是“中間變量”重組建立新經(jīng)驗(yàn)體系的過(guò)程，反映具身經(jīng)驗(yàn)在問(wèn)題解決與提出中的改造作用。經(jīng)歷這樣的反復(fù)認(rèn)知與實(shí)踐過(guò)程，在“觀察”與“聯(lián)想”這兩條“跑道”上行進(jìn)，學(xué)生對(duì)“估算”這一概念的學(xué)習(xí)自然是真正的發(fā)生。本次展評(píng)活動(dòng)中的“函數(shù)”一課，執(zhí)教者通過(guò)創(chuàng)設(shè)動(dòng)態(tài)的“汽車加油”情境，讓學(xué)生有“身臨其境”的具身感，后續(xù)學(xué)習(xí)的通道自然打開。

四、審美關(guān)系：認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的科學(xué)性邏輯秩序，開通讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“航道”

審美是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開端，“哪里有數(shù)，哪里就有美。”（普洛克拉斯語(yǔ)）審美關(guān)系是直覺思維的表現(xiàn)形式，帶有強(qiáng)烈的“天地與我共生，萬(wàn)物與我為一”的整體性特征。這就好比孩子認(rèn)母親，都是從“整體”來(lái)觀察，可以說(shuō)這種審美的整體性就是讓學(xué)習(xí)（認(rèn)知）真正發(fā)生的“航道”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是直覺思維的重要載體，能讓學(xué)生在科學(xué)方法的選擇中不斷地發(fā)展審美邏輯秩序。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的整體性表現(xiàn)在審美選擇關(guān)系層面、審美建構(gòu)關(guān)系層面以及審美邏輯關(guān)系層面，認(rèn)證活動(dòng)對(duì)象的整體屬性本身就是審美關(guān)系科學(xué)建構(gòu)的結(jié)果狀態(tài)。龐加萊“從直覺是一種無(wú)意識(shí)思維活動(dòng)的觀點(diǎn)出發(fā)”，證實(shí)“在無(wú)意識(shí)的活動(dòng)中，審美情感發(fā)揮著選擇作用”，從而認(rèn)定選擇的直覺經(jīng)常表現(xiàn)為美的直覺。[8]實(shí)踐表明：讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“好課堂”“好念頭”抑或是“好問(wèn)題”往往帶有數(shù)學(xué)審美特征。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為“好課堂”重視心理審美環(huán)境的建設(shè)，“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”的建立就是對(duì)環(huán)境審美的外化，“課題學(xué)習(xí)”就是好念頭或好問(wèn)題做出選擇的心理范式，從這一意義層面來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是建立審美關(guān)系的“航道”，反映認(rèn)知形態(tài)系統(tǒng)的科學(xué)性邏輯。

許多數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)是藝術(shù)出發(fā)，認(rèn)定一個(gè)科學(xué)理論成就的大小，事實(shí)上就是它的美學(xué)價(jià)值的大小；科學(xué)結(jié)論的合理性要在它的審美價(jià)值中去尋找，并用它來(lái)判定科學(xué)方法的合理性。[9]在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)審美關(guān)系范疇，可以從以下三條“航道”直達(dá)美的直覺：一是變化問(wèn)題情境，突出思維的相似性特征；二是變換問(wèn)題角度，突出思維可辨性特征；三是變化監(jiān)控方式，突出思維的獨(dú)立性特征。

例如，為揭示“旋轉(zhuǎn)不變”的邏輯屬性，基于審美關(guān)系我們?cè)O(shè)置了“玩三角板”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其基本流程如下——首先，讓學(xué)生剪出一對(duì)全等的直角三角形紙板，并取其中一張沿直角頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩次折疊，折出一個(gè)45°角。其次，讓學(xué)生（兩人合作）將全等的等腰直角三角板按圖1的方式放置，寫出其中非全等的相似三角形以及線段BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由。第三，讓學(xué)生按圖2方式疊放正方形紙板和等腰直角三角形紙板，猜想線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；連接圖2中的線段BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N，直接寫出BM、MN、ND之間的關(guān)系。最后，讓學(xué)生按圖3的方式疊放全等的等腰直角三角板，并繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所有非全等的相似三角形，并說(shuō)明理由以及寫出可能存在的函數(shù)關(guān)系。

審美是自由的表征，是自由創(chuàng)造的途徑和中介，是持續(xù)性學(xué)習(xí)（真正發(fā)生的學(xué)習(xí)一定是持續(xù)性學(xué)習(xí)）的潤(rùn)滑劑?！凹舫觥鄢觥B放→旋轉(zhuǎn)”行為動(dòng)作是審美關(guān)系得以建立的直覺基礎(chǔ)，突出情境相似性特征，反映認(rèn)識(shí)形態(tài)系統(tǒng)的科學(xué)統(tǒng)一性；“單稱相似變換→復(fù)稱全等變換→復(fù)稱相似變換”的直覺思維運(yùn)動(dòng)行為是審美關(guān)系建立的邏輯基礎(chǔ)，突出“變換角度看問(wèn)題”的審美意義，反映認(rèn)識(shí)形態(tài)系統(tǒng)的可辨性特征；“不穩(wěn)態(tài)二次數(shù)量關(guān)系→穩(wěn)態(tài)一次數(shù)量關(guān)系→穩(wěn)態(tài)二次數(shù)量關(guān)系→穩(wěn)態(tài)函數(shù)關(guān)系”的審美行為是審美關(guān)系得以提升的邏輯秩序，帶有強(qiáng)烈的獨(dú)立性特征，反映數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在科學(xué)與審美范疇的共通性價(jià)值秩序。前文所提到的“正方形中的45°美”一課，其審美關(guān)系的建立也是可圈可點(diǎn)的，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“航道”非常暢通。

綜上，認(rèn)知系統(tǒng)的邏輯秩序，存在于每一個(gè)具體行為的背后，揭示讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“道”。其中，知覺目標(biāo)的確立是其邏輯根據(jù)，變異思維和具身經(jīng)驗(yàn)是邏輯基礎(chǔ)，審美關(guān)系是邏輯線索，四者共同作用，可使得學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

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