許淑一

【摘 要】符號意識是學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的直覺感悟和主動恰當運用符號解決問題的一種意識。建立符號意識將有助于學(xué)生理解符號的意義、運用符號解決問題，理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式。因此，教師可以從讓學(xué)生感知符號意義、經(jīng)歷符號抽象過程、深化符號應(yīng)用三個方面來幫助其培養(yǎng)和發(fā)展符號意識。

【關(guān)鍵詞】解決問題 培養(yǎng) 學(xué)生 符號意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達和進行數(shù)學(xué)思考的重要形式。” 史寧中教授認為 “符號意識是學(xué)習者在感知、認識、運用數(shù)學(xué)符號方面所做出的一種主動性反應(yīng)，它是一種積極的心理傾向”。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生符號意識是在發(fā)展學(xué)生更高層次、更高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的符號意識滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面，對此，筆者將結(jié)合教學(xué)實踐來談如何在解決問題中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號意識。

一、 喚醒經(jīng)驗、借助情境，感知符號意義

毋庸置疑，我們生活在一個“符號”的世界里，交通標志、商標、廣告中的文字、圖形和字母符號比比皆是，這些符號都是人類創(chuàng)造的結(jié)果。數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，已成為一個符號化的世界。英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！睌?shù)學(xué)離不開符號，處處要用到符號，在解決問題中，可以幫助學(xué)生感受到符號的廣泛應(yīng)用性。

（一）喚醒經(jīng)驗，鼓勵用不同形式表征

數(shù)學(xué)符號有著特定的意義，自成體系。對于小學(xué)生來講，數(shù)學(xué)符號不是上小學(xué)才開始接觸，他們之前積累的經(jīng)驗對數(shù)學(xué)符號意識的形成起著積極的促進作用。

比如，在教學(xué)北師大版二年級下冊“找規(guī)律”時，學(xué)生找到圖中若干規(guī)律進行交流。

教師提問：我們能不能想辦法把找到的規(guī)律表示出來呢？這就容易引發(fā)學(xué)生利用已有的符號經(jīng)驗，自主思考。呈現(xiàn)了如下若干表示方法。

他們能用這些富有個性的符號（字母、數(shù)字、圖形、特定符號）來描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這正是學(xué)生已有的經(jīng)驗在起作用。教師帶領(lǐng)學(xué)生觀察不同形式的表征，幫助學(xué)生感悟：對于有規(guī)律的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同而已，這樣既深化了對規(guī)律的認識，又豐富了數(shù)學(xué)的表征語言與表征形式。更進一步幫助學(xué)生在以下兩點上有所感悟：一是要有把實際問題用數(shù)學(xué)符號來表達的意識；二是要理解每個數(shù)學(xué)符號所蘊含的豐富內(nèi)涵和實際意義。

（二）借助情境，體驗符號的優(yōu)越性

對符號價值的認同會促進學(xué)生符號意識的形成。換句話說，學(xué)生對符號的優(yōu)越性體會越到位，運用符號的意識就會越強。因此，在解決問題教學(xué)時，我們應(yīng)努力借助各種適當?shù)那榫?，讓學(xué)生在活動中體驗符號表示的簡潔性、概括性及符號運算與推理所帶來的結(jié)果的一般性，從而提高學(xué)生符號學(xué)習、符號運用的自覺性和主動性，培養(yǎng)符號意識。

例如，吳正憲老師的“用字母表示數(shù)”教學(xué)片段：

在一首“數(shù)青蛙”的兒歌之后，吳老師讓學(xué)生自己想辦法表示出更多的青蛙只數(shù)。以下是學(xué)生的匯報。

生1：我寫了10只青蛙10張嘴，20只眼睛40條腿。

生2：老師，我的比他表示的多。10000只青蛙10000張嘴，20000只眼睛40000條腿。

吳老師不動聲色，挑動學(xué)生的學(xué)習熱情：10只也好，10000只也罷，都只能表示一種情況??！

生3（若有所思）：n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿。

教室里熱鬧起來：n是同樣的字母，這樣表示不符合邏輯，這不是出怪物了？

生4（跑到臺前）：我的不一樣，比生3的表示好。A只青蛙B張嘴，C只眼睛D條腿。

顯然，這位同學(xué)是想到了A、B、C、D四個不同的字母來表示4個不同的數(shù)。吳老師肯定了他，但又繼續(xù)追問：當A表示5的時候，B、C、D又表示什么？學(xué)生開始解釋。這樣引發(fā)了學(xué)生的質(zhì)疑：你的這種表示只有你知道，你不給大家解釋我們就不清楚。

生5：我是這樣的，A只青蛙A張嘴，B只眼睛C條腿。

這位同學(xué)的想法表達出青蛙的只數(shù)和嘴是相同的，眼睛和腳是不同的，又有了進步，但還不能讓別人一眼看出它們之間的關(guān)系。

教室安靜了，沒有同學(xué)再要發(fā)言。吳老師鼓勵一個角落里的女生：讓大家分享你的表示好嗎？

5只青蛙5×1張嘴，5×2只眼睛，5×4條腿。

掌聲響起來了，終于有了關(guān)系！

該女生的眼中也放出光芒。

吳老師還略帶遺憾地問：同學(xué)們，有遺憾嗎？

生（眾）：雖然有了關(guān)系，卻只表示了5只青蛙。

一時幾個同學(xué)竟同時起立：a只青蛙a張嘴，2a只眼睛，4a條腿。

教室里又一次掌聲響起……

雖然是一個很簡單的情境，教師的著眼點放在幫助學(xué)生厘清他們交流的內(nèi)容，把注意力集中在問題的數(shù)學(xué)意義上，通過師生與生生之間的對話，將學(xué)生的思維過程一層層顯露出來，完成用字母表示數(shù)的一個認知過程：從只表示一種情況到盲目表示多種情況看不清數(shù)量關(guān)系，最后到既能表示關(guān)系又能清楚表示數(shù)量多少這個過程，幫助學(xué)生體會到數(shù)學(xué)符號是進行數(shù)學(xué)理解、交流和分析的工具，體會運用字母表示數(shù)的概括作用，體會到字母不僅可以表示任意數(shù)，還可以表示一種關(guān)系，使用符號可以進行一般性的運算和推理，從而感受運用符號的優(yōu)越性。

二、經(jīng)歷過程，發(fā)展學(xué)生符號意識

學(xué)生符號意識的形成一般經(jīng)歷“感知具體事物—個性化表達—數(shù)學(xué)化表達”這樣逐步符號化的過程。符號意識很難用語言傳達給學(xué)生，而是讓學(xué)生在經(jīng)歷符號化的過程中自己感悟并發(fā)展。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，將日常語言符號逐步過渡為數(shù)學(xué)語言符號，建構(gòu)起數(shù)學(xué)符號模型。

例如，吳正憲老師的有趣的搭配教學(xué)片段：

吳老師創(chuàng)設(shè)了生活情境后，用幻燈片呈現(xiàn)出需要上下搭配的服裝：一件上衣、一件T恤衫、一條長裙、一條短裙、一條褲子。提出：用兩件上衣和三件下裝能搭配成幾套衣服？把你的想法表達出來。

學(xué)生有的利用學(xué)具擺一擺，有的把自己的想法畫一畫，用自己的方法解決問題。之后，在全班交流時，吳老師選擇了有代表意義的幾種想法。

生1：我把一件上衣和一條褲子搭成一種，我又把一條短裙和一件上衣搭成一種，還把一條褲子和一件T恤衫搭成一種……

該生的話還沒說完，聽的同學(xué)就“云遮霧繞”了：你說的我們記錄不下來，怎么沒有順序啊？

生1不好意思地撓撓頭：我自己也亂了。

師：這位同學(xué)用文字寫了一片，自己也說亂了，有沒有更簡潔些的？

這時，一位女生拿著自己的“作品”上來：我通過畫圖知道一共有六種搭配的方法。上衣能搭配一條長裙、一條短裙、一條褲子，T恤衫也能搭配一條長裙、一條短裙、一條褲子，這樣就是六種。

師：這位同學(xué)用畫圖的方法表示，比寫一片文字清楚多了，而且她的畫法非常有序，這樣有什么好處？

生（眾）：既不會重復(fù)也不會漏掉。

旁邊的一個男生坐不住了，舉著自己的“作品”：老師，我的這個更清楚?。ㄒ娤聢D）

該男生展示他的想法，并說道：我是用字母表示的。用A、B表示兩件上衣，用C、D、E表示三件下裝，再一件上衣分別和三件下裝連線，就一下看出是六種搭配了。

正當該生滿意地要回座位時，吳老師把他留下來，讓他問問同學(xué)們有沒有什么問題？

這時，一個學(xué)生站起來：你A和B之間怎么不連線??？

生：A、B都是上衣，上衣不能和上衣搭配。

吳老師不動聲色地甩出一句：既然同一類的不能搭配，怎么區(qū)分開呢？

學(xué)生的思路被打開了：可以把上衣的字母換成數(shù)字1、2，上衣可以用A1、A2區(qū)分，上衣可以畫圖形，下裝用字母表示……

吳老師與學(xué)生一起參與討論：剛才這么多的表達方式，哪種方式更好呢？學(xué)生很自然地回答道：用數(shù)字、用圖形、用字母表示更好，因為這樣更簡潔，更快速。

在上面的案例中，我們可以看到學(xué)生在親歷數(shù)學(xué)表達的符號化過程中感受數(shù)學(xué)符號的高度概括，學(xué)生悄悄地接受符號化語言的方式，這種“慢鏡頭”式的展開，會使學(xué)生對符號的意義和價值獲得更多的體驗和感悟，不僅能提升學(xué)生的“內(nèi)在自覺”，也為學(xué)生進一步創(chuàng)造提供了跳板。

再如，減法的意義教學(xué)片段：

課桌桌面，什么都沒有?？蠢蠋熥兂鍪裁?？老師拿出3枝花放在桌面，引導(dǎo)學(xué)生把剛才看到的敘述出來，學(xué)生說“桌子上有3枝花”，老師肯定學(xué)生，“老師把你說的簡單記錄下來”（板書：原有3支花），然后繼續(xù)讓學(xué)生觀察：發(fā)生了什么事？老師拿走1枝（板書：拿走1支），此事件就此擱筆。繼續(xù)看桌上又變出什么？筆筒。引導(dǎo)學(xué)生敘述完整，并板書：原有5支筆，拿走2支。教師提問：剛才老師做的兩件事有什么共同點？學(xué)生說：都是拿走。師：回憶一下你在生活中有沒有像這樣拿走的事呢？學(xué)生介紹。師：好，拿走，也是去掉的意思，拿走、去掉，知道在數(shù)學(xué)里用哪個符號表示嗎？原有3枝花，拿走1枝，怎樣用算式表達呢？生：3-1。之后繼續(xù)列出算式5-2。

數(shù)學(xué)總是和生活密切聯(lián)系的，在具體情境中提取出數(shù)學(xué)信息并用符號表達是學(xué)生具有良好數(shù)學(xué)符號意識的重要表現(xiàn)，上面這個片段由具體表象支撐到學(xué)生語言外化再到教師抽象出數(shù)學(xué)符號，一步一步完成學(xué)生對“解決問題”信息的梳理與呈現(xiàn)，最重要的是讓學(xué)生在這樣的過程中親近符號，感受符號的魅力，享受符號簡約思維，從具體到抽象，再從抽象回到具體，從而發(fā)展學(xué)生的符號意識。

三、重視歸納運用與創(chuàng)新，深化符號意識

符號多種多樣，形式千差萬別，學(xué)生對數(shù)學(xué)符號不僅要懂，還要會用，符號意識的發(fā)展可以表現(xiàn)為學(xué)生主動運用符號的意識。教師有責任在一段時間內(nèi)通過恰當?shù)膯栴}帶領(lǐng)學(xué)生一起把學(xué)過的符號列出來，對符號進行分類，討論它們之間的關(guān)系，體會每一類符號帶來的好處。在這個過程中，不僅要創(chuàng)造機會讓學(xué)生一個個使用符號，更要學(xué)會綜合使用符號，建構(gòu)起符號體系，形成符號語言，并運用符號語言在解決問題中發(fā)揮作用。

有這樣一道題目：“20個小朋友，每兩個都要握手一次，一共要握手多少次？”對于這個題目，不同思維水平的學(xué)生其產(chǎn)生的價值一定不同。在學(xué)生五年級的時候，筆者曾以此題為載體，幫助學(xué)生積累綜合運用符號的體驗，深化符號意識。學(xué)生解決問題的方法如下：

1. 化繁為簡：找?guī)讉€同學(xué)實際操作，通過活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2. 畫圖。

第1個人要和其他19 個人握手，第2 個人要和其他18個人握手……依此類推，20 個人握手的次數(shù)是19+18+…+2+1。

多一個人，增加兩次，再多一個人，增加三次，……規(guī)律：1+2+3+4+…+（人數(shù)-1）。

3.符號表達。

學(xué)生符號意識的培養(yǎng)更需要其在符號使用過程中有意識地體會和感悟，教師應(yīng)該有意識地選取載體、提供素材、創(chuàng)造條件，幫助學(xué)生積累綜合運用符號的經(jīng)驗，通過交流不同的思路和自己的表征方法，培養(yǎng)學(xué)生符號思考和交流的能力。更進一步，在這個過程中還要通過教師的引導(dǎo)、鼓勵，生發(fā)學(xué)生的“自我創(chuàng)造”，為符號意識真正在學(xué)生心中生根、發(fā)芽、開花、結(jié)果奠定基礎(chǔ)。

總之，對學(xué)生符號意識的培養(yǎng)不是一朝一夕就能見到成效的， 而要有一個過程。小學(xué)階段是學(xué)生建立數(shù)學(xué)符號意識的起點，也是進行后續(xù)學(xué)習的基礎(chǔ)，符號意識的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習活動的整個過程中，按階段分層次地滲透，尤其要合理地把符號意識納入到教學(xué)目標中，在一堂堂數(shù)學(xué)課上幫助學(xué)生在使用中體會，在體會中加深、發(fā)展符號意識。

參考文獻：

[1]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.

[2]朱立明，馬云鵬.數(shù)學(xué)符號意識”研究：內(nèi)涵與維度[J].教育理論與實踐，2015（32）.

（北京市海淀區(qū)清華大學(xué)附屬小學(xué) 100084）