楊磊

摘要：小學生在解決數(shù)學問題的過程中面對一個問題可能嘗試運用多種數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法之間不是完全獨立的，相互之間有聯(lián)系、有滲透，數(shù)學思想方法的綜合應用有助于學生多層次、多維度的深刻理解數(shù)學的內(nèi)涵本質(zhì)。以“圓環(huán)的面積猜想”為例，談一談數(shù)學思想方法的綜合應用。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學思想；方法；綜合應用

G·波利亞指出，完善的數(shù)學思想方法猶如北極星，使人們找到正確的道路。如果說，數(shù)學的概念、性質(zhì)、法則，公式、數(shù)量關系等基礎知識是解決問題的“兵力”，那么，蘊含于這些基礎知識發(fā)生與發(fā)展過程中的更深層次的知識——數(shù)學思想方法則是解決問題的“兵法”。數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng)，既要重視“兵力”的調(diào)集，又要重視“兵法”的演練，才能達到聞一知十、觸類旁通的效果。

小學生在解決數(shù)學問題的過程中面對一個問題可能嘗試運用多種數(shù)學思想方法，這些數(shù)學思想方法之間不是完全獨立的，相互之間有聯(lián)系、有滲透，數(shù)學思想方法的綜合應用有助于學生多層次、多維度的深刻理解數(shù)學的內(nèi)涵本質(zhì)。下面就以“圓環(huán)的面積猜想”為例，談一談數(shù)學思想方法的綜合應用。

一、求同存異，節(jié)外生枝

（一）常規(guī)方法

六年級畢業(yè)總復習階段梳理平面圖形的面積會涉及到圓環(huán)的面積問題（如下圖）

大部分學生在解答這個題目時的方法是：

3.14x（62-42）

=3.14x（36-16）

=3.14x20

=62.8

教師在這里一般要點撥學生轉(zhuǎn)換：通常應用乘法分配律把3.14提到小括號的外面來計算比較簡單。

（二）節(jié)外生枝

在集體訂正之后，P同學舉手：“老師我還有不同的方法。”

（2×3.14x6+2x3.14x4）×（6-4）÷2

=（37.68+25.12）×2÷2

=62.8

二、借力打力，引發(fā)思考

在P同學說完算式后我一時沒弄清楚她是怎樣想的，于是追問：“能和大家說說你是怎樣想的嗎？”

P同學說：“我想象把圓環(huán)剪開再拉直，變成了一個梯形，按照梯形面積的求法求圓環(huán)面積。內(nèi)圓周長相當于梯形的上底，外圓周長相當于梯形的下底，圓環(huán)的寬相當于梯形的高?！?/p>

或許P同學有著很好的幾何直覺，但這種想法是否正確當時我難以定奪，決定深挖出她的思維脈絡。

繼續(xù)追問：“能說說，你是怎樣想到這種方法的嗎？”

P同學說：“我們研究過刷房間的問題，需要粉刷前、后、左、右、上5個面的面積。可以想象把前、后、左、右4個面展開、拉直成一個大長方形，原來長方形的底面周長相當于大長方形的長、原來長方體的高相當于大長方形的寬，即底面周長×高=側(cè)面積。我從那個問題聯(lián)想到將圓環(huán)也剪開、拉直變成一個梯形，按照梯形的面積方法求面積。”

回顧：五年級學習刷房間問題時的確討論過這種方法，請學生們想象長方體側(cè)面展開、拉直的過程，并親自動手折紙，觀察、操作、驗證，學生有這樣的數(shù)學活動經(jīng)驗。

顯然P同學進行了類比推理，類比推理常常用于發(fā)現(xiàn)真理，但這種推理得到的結(jié)果是或然性的。

把圓環(huán)拉直？是否真的可以變成梯形？（畢竟曲與直之間有很大的差異）背后數(shù)學的思想方法又是什么？

出乎意料的想法讓我的大腦一片空白，把皮球踢給了學生：“同學們，這種想法到底是一個偶然的巧合還是有必然的規(guī)律呢？現(xiàn)在這種想法或許只能叫做猜想，你們能找到方法進行驗證嗎？”

三、先猜后證，解釋說明

（一）算數(shù)思維，舉例驗證

學生們很快想到了舉例子驗證的方法，同桌之間分別用圓環(huán)面積的一般方法和P同學類比梯形面積的方法求面積，再進行比較：

①R=8 r=-5

3.14x（82-52）

=3.14x（64-25）

=3.14x39

=122.46

（2x3.14x8+2x3.14x5）×（8-5）÷2

=（50.24+31.4）×3÷2

=81.64x3÷2

=244.92÷2

=122.46

②R=10 r=6

3.14x（102-C）

=3.14x（100-36）

=3.14x64

=200.96

（2×3.14x10+2x3.14x6）×（10—6）÷2

=（62.8+37.68）×4÷2

=100.48x4÷2

=100.48x2

=200.96

③R=20 r=15

3.14x（202-152）

=3.14x（400-225）

=3.14x175

=549.5

（2x3.14x20+2x3.14x15）×（20—15）÷2

：（125.6+94.2）×5÷2

=219.8x5÷2

=1099÷2

=549.5

舉出了許多例子之后，學生們大多認可這是一個規(guī)律。但是作為數(shù)學教師，我知道舉例子在數(shù)學上屬于不完全歸納法，得出的結(jié)論也是或然性的。

于是反問：同學們，我們舉出了一些例子，即使舉出10000個例子都是正確的，能夠保證第10001個例子也是正確的嗎？你們還有更好的方法能夠驗證這個猜想嗎？

一石激起千層浪，學生們由剛才的激動、興奮又進入了靜靜的思考……

（二）代數(shù)思維，字母推理endprint

經(jīng)過冷靜的思考和深入的討論學生們想出了用字母推理的方法，用字母推理的得到的結(jié)論具有一般性。

圓環(huán)面積=盯（R2_r2）

想象成的梯形面積=（20R+20r）×（R-r）÷2

=20（R+r）×（R-r）÷2

=π（R+r）×（R-r）

=π（R2-r2）

通過用字母推理終于可以驗證這個猜想了，圓環(huán)雖然不能拉直變成梯形，但我們可以想象圓環(huán)可拉直，從而類比得出面積求法。學生們感嘆這種“類比”想法的神奇，一致同意把這種想法命名為“P氏猜想”加以表彰鼓勵。

（三）幾何直觀，幫助理解

課上的時間有限，字母推理之后就下課了。課后我的心里久久不能平靜，一方面是激動于P同學能夠想出這種與眾不同的方法，另一方面是字母推理的方法雖然嚴謹?shù)容^抽象，班里還有許多學生理解起來有困難。

課堂上不能只看到老師和學霸在秀恩愛，怎樣幫助有困難的學生理解呢？

波利亞說：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著。”

如何能夠形象直觀地理解這種想法，就成了幫助有困難學生的思考方向。查閱資料后，在某版本小學學數(shù)學教材中的《數(shù)學萬花筒》欄目中看到了一個例子讓我眼前一亮。一個草繩編的杯子墊，沿著半徑剪開，展開后得到一個近似三角形。三角形的面積相當于圓的面積，三角形的底相當于圓的周長，三角形的高相當于圓的半徑。

學生們借助這幅情境圖，很容易想象出圓和三角形的關系。

進一步啟發(fā)學生，如果杯子墊不是圓形而是圓環(huán)，展開呢？學生們在頭腦中也能想象出來展開之后應該是梯形，圓環(huán)和梯形的關系也能想明白。圓環(huán)可以看做兩個同心圓，它們都轉(zhuǎn)化為三角形以后重疊，相差部分就是梯形（上底是內(nèi)圓周長，下底是外圓周長，高是半徑之差），其面積也就是圓環(huán)的面積。

進一步演示圓環(huán)展開的flash動畫，幫助學生們觀察、驗證。

（四）極限思想，量變質(zhì)變

圓環(huán)面積的背后還蘊含著怎樣的數(shù)學思想？能否讓小學生也感悟一下呢？

如果將圓環(huán)平均分害4成若干份，那么每1份相當于一個近似梯形，如果按照梯形面積公式計算：（上底+下底）×高÷2。

這是將圓環(huán)平均分害4為360份，如果無限分割下去，曲與直之間就逐漸重合，每1份的面積就無限接近梯形的面積。在這里兩個“無限”是理解極限思想的核心，小學生不需要嚴格的數(shù)學推理證明，展開想象能夠感悟到其中從量變到質(zhì)變、以直代曲等核心觀點即可，這對于感悟數(shù)學思想方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗具有重要的意義和價值。

四、回顧反思。提煉升華

（一）回顧反思，再發(fā)現(xiàn)過程

波利亞說過：先猜，后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道。P同學能提出這樣的猜想說明數(shù)學思想方法已經(jīng)在她的頭腦中生根發(fā)芽了，研究“圓環(huán)的面積猜想”學生和教師像數(shù)學家那樣經(jīng)歷一個“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)造”的思考過程，這對于培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有非常重要的作用。因此我引導學生回顧反思“先猜后證”的發(fā)現(xiàn)過程，幫助學生們深化感悟其中蘊含的猜想驗證、推理、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學思想方法，積累思維活動經(jīng)驗。

（二）兩次追問，暴露思維狀態(tài)

大家都知道，高斯是一個很有名的數(shù)學家，被稱為數(shù)學“天才”、“神童”。他一生發(fā)明了很多數(shù)學定理，發(fā)明了許多數(shù)學的概念和公式，我們都不理解這個人是怎么想出來的。有些歷史學家查閱過他的日記，從日記中才知道，高斯的每一個發(fā)現(xiàn)和發(fā)明都做了大量的實驗、大量的猜測、大量的演算，最后用定理表示出來。但他把這些計算過程、演算過程、發(fā)現(xiàn)過程統(tǒng)統(tǒng)都拿掉了。

歷史學家的結(jié)論是，高斯是一只狡猾的狐貍，用它的尾巴掃掉了行進的足跡。大部分數(shù)學家都是高斯這樣的。

本案例中通過兩次追問：1.你是怎樣想的？2.你是怎樣想到這個方法的？暴露出P同學的思維過程和思考方法，并與其他同學共享。這樣其他同學在學習的過程中不僅僅當一個旁觀者、旁聽生，更重要的是思維積極參與，吸收好的方法。交流、合作、分享不僅僅是形式的體現(xiàn)，分享好的想法能夠達到相互學習、取長補短，在智力上互相傳染、共同提高的效果。

（三）抓住關鍵，提升思維品質(zhì)

陳省身先生說過：數(shù)學是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。思考數(shù)學問題需要很長時間，但在中小學數(shù)學課堂上，常常給學生的思考時間較少，容易形成學生思維淺表化的傾向。圓環(huán)的面積猜想整個研究過程前后大約進行了一周的時間，在關鍵之處舍得花時間給學生提供探索、交流、質(zhì)疑的時間和空間。如果沒有當初的節(jié)外生枝，恐怕也難以成就后面的精彩，持續(xù)深入的思考對學生和教師都具有重要的意義。在這個過程中師生都體驗到了克服困難的喜悅，增強了學習數(shù)學的興趣，思維品質(zhì)也得到了提煉升華。

[責任編輯 牛賓國]endprint