朱紹敏++董麗君

【摘 要】“轉(zhuǎn)化思想”就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題方法的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中，教師重視滲透轉(zhuǎn)化思想，通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題，可以幫助學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu)與脈絡(luò)，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】立體圖形 轉(zhuǎn)化思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化隨處可見。本文以北師大版教材六年級(jí)下冊(cè)“立體圖形的整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)為例，來談復(fù)習(xí)課中如何讓轉(zhuǎn)化思想變得觸手可及。

一、動(dòng)態(tài)生成搭建平面與立體圖形之間轉(zhuǎn)化的橋梁

（一）看平面圖形說出面積與周長的字母公式

生：S長=ab S三=[12]ab C長=2（a+b） C三=a+b+c

（二）引出四種立體圖形

師：分別以長方形的長或?qū)?、三角形的底或高為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)形成什么圖形？

生：形成立體圖形圓柱與圓錐。（思考以另外一條邊為軸旋轉(zhuǎn)可以產(chǎn)生什么圖形）

師：它們的體積分別怎么算？同一個(gè)圖形沿不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的立體圖形體積相同嗎？

生：它們的體積與底面積、高有關(guān)系。

師：直角三角形如果以斜邊c為軸旋轉(zhuǎn)后會(huì)形成什么形狀呀？

生：它形成的是由一大一小兩個(gè)圓錐共底面的立體圖形，像生活中常見的陀螺那個(gè)樣子。

師：以前教學(xué)圓柱體體積公式時(shí)我們是把圓柱轉(zhuǎn)化成什么圖形來求體積的？

生：割拼成近似的長方體。

師：當(dāng)長方體的長、寬、高向三個(gè)方向以不同速度縮短或變長時(shí)，長、寬、高會(huì)出現(xiàn)相等，那么長方體就變成了什么圖形？所以說立方體是特殊的長方體。

【評(píng)析】由平面到立體過程是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過程，這樣設(shè)計(jì)可以使學(xué)生輕而易舉地聯(lián)想起學(xué)過的知識(shí)，并且進(jìn)一步理解了這四個(gè)圖形之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系，不知不覺滲透了轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生找到知識(shí)的源頭。并且能夠緊緊抓住學(xué)生的心理，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

二、合作交流展示立體圖形計(jì)算公式之間的轉(zhuǎn)化聯(lián)系

（一）體積計(jì)算公式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

1.四人小組合作

師：用長方形（正方形）紙巧手折一折，做出上面圖形的簡單形狀或模型。

師：根據(jù)上面所給的條件，看模型交流，理一理各圖形的特征及運(yùn)算公式。你可以任選一個(gè)圖形，也可以多個(gè)圖形交流。（5分鐘）

2.學(xué)生代表匯報(bào)

生：頂點(diǎn)（8個(gè)）、面（6個(gè)、形狀）、棱（12條、長短），底面（形狀）側(cè)面展開形狀、公式（表面積、側(cè)面積、體積之間的聯(lián)系）。

師：同學(xué)們想想看，圓錐體積與圓柱體積是在什么關(guān)系下推導(dǎo)出來的？

生：等底等高。

師：在這種情況下圓柱體積與圓錐體積之間有什么聯(lián)系？

生：圓柱體積是等底等高圓錐體積的3倍，圓錐體積是等底等高圓柱體積的三分之一。

師：（板書：V柱=3V錐，V錐=[13]V柱）它們之間還有什么關(guān)系呢？

生：圓柱體積比等底等高圓錐體積大2倍，圓錐體積比等底等高圓柱體積少三分之二。

師：你說得很好，（板書：V柱比V錐大2倍，V錐比V柱少[23]）再觀察立方體 、長方體 、圓柱三種圖形還發(fā)現(xiàn)了什么？它們的體積公式之間有什么聯(lián)系？

生：它們都可以用一個(gè)底面積與對(duì)應(yīng)的高求出圖形體積。

師：如果把它翻轉(zhuǎn)一下，現(xiàn)在體積又怎么求呢？

生：原來的底面相當(dāng)于橫截面，原來的高相當(dāng)于長，還是能夠用原來的公式求體積。只不過公式變換了一種說法而已，變成橫截面積乘長。

[師板書：V=Sh（橫截面積×長），順勢在圖上標(biāo)出底面積陰影部分]

（二）側(cè)面積與表面積計(jì)算公式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

師：下面請(qǐng)同學(xué)們用手中的紙折一折，折成圓柱體、長方體、正方體空心模型，然后展開并觀察三種圖形的側(cè)面積與長方形或正方形紙有什么關(guān)系。

生：長方體、正方體、圓柱體展開后形狀都是長方形或正方形，它們的側(cè)面積就是長方形或正方形的面積。

師：怎么求三種圖形的側(cè)面積呢？它們展開圖的長與寬與原來三種立體圖形有什么緊密聯(lián)系？

生：原立體圖形的底面周長就是展開圖的長，原立體圖形的高就是展開圖的寬。

師：三種立體圖形都可以用同一個(gè)公式來求側(cè)面積嗎？側(cè)面積=底面周長×高。

師：你能同時(shí)舉幾個(gè)求側(cè)面積的生活實(shí)例嗎？

生：鐵皮煙囪材料、自來水管材料等，它們兩頭都是通的。

師：那么它們的表面積有沒有聯(lián)系，是否可以統(tǒng)一為一個(gè)公式呢？

生：三種立體圖形的表面積都是一個(gè)側(cè)面積加上兩個(gè)底面積求得。

【評(píng)析】小組合作交流，能夠使學(xué)生情緒不過于緊張，而且使組內(nèi)水平參差不齊的情況得到緩解。能力強(qiáng)的學(xué)生在組內(nèi)起到“傳幫帶”的作用，能力較弱的學(xué)生能夠得到組員的指點(diǎn)，獲得了表現(xiàn)的機(jī)會(huì)。通過合作交流與教師的旁敲側(cè)擊，學(xué)生對(duì)圓柱體、長方體、正方體三者之間的關(guān)系加深了理解，教師問題的設(shè)計(jì)由淺入深，隨著層層遞進(jìn)的辨析、比較，使三種立體圖形的側(cè)面積、表面積、體積公式由“特殊”到“一般”轉(zhuǎn)化，水到渠成，落地有聲。

三、創(chuàng)作模型打通部分與整體之間轉(zhuǎn)化的節(jié)點(diǎn)

（一）規(guī)則變形

師：把圓柱切割成一部分，會(huì)變成什么形狀呢？能求切割后圖形的體積嗎？

生：有的還是圓柱，不過變短了，有的變不完整了，怎么求呀？（生疑惑）

師：能創(chuàng)造出原圖形的一部分模型嗎？用橡皮泥做成正方體或長方體、圓柱體、圓錐體，然后切割出一部分試試。

（師選出典型的模型板演并以學(xué)生的名字命名，如付辰煜體）

師：請(qǐng)把切割成的兩部分分開與拼接后，組內(nèi)談?wù)勥@兩部分與原來的立體圖有什么關(guān)系？

生：我知道了！只要拼接一部分上去，使之變成完整的立體圖形，然后去掉拼上去的一塊體積就能求切割好后的一部分物體的體積了。（很興奮）

師：現(xiàn)在大家能計(jì)算“付辰煜體”的體積了嗎？需要哪些條件才能求體積呢？根據(jù)學(xué)生的要求標(biāo)上條件或數(shù)據(jù)。如：r=1cm h=2cm。

生：只要拼上完全一樣的一段求出完整的立體圖形，然后求一半體積即可。

師：（選出學(xué)生典型的模型并在原圖上畫出相應(yīng)的圖形）有其他計(jì)算方法嗎？

生：如圖①②可以拼上一個(gè)完全一樣的圖形或橫截面積乘長的方法求得。

生：圖②還可以拼上一小塊三角體成長方體。

師：為什么圖⑤⑥不能用橫截面積乘長計(jì)算呢？

生：因?yàn)榍昂笮螤畲笮〔坏龋瑘D③可以用半個(gè)圓柱加下面一個(gè)圓柱的方法計(jì)算。

師：我們創(chuàng)造的都是有規(guī)則可循的變形，可以通過拼上一個(gè)完全一樣的圖形或一部分圖形后“恢復(fù)原形”，形成一個(gè)規(guī)則圖形，也能用橫截面積×長來計(jì)算。

（二）等積變形

師：（掐成一團(tuán)，不規(guī)則麻花狀）這樣的圖形你能求它的體積嗎？

生：這像什么呀？是個(gè)不規(guī)則圖形，不是我們學(xué)過的圖形呀！

師：（笑了笑）什么變了，什么沒變？

生：形狀變了，變成不規(guī)則圖形了，但體積沒變。

師：對(duì)！數(shù)學(xué)上把這種現(xiàn)象叫等積變形，怎么求等積變形物體的體積？

師請(qǐng)1～2位學(xué)生說，結(jié)論：V升=V物。

師（投影）：一只底面半徑是2厘米的圓柱形玻璃杯里盛了10厘米高的水，現(xiàn)在放進(jìn)一個(gè)不規(guī)則的物體（完全浸沒在水中），現(xiàn)在水面高度是（ 11 ）厘米？水面上升了（1）厘米？這物體的體積是（ ）立方厘米？ （根據(jù)現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)填上數(shù)據(jù)）你能求出剛才這個(gè)不規(guī)則物體的體積嗎？

師：如果學(xué)生開小差沒看見實(shí)驗(yàn)過程，你還有什么方法補(bǔ)救嗎？（取出物體，在實(shí)驗(yàn)中排除物體吸水等一切因素）現(xiàn)在取出物體，水面高度會(huì)發(fā)生什么變化？高度肯定下降幾厘米？水柱下降的體積與物體的體積有什么關(guān)系？

生：水柱下降的體積就是物體的體積。

師（板演結(jié)論：V物=V降 ）：不管規(guī)則或不規(guī)則物體我們都能夠用這種等積變形的方法，把物體轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形來求物體的體積。

【評(píng)析】使物體由規(guī)則變不規(guī)則，再到不規(guī)則變規(guī)則，是一個(gè)辯證思維的過程，本環(huán)節(jié)分兩個(gè)層次推進(jìn)體積的求法。第一層次，通過創(chuàng)作模型、討論到練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握計(jì)算規(guī)則部分體積的多種計(jì)算方法，也體會(huì)了操作討論對(duì)總結(jié)方法的幫助。第二層次，利用不規(guī)則的等積變形，通過觀察、分析、反思，使不規(guī)則變規(guī)則，計(jì)算策略得到了升華。

四、用好板書在書寫脈絡(luò)中體會(huì)轉(zhuǎn)化的魅力

師：請(qǐng)同學(xué)們靜靜地看著板書，回顧一下我們這節(jié)課的所學(xué)。

生：我們學(xué)到了用轉(zhuǎn)化法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來計(jì)算。

生：我們還學(xué)到了圓柱體與長方體和正方體可以相互轉(zhuǎn)化。

生：我們還學(xué)到了長方體、正方體、圓柱體都可以用一個(gè)體積公式、表面積公式、側(cè)面積公式來求。

師：其實(shí)，這一節(jié)課我們都是在轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)下，使各個(gè)立體圖形之間建立了緊密的聯(lián)系，知識(shí)之間才會(huì)融會(huì)貫通。

展示板書設(shè)計(jì)：

【評(píng)析】板書設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)清晰、自然、大方，起到很好得統(tǒng)籌建構(gòu)的作用，使學(xué)生一目了然，培養(yǎng)了學(xué)生知識(shí)梳理與整理的習(xí)慣。

整節(jié)課以“轉(zhuǎn)化”的思想為主線，從問題的提煉到全面概括，再到運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決更多的問題，層層遞進(jìn)，一氣呵成，高年級(jí)數(shù)學(xué)課堂的魅力彰顯無遺。同時(shí)使“轉(zhuǎn)化”思想立竿見影，觸手可及。我們?cè)谡n堂教學(xué)中要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，從而真正意義上提高思維的深刻性。

（浙江省衢州市龍游縣詹家小學(xué) 324400

浙江省衢州市龍游縣陽光小學(xué) 324400）