余航

【摘要】本文結(jié)合心理學(xué)與教育學(xué)，針對學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的一些錯誤理解，從數(shù)學(xué)概念意象的形成、數(shù)學(xué)概念定義、數(shù)學(xué)概念聯(lián)系、學(xué)生的負(fù)遷移四個方面分析產(chǎn)生錯誤的原因.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；概念學(xué)習(xí)；概念意象；概念聯(lián)系；負(fù)遷移

【基金項(xiàng)目】廣西教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度廣西基礎(chǔ)教育教育教學(xué)法研究基地專項(xiàng)課題《初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)策略研究與實(shí)踐》，編號：2015JD409.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，由于概念意象的模糊性、分散性和數(shù)學(xué)概念定義的不一致以及學(xué)生對概念理解不透徹、掌握不牢，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)一些錯誤.筆者從學(xué)生的心理、生理特征以及已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，來分析在表征數(shù)學(xué)概念時，易受日常概念、思維習(xí)慣及教師的教法和觀念以及學(xué)生負(fù)遷移的影響而發(fā)生的錯誤.

一、數(shù)學(xué)概念意象形成中的錯誤

在數(shù)學(xué)概念的形成中，由于與數(shù)學(xué)概念意象的形成密切聯(lián)系，學(xué)生利用概念意象來記憶、表征和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念而導(dǎo)致錯誤概念的產(chǎn)生，這些錯誤主要集中在用日常生活概念、概念原型、“形象描述”代替數(shù)學(xué)概念.

（一）用日常概念代替數(shù)學(xué)概念

日常概念是指產(chǎn)生于日常生活經(jīng)驗(yàn)的概念.科學(xué)概念則是指在學(xué)校教學(xué)中形成與獲得的真實(shí)概念.當(dāng)日常概念與科學(xué)概念相一致時將有助于科學(xué)概念形成，反之亦然.學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)概念幾乎從日常生活概念中抽象發(fā)展而成，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)概念.但由于日常概念具有易變性、多義性、不精準(zhǔn)性等特點(diǎn)，使其極易與科學(xué)概念的本質(zhì)屬性發(fā)生矛盾，不利于科學(xué)概念的形成、掌握與運(yùn)用，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤的產(chǎn)生.例如，日常生活中，我們觀察到和接觸的“角”是尖的，所以，學(xué)生學(xué)習(xí)“角”的概念時用了日常概念來代替數(shù)學(xué)概念，認(rèn)為平角和周角不是角，此時與科學(xué)概念不一致，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤的發(fā)生.

（二）用概念原型代替數(shù)學(xué)概念

人們學(xué)習(xí)新知識時，喜歡從模仿開始入手，模仿概念原型來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.然而在模仿概念原型學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生有時自然而然形成概念原型標(biāo)準(zhǔn)化的框架來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，導(dǎo)致錯誤的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往先試著回憶獲得概念的情境，然后，才聯(lián)想到其定義的形式，此時概念的典型實(shí)例在學(xué)生的腦海里喚起學(xué)生所建立的概念意象，然而學(xué)生自己所建立的概念意象有時并不像科學(xué)概念那么明確，對概念意象具有模糊性，從而也出現(xiàn)錯誤的數(shù)學(xué)概念.同時學(xué)生借助典型實(shí)例來觀察、分析獲得新的數(shù)學(xué)概念，給予概念標(biāo)準(zhǔn)化，把無關(guān)的元素加入數(shù)學(xué)概念，或把數(shù)學(xué)概念相關(guān)的元素忽視了，直接用原型概念來代替數(shù)學(xué)概念判斷知識，不僅用了數(shù)學(xué)概念的相關(guān)元素，也用了無關(guān)元素來判斷數(shù)學(xué)某些知識，甚至有時只用了無關(guān)元素來判別.

（三）用形象描述代替數(shù)學(xué)概念

形象描述，就是把抽象的材料用形象化的語言來闡述，在數(shù)學(xué)概念意象表征數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，許多時候，學(xué)生通過自己的語言來描述數(shù)學(xué)概念.但在形象描述過程中，學(xué)生對于描述的語言、符號使用不準(zhǔn)確，包括概念意象的模糊性和分散性而造成數(shù)學(xué)概念的錯誤.如，學(xué)生對完全平方公式的概念表征中，忽略公式中字母代表的具體意義，認(rèn)為公式中字母僅代表數(shù)，卻忽略了公式中的字母不僅可以代表數(shù)，也可以代表單項(xiàng)式，甚至多項(xiàng)式.

二、數(shù)學(xué)概念定義中形成的錯誤

在定義數(shù)學(xué)概念時，由于學(xué)生不能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延以及概括與抽象能力不強(qiáng)、概念定義與概念意象相脫離也會導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤的產(chǎn)生.

（一）內(nèi)涵和外延把握不正確導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤

從邏輯上說，概念的外延就是適合這個概念的一切對象的范圍，而概念的內(nèi)涵就是這個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和，概念的內(nèi)涵和外延是相互依存、相互制約的，倘若內(nèi)涵擴(kuò)大，其外延就會縮??；內(nèi)涵縮小，其外延就會擴(kuò)大.如果學(xué)生不能準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延，那么將會導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤出現(xiàn).

例如，“互為余角”這個概念，它的外延是這兩個角與它們所處的位置無關(guān)，即使這兩個角相距很遠(yuǎn)，但只要它們的和等于90°，這兩個角就為互余，而它的內(nèi)涵是“具備兩個角，且這兩個角和等于90°，則稱這樣的兩個角互為余角”.然而大部分學(xué)生常常只會敘述定義，不去真正理解其本質(zhì)屬性，內(nèi)涵與外延分不清，擴(kuò)大內(nèi)涵、縮小外延出現(xiàn)互為余角這個概念的錯誤，或縮小內(nèi)涵、擴(kuò)大外延而出現(xiàn)互為余角這個概念的錯誤.

（二）概括與抽象能力不強(qiáng)導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤

概括是從思想中把從某些具有一些相同屬性的事物中抽取出來的本質(zhì)屬性，推廣到具有這些屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念.在數(shù)學(xué)概念的定義中，是把具有共同特點(diǎn)的對象歸納總結(jié)在一起，抽象出對象的本質(zhì)屬性，將其推廣為這一對象的更大范圍的同類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.概括與抽象能力不強(qiáng)就會有可能在數(shù)學(xué)概念的定義中將一些無關(guān)特征當(dāng)作本質(zhì)屬性；或者脫離具體背景，僅僅保留其抽象的本質(zhì)屬性來形成概念的定義.

一是將非本質(zhì)特征作為本質(zhì)特征進(jìn)行概括產(chǎn)生數(shù)學(xué)概念錯誤；二是只概括部分本質(zhì)特征，不能正確理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念錯誤.如，分式的概念，學(xué)生往往遺漏了關(guān)鍵的一點(diǎn)——分式的分母中必須含有字母，分子分母均為整式，而造成錯誤的分式概念產(chǎn)生.三是發(fā)生異化，即對本質(zhì)特征加以修正、改變.如，算術(shù)平方根的概念，不少學(xué)生將其概念中的整數(shù)修改為正數(shù)，導(dǎo)致概括出來的算術(shù)平方根概念是錯誤的.

（三）概念定義與概念意象相脫離導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤

數(shù)學(xué)概念是由概念定義與概念意象構(gòu)成的完整的整體.但是，在大多數(shù)情況下，學(xué)生的概念定義與概念意象是相脫離的，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念的形式化定義與概念本質(zhì)想脫離造成許多錯誤的產(chǎn)生，特別是那些以檢測概念定義為主要目標(biāo)的問題，錯誤的概率就更高了.

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)定義時，往往用了概念意象形象地記住幾種特殊的函數(shù)模型——一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，而將函數(shù)概念早已置之不理.將數(shù)學(xué)定義與數(shù)學(xué)概念意象想脫離最易發(fā)生在每個初學(xué)者身上，對于大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都潛藏著這種概念定義與概念意象相脫離的現(xiàn)象，只有經(jīng)過變式、正反例的對比、概念的運(yùn)用等多種活動的開展后，才會慢慢地將概念定義與概念意象相融合起來.

三、數(shù)學(xué)概念聯(lián)系中形成的錯誤

數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系一直貫穿于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程中，例如，新概念與原概念的聯(lián)系，概念內(nèi)容與概念的聯(lián)系等.部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，對概念之間聯(lián)系比較僵化，對概念聯(lián)系不恰當(dāng)，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤的產(chǎn)生.

（一）數(shù)學(xué)概念聯(lián)系僵化導(dǎo)致的錯誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，沒有自主去建立概念內(nèi)部與概念之間的聯(lián)系，依賴與教師所建立的結(jié)構(gòu)或教材上現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)去記憶其表達(dá)形式，或語言表達(dá).然而教師和教材的知識有限，并不能滿足于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確掌握.此時，學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)概念是孤立的，所掌握的概念對象是僵化的.這種孤立僵化地看待數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生的錯誤，一般出現(xiàn)在有高中數(shù)學(xué)概念交織在一起的復(fù)雜背景中，在這種背景中，學(xué)生往往同時接觸多個數(shù)學(xué)概念，只有恰當(dāng)?shù)亟鉀Q這些概念之間的聯(lián)系，才能從根本上解決問題.比如，把“正比例函數(shù)”“一次函數(shù)”和“二次函數(shù)”的概念放在一個聯(lián)系的背景下去理解，比單純地理解其中的一個對象要容易得多.然而，由于部分學(xué)生對所掌握的數(shù)學(xué)概念是孤立的，是僵化的，結(jié)果造成這樣一種常見的情形：學(xué)生對每一個數(shù)學(xué)概念很熟悉，甚至能倒背如流，但問題終究解決不了，到運(yùn)用時卻不知所措.

（二）數(shù)學(xué)概念聯(lián)系不恰當(dāng)?shù)腻e誤

在學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)概念時，或多或少都要與各種概念進(jìn)行聯(lián)系，如果數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系不恰當(dāng)，將會導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與運(yùn)用中的許多錯誤：一是將數(shù)學(xué)概念中的非本質(zhì)特征作為本質(zhì)特征與其他概念進(jìn)行聯(lián)系干擾了數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系的正確建立.二是將數(shù)學(xué)概念體系中的概念定義、概念性質(zhì)、概念判定等混為一談.將數(shù)學(xué)概念的部分定義作為整體概念定義，將數(shù)學(xué)概念的部分性質(zhì)當(dāng)作整體數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)，將數(shù)學(xué)概念部分判定用來判定數(shù)學(xué)概念；或者將數(shù)學(xué)概念的部分定義與部分性質(zhì)、部分判定合起來一起去建立數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系.以致在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中會思維混亂，表現(xiàn)為對概念認(rèn)識模糊不清，對概念知識掌握太過零散，難以掌握正確的數(shù)學(xué)概念，甚至將正確的數(shù)學(xué)概念給歪曲了.三是對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性把握比較淺顯，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系無法正確建立.如，“軸對稱圖形”與“中心對稱圖形”之間的聯(lián)系可以說明這一點(diǎn).在討論對稱圖形時，這兩個概念之間的聯(lián)系可以很容易建立，然而當(dāng)討論完軸對稱圖形再討論中心對稱圖形時，他們將無法接受中心對稱圖形的概念.

四、負(fù)遷移形成的數(shù)學(xué)概念理解和運(yùn)用錯誤

負(fù)遷移包括認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知產(chǎn)生矛盾以及消極的思維定式.認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡單來說就是學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu).廣義上，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生已有觀念的全部內(nèi)容及其組織；狹義上，它是學(xué)生在某一學(xué)科的特殊知識領(lǐng)域內(nèi)觀念的全部內(nèi)容及其組織.當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與所學(xué)的新知產(chǎn)生矛盾時，認(rèn)知結(jié)構(gòu)將影響新知識的理解、運(yùn)用.思維定式，也稱“慣性思維”，是由先前的活動而造成的一種對活動的特殊的心理準(zhǔn)備狀態(tài)，或活動的傾向性.當(dāng)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時有了消極的思維定式，將會成為束縛創(chuàng)造性思維的枷鎖.

（一）認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知有矛盾導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的錯誤理解

利用原來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的知識，一旦認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的知識有矛盾時，他們將無法對新知識進(jìn)行理解與運(yùn)用，導(dǎo)致新知識的錯誤產(chǎn)生.例如，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的“i2=-1”時，早已有這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)“任何實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”，因此，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時，無法接受i2=-1，在心理上自覺不自覺地存在一些障礙，導(dǎo)致對復(fù)數(shù)概念的理解、運(yùn)用的錯誤產(chǎn)生.

（二）消極的思維定式導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的錯誤理解

消極的思維定式將會束縛創(chuàng)造性思維，妨礙采用新的方法來正確理解新的知識，導(dǎo)致新知識錯誤的產(chǎn)生.消極的思維定式包括認(rèn)識上的困難、不適當(dāng)?shù)念惐扰c只善于簡單思維，不會復(fù)雜思維等等，在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，不同階段的差異性與同一階段內(nèi)的穩(wěn)定性存在矛盾，將會使學(xué)生在認(rèn)識上發(fā)生困難.例如，函數(shù)的概念，在初中階段的定義與高中階段的定義從字面上看是不一樣的，在初中只是描述性的，是作為常量的數(shù)學(xué)的函數(shù)，然而高中是用映射的觀點(diǎn)來解釋，如果在初中時過于強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念的描述性，那么將會使學(xué)生在高中時認(rèn)識函數(shù)上發(fā)生困難.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，不僅認(rèn)識上的困難會導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念的錯誤產(chǎn)生，不適當(dāng)?shù)念惐纫矔?dǎo)致數(shù)學(xué)概念的錯誤產(chǎn)生.人們學(xué)習(xí)新的事物或知識幾乎是從模仿開始的，然后，用類比的方法去解決類似的問題，大部分情況下，解得答案都是正確的，所以，學(xué)生容易形成類比思維的定式，但是學(xué)生有時候盲目地類比，把不恰當(dāng)?shù)念惐扔脕韺W(xué)習(xí)新的概念，此時類比的思維會對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念起消極作用，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念錯誤的產(chǎn)生.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生反復(fù)使用簡單性思維（單向思維和順向思維）去學(xué)習(xí)新的知識，卻不會用復(fù)雜思維（發(fā)散思維和逆向性思維）去學(xué)習(xí)新的知識.例如，學(xué)生理解函數(shù)列的收斂性概念時，當(dāng)問學(xué)生{fn}在X上一致收斂于f是否有ε>0，Ν≥1，x∈X，則|fn（x）-f（x）|<ε時，許多學(xué)生回答錯誤.這是因?yàn)閷W(xué)生善于順向思維去學(xué)習(xí)該概念，而不善于逆向思維去學(xué)習(xí)該概念.

綜上所述，由于對概念理解不透徹，概念意象模糊性、分散性以及消極的思維定式都會造成數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)錯誤.

【參考文獻(xiàn)】

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