錢(qián)耀泉

摘 要：在日常的教學(xué)中，有些例題頗具探討價(jià)值，對(duì)學(xué)生也很有啟發(fā)性，但多數(shù)時(shí)候都在我們不經(jīng)意間被忽視了。筆者嘗試讓學(xué)生對(duì)一道課例進(jìn)行思考，以提升學(xué)生的解題能力和思維水平，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，然后再進(jìn)行變式訓(xùn)練。本文最后對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行了反思。

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；三點(diǎn)定圓；一題多解；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法

在日常的教學(xué)中，有些例題頗具探討價(jià)值，對(duì)學(xué)生也很有啟發(fā)性，但多數(shù)時(shí)候都在我們不經(jīng)意間被忽視了，譬如本文將探究的一道課例。

一、課例重現(xiàn)

在北師大版《數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)》第八章“直線和圓的方程”中第7.3節(jié)“圓的方程的確定”，如例9：求過(guò)三點(diǎn)A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程，并指出它的圓心和半徑。

課本給出的解法如下：

點(diǎn)評(píng)：由于解Ⅰ和解Ⅱ所設(shè)出圓的方程不一樣，得到的方程組也不一樣，但是實(shí)質(zhì)上兩種解法都運(yùn)用了“一設(shè)、二代、三還原”的待定系數(shù)法進(jìn)行解題。

“三點(diǎn)定圓”在我們的教學(xué)中既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在專(zhuān)業(yè)課中更有重要的應(yīng)用價(jià)值。然而，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生都未能很好地掌握上述兩種解法。即便是能勉強(qiáng)掌握的學(xué)生也覺(jué)得該題很難。主要原因是學(xué)生在初中階段時(shí)，教學(xué)大綱對(duì)三元一次方程組的要求不高，也非中考重點(diǎn)，據(jù)學(xué)生反映，他們多數(shù)的初中老師都是一帶而過(guò)地處理該知識(shí)點(diǎn)。據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)：越是學(xué)生感到困難的題，其解法越是豐富多彩。因此，筆者決定借此契機(jī)嘗試引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該例題進(jìn)行解題探究，以提升學(xué)生的解題能力和思維水平。

二、解題探究

既然學(xué)生覺(jué)得用三元一次方程組進(jìn)行解題比較困難，于是筆者在課堂上對(duì)學(xué)生提出新問(wèn)題：能否用二元一次方程組來(lái)解該題呢？有些學(xué)生自行思考，有些學(xué)生舉手討教，然后筆者給出提示：“在解法Ⅰ和解Ⅱ中均有3個(gè)未知數(shù)，若我們根據(jù)圓的軌跡方程定義，可將三元方程組變成二元方程組?！焙芸毂阌袑W(xué)生分享了他們的解法。

解法點(diǎn)評(píng)：本解法借用了圓的軌跡方程的定義，設(shè)出圓心后，根據(jù)半徑相等，AO`=BO`=CO`，從而將三元一次方程組改為二元一次方程組求出圓心，從而得解。

臨近下課，筆者給學(xué)生布置課后思考題：“請(qǐng)用你熟悉的知識(shí)，充分挖掘題設(shè)的條件，思考例題9的新解法，以學(xué)習(xí)小組為單位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，解法越多，本次作業(yè)的得分越高。”學(xué)生的熱情馬上被點(diǎn)燃，下課鈴響后還在紛紛積極討論解題。各個(gè)學(xué)習(xí)小組經(jīng)筆者的適時(shí)引導(dǎo)或適當(dāng)提示，學(xué)生們又得出了以下五種新解法：

解法點(diǎn)評(píng)：該生運(yùn)用三點(diǎn)定圓心的作圖法進(jìn)行解題，其實(shí)質(zhì)為垂徑定理的運(yùn)用——線段AB、AC的中垂線l1、l2必垂直與弦AB、AC，且平分該兩弦，由垂徑定理“知二推三”可得，兩中垂線l1、l2必經(jīng)過(guò)圓心，其交點(diǎn)即為圓心O`，從而得解。說(shuō)明學(xué)生對(duì)圓的作圖掌握較好，并能結(jié)合直線的知識(shí)綜合解題。

解法點(diǎn)評(píng)：無(wú)獨(dú)有偶，本解法的實(shí)質(zhì)同樣是運(yùn)用了垂徑定理的垂直結(jié)論，并結(jié)合勾股定理列得方程組求出圓心，從而得解。勾股定理是學(xué)生非常熟悉，并經(jīng)常使用的定理，因此該解法也是學(xué)生易于接受的解法。

解法點(diǎn)評(píng)：本解法勇于嘗試，先算出三點(diǎn)之間兩兩距離，通過(guò)勾股逆定理得知三點(diǎn)連線恰好構(gòu)成直角三角形，再由“直角對(duì)直徑”定理得出BC邊為直徑，從而較快速地求出圓心、半徑，從而得解。本解法反映了學(xué)生對(duì)題設(shè)的大膽猜想，并進(jìn)行了有效的驗(yàn)證，不失為一個(gè)優(yōu)美的解法！

解法點(diǎn)評(píng)：本解法運(yùn)用了向量法巧妙地進(jìn)行解題，將復(fù)雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)單易算，避開(kāi)了方程組的繁瑣計(jì)算，直接用兩個(gè)一元一次方程解出圓心坐標(biāo)，從而得解。該解法反映了學(xué)生對(duì)向量法的嫻熟運(yùn)用，思維獨(dú)特，化繁為簡(jiǎn)！

解法點(diǎn)評(píng)：本解法擺脫了原題設(shè)的束縛，大膽構(gòu)造，將圓上的三點(diǎn)，反過(guò)來(lái)變?yōu)榱巳齻€(gè)等圓的圓心，靈活地運(yùn)用了逆向思維進(jìn)行思考，求出三圓的交點(diǎn)即為原來(lái)的圓心，從而得解。反映了學(xué)生對(duì)圓的定義理解透徹，獨(dú)辟蹊徑，很有創(chuàng)意！

三、解題探究小結(jié)

在筆者引發(fā)學(xué)生對(duì)課例的解題探究中，可謂是一石激起千層浪。學(xué)生或從作圖法入手，或從垂徑定理思考，或從勾股定理逆定理推演，或從向量法妙解，或從逆向思維探索……各個(gè)解法無(wú)不閃爍著學(xué)生睿智的光芒！非常精彩！

筆者將學(xué)生的解題探索一一展示給全班同學(xué)賞析學(xué)習(xí)，并讓他們進(jìn)行歸納反思。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)“三點(diǎn)定圓”問(wèn)題進(jìn)行了如下小結(jié)：

（一）解題知識(shí)方面：我們可運(yùn)用圓的一般方程及標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)距離及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、方程或方程組、圓的軌跡方程定義、垂徑定理、中垂線的定義、勾股定理及其逆定理、直線的點(diǎn)斜式方程、兩垂直直線的斜率關(guān)系、向量的加法及數(shù)乘等知識(shí)進(jìn)行著手；

（二）解題思想方面：我們可運(yùn)用函數(shù)與方程（組）的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、逆向思維等思想進(jìn)行探索；

（三）解題方法方面：我們可從定義法、待定系數(shù)法、作圖法、向量法、構(gòu)造法等方法進(jìn)行思考；

（四）解題步驟方面：除了待定系數(shù)法外，我們?cè)诮鉀Q“三點(diǎn)定圓”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)，然后都是根據(jù)兩點(diǎn)距離或向量模公式求出半徑r，從而得解。

四、課例拓展——變式訓(xùn)練

三點(diǎn)定圓的題設(shè)本質(zhì)：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。其推論有：一條直線及直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。筆者依據(jù)“從一般到特殊”的演繹推理原則，更改了題設(shè)條件，再次對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行提升變式訓(xùn)練：

（1）如圖7，已知某圓上一點(diǎn)A（2，2）的切線方程l：2x-y-2=0，及圓上另一點(diǎn)B（6，2），求該圓的方程。

思維點(diǎn)撥：本題可由點(diǎn)A與切線方程，得出其法線方程，則它必過(guò)圓心O`，以此設(shè)出一元的圓心坐標(biāo)（a，f（a）），再根據(jù)相切有d=r，即d=O`B，從而得解。該題綜合運(yùn)用了直線的斜率、點(diǎn)斜式方程、點(diǎn)線距離等進(jìn)行解題。

（2）如圖8，已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0）、B（0，2）、C（6，0），求該圓的方程。

思維點(diǎn)撥：根據(jù)前面學(xué)生的解法分享，本題依然可以運(yùn)用本文提及的8種解法進(jìn)行解題。然而，本題中OB、OC的連線恰好分別為x軸的垂直線與平行線。據(jù)本文的解Ⅳ，由垂徑定理，圓心必在OB、OC的中垂線的交點(diǎn)位置，則可直接口算出圓心坐標(biāo)為O`（3，1），從而得解。雖然該解法非常便捷，可以秒算出圓心，然在用法上有其局限性。

五、解題教學(xué)反思

（一）須務(wù)實(shí)基礎(chǔ)。筆者認(rèn)為在解題方法的探索中，知識(shí)是根，思想是枝葉，方法技巧是花。教師要先讓學(xué)生務(wù)實(shí)基礎(chǔ)，只有根基扎實(shí)了，才能茁壯健康成長(zhǎng)。

（二）重視數(shù)學(xué)思想與方法的滲透。解題探究的目的并不是為了得出答案，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)其中的數(shù)學(xué)思想與方法，鍛煉其思維。我們則需要在日常教學(xué)中要不斷對(duì)學(xué)生進(jìn)行滲透，并引導(dǎo)他們進(jìn)行及時(shí)歸納反思所學(xué)，構(gòu)建并完善學(xué)生的知識(shí)與技能體系。

（三）因勢(shì)利導(dǎo)。雖然條條大路通羅馬，但是教師不能盲目地拔高，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生實(shí)際的基礎(chǔ)水平及其思維方向進(jìn)行點(diǎn)撥。因勢(shì)利導(dǎo)，順勢(shì)而為，則會(huì)事半功倍！

（四）呵護(hù)學(xué)生的智慧火花。即使對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生有時(shí)遇到難題也難免會(huì)產(chǎn)生畏難情緒。這時(shí)需要教師對(duì)學(xué)生的努力給予及時(shí)的肯定、積極的鼓勵(lì)。

綜上，這是筆者解題教學(xué)實(shí)踐中長(zhǎng)期以來(lái)堅(jiān)持的做法，相信這與本人所輔導(dǎo)的學(xué)生參加每一屆的廣州市數(shù)學(xué)競(jìng)賽都榮獲一等獎(jiǎng)的殊榮存在一定的因果關(guān)聯(lián)，在此拋磚引玉。最后借數(shù)學(xué)家華羅庚先生的格言共勉：“天才始于積累，聰明在于勤奮?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]曹一鳴，程曠.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)[M].北京師范大學(xué)出版社，2011：106.

[2]汪江松.數(shù)學(xué)思想方法[M].廈門(mén)大學(xué)出版社，2009：8.1.endprint