徐珊　廖小勇

【摘要】我國當前進行的新課程改革，對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展提出了更高的要求.本文結(jié)合具體中學(xué)數(shù)學(xué)解題案例，淺述優(yōu)化數(shù)學(xué)教師MPCK的兩點啟示：（1）數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教師應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實踐相結(jié)合；（2）教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認識、評價教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型，從而有助于數(shù)學(xué)教師進一步發(fā)展專業(yè)知識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教師；MPCK；數(shù)學(xué)解題；教學(xué)啟示

【基金項目】本文系黃岡市教育科學(xué)研究院研究生工作站研究項目“初中數(shù)學(xué)教師MPCK現(xiàn)狀調(diào)查與發(fā)展策略研究”（JSXM2016012）資助.此段話請務(wù)必保留。

【中圖分類號】O1-4 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）07-0191-02

一、研究背景及問題

20世紀80年代中期，美國著名教育家舒爾曼（Shulman）最早提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），即教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)理論，他把教師的專業(yè)知識分為七類，其核心是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識（Pedagogical Content Knowledge），簡稱PCK。此后，國外許多學(xué)者對此作了大量研究。綜合其觀點：就數(shù)學(xué)教育而言，掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識并不能有效地促進教師的專業(yè)發(fā)展，教師更需具備“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.它是三個基本集合MK、PK、CK的公共部分。其中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識（Mathematics Knowledge）簡稱MK，一般教學(xué)法知識（Pedagogical Knowledge）簡稱PK，有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識（Content Knowledge）簡稱CK。

進入21世紀，我國進一步實施了教育新課程改革，對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展提出了更高的要求，其目的是讓教育滿足時代的教育需求。然而，在數(shù)學(xué)新課程改革的現(xiàn)階段，許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)當中仍然存在著教育學(xué)知識與學(xué)科知識保持著分離，教師在實際的學(xué)科教學(xué)實踐中難以結(jié)合所學(xué)的教學(xué)理論等問題。為此，國內(nèi)學(xué)者們關(guān)注并借鑒了舒爾曼所提出的PCK的概念，提出了運用MPCK解決數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展和新課程改革中出現(xiàn)的教學(xué)相關(guān)問題。數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的核心問題就是發(fā)展他們MPCK，同時MPCK也是區(qū)分高水平教師與一般教師的重要特征之一。

一些專家學(xué)者和教師已經(jīng)對MPCK進行了研究和實踐，如朱紅梅指出，教育體系不斷發(fā)展完善，學(xué)校注重學(xué)生的全面發(fā)展，PCK 對于促進高質(zhì)量教學(xué)及培養(yǎng)教師的高素養(yǎng)有著重要作用[1]；鄭明筑以“函數(shù)的單調(diào)性”一課為例，基于PCK結(jié)構(gòu)談?wù)勅绾斡行У剡M行數(shù)學(xué)概念教學(xué)[2]；楊小麗選擇勾股定理這個內(nèi)容研究了數(shù)學(xué)教師MPCK[3]。賀明榮結(jié)合解題案例，提出了優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK，促進專業(yè)發(fā)展的思考[4]；陳子薔、胡典順、何穗等人詳細的闡述了中國目前MPCK的研究背景、研究進展、研究前瞻[5]；李渺、寧連華對MPCK的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義進行了論述，并指出MPCK 對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展意義重大，它有助于數(shù)學(xué)教師進一步加深對教師專業(yè)的認識，有助于數(shù)學(xué)教師進一步發(fā)展專業(yè)知識[6]。

本文試結(jié)合具體數(shù)學(xué)解題案例，淺述如何優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK的教學(xué)啟示，以期幫助數(shù)學(xué)教師思考促進專業(yè)發(fā)展問題，以期同行指正。

二、基于MPCK解題的案例分析

數(shù)學(xué)知識和技能的學(xué)習(xí)，離不開數(shù)學(xué)解題，即使學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念、定理等，對于數(shù)學(xué)知識未必熟練掌握，也不一定能具有計算能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理能力等。數(shù)學(xué)知識和技能的鞏固只有在相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題情境中才能體現(xiàn)，學(xué)生必須通過處理相應(yīng)的問題，將數(shù)學(xué)知識和技能內(nèi)化，才能真正掌握。

下面我們將結(jié)合教學(xué)實例，基于MPCK結(jié)構(gòu)，談?wù)劷處煈?yīng)如何有效地進行數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)。

例1.已知，求證.

MPCK（職前教師）：將二元轉(zhuǎn)化為一元進行求解.因為，所以，代入不等式左邊得：

.

MK的視角：本題涉及教師對初中教學(xué)大綱的把握，并且涉及到二次函數(shù)最值得求解問題。

PK的視角：解題伊始，學(xué)生不知從何下手去解決這道題，只知道一個條件，就是，并且要求的問題中含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是2，像這類二元二次方程問題以前的學(xué)習(xí)中很少見過。因此，教師在講解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生將二元轉(zhuǎn)化為一元進行求解，降低運算難度從而達到了簡化題目的目的。在教學(xué)的方法上應(yīng)采用嘗試、探究，合理點撥等多種方式激發(fā)學(xué)生的思維。

CK的視角：當前，初中數(shù)學(xué)教材對代數(shù)及函數(shù)有關(guān)知識的要求有所提升，初中生對這部分知識相對而言，其熟悉的程度不低，但運用不夠靈活，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對這部分的相關(guān)知識做適當?shù)耐卣古c深化，體驗滲透化歸、轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法。

MPCK（經(jīng)驗教師）：將原問題，看成點P（1，1）到直線的距離問題。可以看成點P（1，1）到直線上的點（a，b）的距離，即求兩點之間的距離的取值范圍。通過分析可知，點P（1，1）到直線的距離為點P（1，1）到直線上點（a，b）的距離的最小值。用點到直線的距離公式得：

MK的視角：本題涉及教師運用點到直線的距離公式，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決的情況。

PK的視角：在具體的教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，再通過引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散思維，將特征進一步顯性化，教師可采取嘗試、探究、啟發(fā)等手段，以實現(xiàn)合理引入點到直線的距離計算，并利用點到直線的距離公式解題。

CK的視角：由于高中學(xué)生具有一定的認知水平，可以讓他們在更抽象意義下認識問題，體驗解題的策略與方法。

例2.過橢圓內(nèi)一點（1，0），引動弦AB，求AB的中點M的軌跡。

MPCK（職初教師）：設(shè)AB的斜率為k，得直線AB的方程，求點A，B坐標，再求中點M坐標，消去k，得軌跡方程。endprint

設(shè)過點D的直線AB的方程：………… （1）

又…………（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式，可得：，整理得：.

所以：

.

從而，整理得：；

，整理得：.

所以有，因此點M的軌跡方程為.

MK的視角： 本題是教學(xué)大綱要求掌握的知識點，主要考察圓錐曲線的相關(guān)求解。

PK的視角： 在具體教學(xué)中，圓錐曲線這類題目有較為固定的解題方法，可引導(dǎo)學(xué)生自行探索解決，其思路雖簡單，但運算量較大；

CK的視角： 不同的學(xué)生對該題所采取的切入方式不盡相同，應(yīng)針對他們的認知實際水平啟發(fā)他們對解決問題進行方法的優(yōu)化與問題本身的適當拓展。

MPCK（經(jīng)驗教師）：設(shè)點，AB中點，則有

， …………（3）

且成立 .

由（3）式中兩式相減，可得： ，又 ，聯(lián)立兩式得：

.

MK的視角：線段中點坐標公式及圓錐曲線相關(guān)知識的靈活運用，數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系，對問題的歸納與推廣。

PK的視角：本題涉及教師在解題教學(xué)中如何立足課本，將問題還原到學(xué)生已有的知識水平和思維層次下，如何從不同的角度看到全局，將所學(xué)知識連貫起來綜合解決問題。在實際教學(xué)中，可采取獨立思考與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，并注意啟發(fā)與引導(dǎo)等多種恰當?shù)慕虒W(xué)方式。

CK的視角：對不同認知水平的學(xué)生應(yīng)注意他們理解到什么程度，并能解決到何種層次等均需針對具體情況而定。

三、基于MPCK解題的教學(xué)啟示

1.數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教師應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實踐相結(jié)合

學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的具體表現(xiàn)在于解題的質(zhì)量而非數(shù)量。顯然，分析和研究典型題目的解題思路、探究解題過程不僅是學(xué)生學(xué)會解題和掌握數(shù)學(xué)技能的有效途徑，而且對發(fā)展學(xué)生的思維、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力大有裨益。顯然，在數(shù)學(xué)解題方法研究的過程中我們必須將MPCK 運用于整個教學(xué)過程中。有研究表明，經(jīng)驗教師的MPCK較職前教師豐富，經(jīng)驗教師更能了解學(xué)生在學(xué)習(xí)特定內(nèi)容方面的思維特點；在診斷學(xué)生的錯誤概念方面，雖然職前教師也能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤，但不能很好地揭示學(xué)生錯誤的本質(zhì)，而經(jīng)驗教師能夠根據(jù)知識之間的前后聯(lián)系，識別出學(xué)生錯誤的根本原因，并能從相關(guān)概念的意義入手，通過多種表征方法，啟發(fā)學(xué)生理解概念的本質(zhì)。這正是MPCK教學(xué)理論與教學(xué)實踐是否相結(jié)合的具體表現(xiàn)。

總之，數(shù)學(xué)教師不僅自己要知道有關(guān)數(shù)學(xué)知識，而且還要在解題過程中向?qū)W生解釋這些數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識運用于實際問題當中。此外，數(shù)學(xué)教師還要知道學(xué)生的學(xué)習(xí)疑難點以及準備用什么樣的教學(xué)策略來解決這些疑難點等等，所有這些都需要數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)學(xué)科知識、學(xué)生思維特點方面的知識以及其他方面的知識融合起來，即需要MPCK。

2.教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認識、評價教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型

MPCK不僅豐富了數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且凸顯數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識的發(fā)展途徑。解題是數(shù)學(xué)教師的一項基本功，在平時的教學(xué)過程中，教師要學(xué)會并適應(yīng)將MPCK運用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。MPCK 的實踐性表明，教師知識的發(fā)展與教師的教學(xué)實踐緊密聯(lián)系。也就是說一名教師不可能僅僅通過閱讀有關(guān)MPCK的知識而成為一名優(yōu)秀教師，教師的學(xué)習(xí)離不開教學(xué)實踐。正如西方學(xué)者奧卡肖特所言：“（有種知識）僅存在于實踐中，并且獲取它的唯一方法是通過學(xué)徒制來掌握。這并不是因為師傅能教他，而是因為這種惟有通過持續(xù)不斷地與長期以來一直實踐的人相接觸才能獲得。”同時，在整個教學(xué)實踐學(xué)習(xí)過程中，教師需要仔細觀察優(yōu)秀教師的教學(xué)，用“心”學(xué)習(xí)其中的教學(xué)智慧，從而構(gòu)建自己的MPCK。這樣，才能使自己不斷獲得教育教學(xué)的真諦，才能使自己得到迅速的成長。

教師一旦建構(gòu)起自己的MPCK，就會內(nèi)化為教師解釋、認識、評價教學(xué)事件的框架和模型，并以這種框架或模型去分析、論證、評價教學(xué)中的問題，形成個人獨有的處理各種教學(xué)問題的原則和方法。正如人們常說的“教學(xué)既是科學(xué)也是藝術(shù)”，數(shù)學(xué)教學(xué)科學(xué)化即為數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化，數(shù)學(xué)教師需要專門的職業(yè)訓(xùn)練，也要有特殊的職業(yè)要求。以上案例表明開展MPCK的研究，優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK對促進教師的專業(yè)化成長具有重要意義。我認為，選擇代表性的案例對職初和在職教師進行定期的專業(yè)化培訓(xùn)，從不同的角度向教師演繹高等數(shù)學(xué)中所蘊含的解題方法及數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)教師在初、高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間建立縱向聯(lián)系，豐富教師的數(shù)學(xué)內(nèi)容知識（MK）和數(shù)學(xué)教學(xué)方法知識（MPK），前移數(shù)學(xué)研究的立足點等，是幫助中學(xué)數(shù)學(xué)教師的MPCK的發(fā)展與重建，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從一般教師向高水平教師轉(zhuǎn)化的一個有效途徑。

四、結(jié)語

以上案例表明基于MPCK開展的研究數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)的質(zhì)量與數(shù)學(xué)教學(xué)的成敗有著直接的關(guān)系，優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK對促進教師的專業(yè)化成長具有重要意義。教師不僅應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實踐相結(jié)合，而且教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認識、評價教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型。這樣才能有助于數(shù)學(xué)教師進一步加深對教師專業(yè)的認識，有助于教育學(xué)知識與學(xué)科知識更好的與教學(xué)實踐相結(jié)合，有助于數(shù)學(xué)教師進一步發(fā)展專業(yè)知識。

參考文獻

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[4]賀明榮.淺析MPCK視角下的解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013，（19）：27-29.

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[6]李渺，寧連華.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（2）：10-14.endprint