丁玲

[摘 要] 反思是一種重要的思維活動(dòng)，亦是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在，高中數(shù)學(xué)教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)而高效的反思，進(jìn)而提升學(xué)生能力的發(fā)展. 本文指出教師要引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)知識(shí)形成的反思過程中認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)；在對(duì)知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)的反思過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化；在對(duì)問題解決的反思過程中提升思維的品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；反思；引導(dǎo)策略

課程改革的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為此教師要指導(dǎo)學(xué)生深入理解學(xué)習(xí)的過程，讓他們不僅能夠明確要學(xué)習(xí)什么，更讓學(xué)生理解該如何進(jìn)行學(xué)習(xí). 那么在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們應(yīng)該如何促使學(xué)生積極而主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)之中，認(rèn)真地探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法呢？筆者認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確反思是一個(gè)非常有效的方法.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，反思一直都是結(jié)論發(fā)現(xiàn)的源泉，是學(xué)生訓(xùn)練思維、優(yōu)化思維最為高效的方法，也是他們實(shí)現(xiàn)知識(shí)同化與遷移的有效途徑. 我們雖然經(jīng)常強(qiáng)調(diào)“反思”，但學(xué)生卻不一定理解什么是“反思”. 所謂“反思”，這應(yīng)該是從新的角度出發(fā)，對(duì)問題進(jìn)行多層次、全方位的思考、分析和探索，進(jìn)而更深入地對(duì)問題進(jìn)行理解，從而把握問題的本質(zhì)，并獲得事物一般化的規(guī)律，同時(shí)還能建立知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，有效推動(dòng)知識(shí)的同化與遷移，引導(dǎo)認(rèn)知主體獲取新的發(fā)現(xiàn). 因此反思應(yīng)該是一種高階的思維活動(dòng)，它同時(shí)也是一種探索行為，從教學(xué)層面來理解，它可以是一種同化，也是一種發(fā)現(xiàn)，還是一種再創(chuàng)造.

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有計(jì)劃、有針對(duì)的反思，能夠提升他們的數(shù)學(xué)意識(shí)，優(yōu)化他們的理性思維機(jī)制. 此外，我們還可以指導(dǎo)學(xué)生借助反思來追蹤數(shù)學(xué)家的研究思路，讓他們像專業(yè)的數(shù)學(xué)研究者一樣來探索問題. 這樣的反思還將有助于學(xué)生拓展問題解決的思路，實(shí)現(xiàn)問題解決的優(yōu)化，同時(shí)讓自己的思維更加嚴(yán)謹(jǐn). 因此我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中一定要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生展開積極的反思，這可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生求知、求思的主動(dòng)性，進(jìn)而形成善于觀察、分析和思考的習(xí)慣，培養(yǎng)他們勇于質(zhì)疑、敢于探索的學(xué)習(xí)精神. 那么我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中應(yīng)該如何來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思呢？

在對(duì)知識(shí)形成的反思過程中認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)

無論是教材還是課堂，數(shù)學(xué)在很多學(xué)生眼中都是一些已經(jīng)成形且固化的形式和理論. 在課堂上，學(xué)生往往被動(dòng)地等待教師灌輸各種概念、法則、定理等現(xiàn)成的結(jié)論，至于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程以及數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)造過程都與學(xué)生的認(rèn)知無關(guān)，這樣的教學(xué)怎么可能讓學(xué)生形成較為真實(shí)的體驗(yàn)，這樣的教學(xué)又如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造和探索？為了改變這一現(xiàn)狀，筆者認(rèn)為教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常纱艘龑?dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成過程產(chǎn)生深度的反思，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己的思維方法去發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而把握問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)認(rèn)知的一般化規(guī)律，讓學(xué)生也能從中體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的艱辛與快樂.

例1：平面內(nèi)共有n條互不平行的直線，且任意三條直線沒有經(jīng)過同一點(diǎn)，求證：交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)f（n）= n（n-1）.

這是一道典型的代數(shù)問題，基本操作可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解決，但是如何發(fā)現(xiàn)f（n）= n（n-1）這一結(jié)論呢？我們又如何對(duì)f（n）的規(guī)律進(jìn)行探索呢？教學(xué)中我們要啟發(fā)學(xué)生從f（1）、f（2）、f（3）等簡(jiǎn)單情形出發(fā)，逐漸探索更加一般化的規(guī)律，進(jìn)而猜想出f（n）= n（n-1）. 這樣的探索過程遵循了從特殊到一般的研究思路，而沒有灌輸現(xiàn)成的證明結(jié)論，這不僅有助于學(xué)生對(duì)問題形成更深層次的理解，也有助于他們采用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)問題展開正確的證明，同時(shí)還將進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生來反思以下問題：（1）這n條直線彼此分割，一共可以形成多少條射線（或線段）？（2）這n條直線可以將整個(gè)平面劃分為多少個(gè)區(qū)域？（3）如果將原題中的直線改換為圓或者是拋物線，結(jié)果又將如何？

創(chuàng)造性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力所在，荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出數(shù)學(xué)教育的核心方法就是學(xué)生的再創(chuàng)造. 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生展開積極的反思工作，讓他們?cè)诜此贾懈形蛑R(shí)的形成過程，我們要鼓勵(lì)學(xué)生多問一些為什么，比如這個(gè)公式或定理從何而來，如何對(duì)其進(jìn)行證明，是否還有類似的問題，這與其他問題是否存在區(qū)別和聯(lián)系等等，這樣的教學(xué)有助于學(xué)生運(yùn)用自己的思維來對(duì)問題展開探索和研究，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造.

在對(duì)知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)的反思過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該是知識(shí)的順應(yīng)與同化的過程，而反思正是這兩個(gè)過程中的核心步驟，學(xué)生將在反思的過程中深刻發(fā)掘知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并由此促進(jìn)知識(shí)的同化與遷移，當(dāng)然這也有助于學(xué)生建立更加合理的知識(shí)框架與體系.

例2：證明cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2n-1）α= （sinα≠0）. 這是一個(gè)較為基礎(chǔ)的三角函數(shù)證明題，學(xué)生很容易通過數(shù)學(xué)歸納法即能證明，當(dāng)然學(xué)生必須要注意到在使用該種方法的第二步：假設(shè)n=k，cosα+cos3α+cos5α+…+cos（2k-1）α= （1式）成立，然后可證明cosα+cos3α+…+cos（2k-1）α+cos（2k+1）α= （2式），用2式減1式可得cos（2k+1）α= [sin2（k+1）α-sin2kα]，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子將成為問題最終解決的關(guān)鍵，對(duì)于這個(gè)式子做出以下探索：分別取k=0，1，2，…，n-1代入該式子，可得cosα= （sin2α-sin0）；cos3α= （sin4α-sin2α）；cos5α= （sin6α-sin4α）；…；cos（2α-1）= [sin2nα-sin2（n-1）α]，將上述各個(gè)式子相加之后可以得到需要求證的結(jié)果. 通過上述一系列的探索和研究發(fā)現(xiàn)，問題的處理不僅可以讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納與拆項(xiàng)相消等方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)式子的證明，還可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到上述兩類方法之間的聯(lián)系. 學(xué)生有必要進(jìn)行反思的是，這類方法還可以在哪些場(chǎng)合下進(jìn)行應(yīng)用，這就是在訓(xùn)練學(xué)生對(duì)方法本質(zhì)的理解，在提升學(xué)生的遷移能力.比如下面幾個(gè)問題，都有類似方法的運(yùn)用：

（1）證明12+22+32+…+n2= n（n+1）·（2n+1）的關(guān)鍵就在于證明n2= n（n+1）·（2n+1）- （n-1）n（2n-1）；

（2）證明sinα+sin2α+sin3α+…+sinnα= （sin ≠0）的關(guān)鍵就是證明sinnα= ·sin ·sin -sin sin .

知識(shí)和方法的遷移是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心所在，“為了遷移而教”也是眾多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)探索中的共識(shí). 在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生在問題處理中反思新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，并探尋如何運(yùn)用舊知識(shí)來理解新知識(shí)，進(jìn)而用新知識(shí)來解決舊問題，這樣的處理可以幫助學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上更加靈活而深刻地理解、掌握新的知識(shí)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的同化過程和遷移訓(xùn)練.

在對(duì)問題解決的反思過程中提升思維的品質(zhì)

反思應(yīng)該是個(gè)體一種積極而主動(dòng)的思維活動(dòng)，在學(xué)習(xí)的過程中，教師要善于啟發(fā)學(xué)生從更加全面的角度來對(duì)問題進(jìn)行考察，這有助于學(xué)生擺脫思維定式的影響，也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)原先思維過程中的不足，這能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)思維過程的完善，并能進(jìn)一步提升思維的嚴(yán)密性. 通過系統(tǒng)化的反思，學(xué)生還將進(jìn)一步探索問題解決的其他途徑，獲取問題解決方法的最優(yōu)化，同時(shí)也將激活自身思維的靈活性和創(chuàng)造性.

例3：已知一條直線與拋物線y2=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），求該直線的解析式.

有學(xué)生在處理時(shí)是這樣進(jìn)行的：假設(shè)直線的解析式為y=kx+1，由y=kx+1，y2=2x可得k2x2+（2k-2）x+1=0，根據(jù)題意該方程只有一個(gè)根，因此Δ=0，可以解出k= ，因此可解得直線方程為y= x+1.

上述分析過程貌似很好地將答案得出，但是進(jìn)一步反思發(fā)現(xiàn)，上述問題分析過程存在三個(gè)不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑海?）設(shè)定直線方程為y=kx+1時(shí)，即已然確定直線的斜率一定存在：（2）忽視了斜率可能等于0的情形；（3）混淆了“相切”和“只有一個(gè)公共點(diǎn)”這兩種不同情形.

通過上述反思，學(xué)生不僅可以發(fā)現(xiàn)他們思維過程中的不足之處，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步完善問題的解決過程，同時(shí)這也將推動(dòng)學(xué)生問題發(fā)現(xiàn)能力的提升，幫助學(xué)生對(duì)思維的嚴(yán)密性和批判性進(jìn)行訓(xùn)練，這也有助于學(xué)生培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)而細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣和研究風(fēng)格.

綜上所述，反思是一種學(xué)生積極而主動(dòng)的學(xué)習(xí)行為，反思的目的不僅僅是讓學(xué)生完善解題過程、實(shí)現(xiàn)問題解決的最優(yōu)化，更重要的目的是拓寬學(xué)生研究問題的視野，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，鍛煉他們思維的靈活性和創(chuàng)造性.