楊耀昇

摘要：數(shù)列在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中處于知識(shí)和方法的匯合點(diǎn)，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧，當(dāng)然數(shù)列求和一直是一個(gè)老話題，似乎不必重提，但總覺得還是有重新研究的必要，下面僅從幾個(gè)案例來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；技巧

一、 幾種常見數(shù)列的和

1+2+3……+n=n（n+1）2

1+3+5+……+（2n-1）=n2

12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）6

13+23+33+……+n3=n（n+1）22

二、 數(shù)列求和的基本方法

1. 錯(cuò)位相減求和法

這種求和法則適合于由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘而形成的新數(shù)列。

例1已知數(shù)列{n2n}（n∈N，且n≥1）試求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

分析：設(shè)an=n2n=n·12n其中{n}為等差數(shù)列，12n為等比數(shù)列，公比為12，利用錯(cuò)位相減法求和。

解析：Sn=1×12+2×122+3×123+……+n×12n

兩端同乘12，得12Sn=1·122+2·123+3·124+4·125+…+n·12n+1

兩式相減得12Sn=12+122+123+124+……12n-n2n+1

于是Sn=2-12n-1-n2n。

說明：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，一般采用錯(cuò)位相減法。

2. 裂項(xiàng)相消求和法

這種求和方法適合于通項(xiàng)可化為兩項(xiàng)（或數(shù)項(xiàng)）差的形式，然互錯(cuò)位相消。

例2求數(shù)列1n+1+n的前n項(xiàng)和。

解：∵1n+1+n=n+1-n（分母有理化，n+1-n=1）

∴12+1+13+2+…+1n+1+n

=（2-1）+（3-2）+…+（n+1-n）

=n+1-1

說明：如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f（n+1）-f（n）的形式，常采用裂項(xiàng)求和的方法。

常出現(xiàn)的數(shù)列形式如：1n（n+k）=1k（1n-1n+k），1n+k+n=1k（n+k-n）等。

3. 分組轉(zhuǎn)化求和法

這種求和法則是把一個(gè)數(shù)列可分解為幾個(gè)特殊數(shù)列的和（或差）的形式，然后分別求解。

例3已知集合A={a|a=2n+9n-4，n∈N+且a<2000}，求A中元素的個(gè)數(shù)，以及這些元素的和。

解：由210=1024，211=2048

知210+9×10-4<2000

211+9×10-4>2000

∴A中有10個(gè)元素，記這些元素的和為S10，其中{2n}為以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，{9n-4}為以5為首項(xiàng)，公差為9的等差數(shù)列（或者說{9n}9為首項(xiàng)，公差為9的等差數(shù)列）。

S10=2+22+23+…+210+9+18+…+90-4×10

=2（210-1）+99×5-40=2501

說明：本題中A是一個(gè)集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒有順序，但在求和時(shí)與10個(gè)元素的順序無關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法對(duì)不同特點(diǎn)的數(shù)列歸類求和。

4. 倒序相加求和法

這種數(shù)列的求和特點(diǎn)，在于數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和均等于首末兩項(xiàng)之和或者倒序后錯(cuò)位相加滿足上述要求。

例4求和Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

解：根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)Cmn=Cn-mn，將Sn倒序?qū)憺镾n=nCnn+（n-1）Cn-1n+…+C1n

已知Sn=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn

以上兩式相加得：

2Sn=n（C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn）=n·2n

∴Sn=n·2n-1

說明：如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

5. 拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法

這種求和法則適合于數(shù)列的通項(xiàng)可拆成兩個(gè)或幾個(gè)特殊數(shù)列的通項(xiàng)式，然后分別解之。

例5求數(shù)列112，314，518，…，（2n-1+12n）的前n項(xiàng)和。

解：Sn=112+314+518+…+（2n-1+12n）

=（1+3+5+…+2n-1）+（12+14+18+…12n）

=（1+2n-1）n2+121-（12）n1-12=n2+1-12n

說明：此數(shù)列可以看作由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得到的一個(gè)新數(shù)列。因此，可將此數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的求和問題。

6. 分解重組求和法

這種求和法則適合于拆項(xiàng)后，得到的兩個(gè)數(shù)列不一定是常見的等差或等比數(shù)列還需要進(jìn)行分類討論。

例6求和：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）（x≠1，y≠1）。

解：（x+1y）+（x2+1y2）+…+（xn+1yn）

=（x+x2+…+xn）+（1y+1y2+…+1yn）

=x（1-xn）1-x+1y（1-1yn）1-1y（∵x≠1，y≠1）

=x（1-xn）1-x+yn-1yn+1-yn

說明：嚴(yán)格地說，數(shù)列x，x2，…，xn不一定為等比數(shù)列，如x=0。只不過x+x2+…+xn=x（1-xn）1-x，當(dāng)x=0時(shí)也成立而已。特別地當(dāng)題目本身沒有事先交代x，y的取值范圍時(shí)，對(duì)x，y是否取1要做討論。