周亞軍

[摘? 要] 教師在解題教學(xué)中重點(diǎn)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，需要我們教師注重解題方向與策略的研究，唯有如此才能幫助學(xué)生的理性思維得到深入而有效的發(fā)展與提升. 本文結(jié)合運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧、數(shù)學(xué)文化等四個(gè)方面的內(nèi)容闡述對(duì)如何提升學(xué)生的解題能力進(jìn)行了深入的探索與思考.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;運(yùn)算能力;思維能力;解題技巧;興趣

跟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)解題是廣大教師一直研究的課題，教師在教學(xué)中應(yīng)注重解題方向與策略的研究并幫助學(xué)生不斷總結(jié)、積累思維方法，使學(xué)生的理性思維逐步得到深化并因此提升分析與解題的能力及創(chuàng)新能力. 本文結(jié)合教學(xué)中的實(shí)際案例與理論探究對(duì)怎樣提升學(xué)生的解題能力進(jìn)行了切合實(shí)際的思考.

培養(yǎng)運(yùn)算能力

1. 應(yīng)試中的運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)解題中最基本的一種能力，運(yùn)算能力訓(xùn)練能幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解以及邏輯能力的提升，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱就是以運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力這三大能力為主線進(jìn)行教育目標(biāo)設(shè)置的.

高考試題中的解析幾何問題尤其能夠考察學(xué)生的運(yùn)算能力，運(yùn)算其實(shí)包含了算理與算法這兩個(gè)層面的內(nèi)容，解決問題所采用的計(jì)算方法是外顯型的，而采取某種算法所憑借的依據(jù)與原因則是本質(zhì)性的.

本題考查的內(nèi)容包含橢圓方程、直線與橢圓位置關(guān)系、待定系數(shù)法求方程等，但其中所蘊(yùn)藏的運(yùn)算卻也是令學(xué)生望而生畏的.

1. 注重積累方法

很多學(xué)生在計(jì)算時(shí)往往不進(jìn)行仔細(xì)的思考和分析，直接就開始機(jī)械般的計(jì)算了，“會(huì)而不對(duì)”或者“對(duì)而不暢”的錯(cuò)誤現(xiàn)象經(jīng)常由此產(chǎn)生，實(shí)際上，學(xué)生很多運(yùn)算錯(cuò)誤都是因?yàn)樗憷砗屯评聿幻鞫斐傻? 現(xiàn)今的高考試題對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的考核已經(jīng)提出了更高的要求，利用定義、平面幾何知識(shí)、數(shù)形結(jié)合、整體代換、合理選用參數(shù)等數(shù)學(xué)思想與基本策略進(jìn)行解題才能簡(jiǎn)化解題過程并提升運(yùn)算能力.

例1：如圖1所示的橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l和x軸的交點(diǎn)為M，MA1∶A1F1=2∶1. （1）求橢圓的方程;（2）若直線l1：x=m（m>1），P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求Q的坐標(biāo)（用m表示）.

很多學(xué)生在解題中運(yùn)用了余弦定理、向量夾角公式來(lái)進(jìn)行求解，解題方法的運(yùn)用不當(dāng)使得計(jì)算量劇增. 因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生進(jìn)行解題方法的梳理與選擇.

注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化的滲透

教師在教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)能夠幫助學(xué)生更好地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用并提升自己的解題能力.

很多學(xué)生對(duì)此題求解時(shí)往往是分類后再進(jìn)行演算，事實(shí)上，聯(lián)想數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想不僅能夠大大減少運(yùn)算量，還能將數(shù)學(xué)思想對(duì)解題的指導(dǎo)作用體現(xiàn)得更加淋漓盡致.

數(shù)學(xué)泰斗陳省身曾說(shuō)過數(shù)學(xué)好玩，當(dāng)真讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)好玩又該如何落實(shí)呢？數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情來(lái)說(shuō)能夠起到積極的影響. 因此，教師在日常解題教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透并將學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情激發(fā)出來(lái).

注重解決問題方法的主動(dòng)探索

解題中的“為什么這么做”往往比最終的結(jié)果與解題方法的直接呈現(xiàn)更為重要，因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生對(duì)問題的分析、判斷、推理、選擇等方法，過程中應(yīng)將一些細(xì)節(jié)都能一一展現(xiàn)：①能展現(xiàn)學(xué)生思維與科學(xué)思維之間的橋梁并促成學(xué)生與教師產(chǎn)生共鳴;②能展現(xiàn)探索與發(fā)現(xiàn)的過程并因此促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)略思維方向、方式、策略等的轉(zhuǎn)變.

例3：求證：正四棱錐的底面上任意一點(diǎn)至其各個(gè)側(cè)面距離的總和為固定的數(shù)值.

分析：嘗試作點(diǎn)P至各側(cè)面的距離并證明，因?yàn)镻的任意性導(dǎo)致其至各側(cè)面之間的距離難以確定，嘗試失敗.

即使能將P至各側(cè)面的距離勉強(qiáng)作出，但因距離長(zhǎng)度無(wú)法計(jì)算也難以對(duì)命題進(jìn)行證明.

教師適時(shí)在學(xué)生探索無(wú)門中提問：著眼于該點(diǎn)至各側(cè)面距離之“和”但不作距離能否突破？

學(xué)生如果還是能尋得解題突破，教師則可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原命題進(jìn)行降維思考：降維思考后會(huì)是怎樣的命題？怎樣證明？你從解法中可有啟示？

重視糾錯(cuò)環(huán)節(jié)

教師在教學(xué)中因遵循的要求在新課程改革的理念下具體體現(xiàn)為：①應(yīng)將學(xué)生所犯的錯(cuò)誤視作其認(rèn)知與思維發(fā)展必須經(jīng)歷的過程并對(duì)其進(jìn)行深入的研究;②提倡學(xué)生自主檢查與糾正錯(cuò)誤并引導(dǎo)其探索與實(shí)踐;③從學(xué)生所犯錯(cuò)誤出發(fā)促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)要素與規(guī)律的進(jìn)一步理解.

筆者以為設(shè)置解題陷阱并因此促使學(xué)生暴露典型錯(cuò)誤是引導(dǎo)學(xué)生積極探究正確解題途徑的有效手段，也是幫助學(xué)生徹底糾正錯(cuò)誤的根本舉措. 學(xué)生在解決含參數(shù)的相關(guān)問題時(shí)往往會(huì)在消元的過程中將限制條件的挖掘拋諸腦后，因此，在圓錐曲線的教學(xué)中可以為學(xué)生設(shè)置這樣的問題.

這一解法看似理由充分，但卻是錯(cuò)的. 學(xué)生將方程（？鄢）有實(shí)數(shù)根與聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解等同起來(lái)進(jìn)行解題已經(jīng)陷入了教師預(yù)設(shè)的陷阱.

為了幫助學(xué)生正確理解題意并激發(fā)他們的求知欲望，筆者將問題轉(zhuǎn)化成了直觀的幾何來(lái)引導(dǎo)學(xué)生積極思考：若p→+∞，圓的半徑不變，則該圓的圓心將沿著x軸往正方向移動(dòng)并至無(wú)窮遠(yuǎn)，拋物線的開口也會(huì)隨之變得越來(lái)越大，圓與拋物線總會(huì)在此動(dòng)態(tài)變化中不存在公共點(diǎn).

課堂吸引力微弱、教學(xué)時(shí)效性低下的“老套路”“老現(xiàn)象”其實(shí)仍然存在于當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中. 本文是筆者結(jié)合兩個(gè)實(shí)際案例以及日常教學(xué)的一點(diǎn)體會(huì)對(duì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的相應(yīng)思考. 上述四個(gè)方面的內(nèi)容是教師在日常的解題教學(xué)中應(yīng)該深入鉆研的，遇到一個(gè)問題就只解決這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是收效甚微的，很多時(shí)候，也會(huì)讓學(xué)生陷入“題海戰(zhàn)”的境地而倍感壓抑，學(xué)生解題能力的提高又怎能實(shí)現(xiàn)呢？蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨基曾經(jīng)在數(shù)學(xué)解題能力的研究中明確提出了以下的觀點(diǎn)：情感、意志、性格以及態(tài)度等非智力因素也會(huì)對(duì)解題能力的形成與發(fā)展產(chǎn)生一定的制約作用，學(xué)生應(yīng)該實(shí)現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)而長(zhǎng)遠(yuǎn)的奮斗目標(biāo)正是解題能力的有力提升. 綜合基本運(yùn)算能力、常見解題技巧、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)解題教學(xué)表里兼顧，往往能令學(xué)生運(yùn)算能力與解題水平不斷提升的同時(shí)加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)與情感，如此形神兼?zhèn)涞臄?shù)學(xué)教學(xué)以牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)為前提并連結(jié)基本技能這一實(shí)戰(zhàn)型的紐帶，往往能令解題能力提升這一重要的教學(xué)目標(biāo)得以順利實(shí)現(xiàn).