申貝貝

【摘要】在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布，經(jīng)過這么多年人們努力地研究和探索，終于研究出了另外一個(gè)重要的工具——特征函數(shù).特征函數(shù)可以解決很多概率論當(dāng)中的問題，可以很好地去尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布，同時(shí)還能夠?qū)⒕矸e運(yùn)算換算成乘法運(yùn)算.本文著重介紹了特征函數(shù)的基本概念、主要的性質(zhì)以及一些基本的應(yīng)用，同時(shí)還根據(jù)實(shí)例去介紹特征函數(shù)在求隨機(jī)變量獨(dú)立和的分布以及研究極限定理方面的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】特征函數(shù)；性質(zhì)；應(yīng)用

在一般的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到隨機(jī)變量這個(gè)重要的內(nèi)容.隨機(jī)變量的規(guī)律是根據(jù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)來統(tǒng)計(jì)的，在使用的過程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)分布密度或者是分布函數(shù)使用不便等問題，例如，在實(shí)際的操作過程中用卷積求分布密度和獨(dú)立隨機(jī)變量過于復(fù)雜和煩瑣.本文主要對(duì)特征函數(shù)的定義以及性質(zhì)進(jìn)行分析，利用定義和性質(zhì)來對(duì)特征函數(shù)使用方法進(jìn)行更便捷的介紹.對(duì)特征函數(shù)的性質(zhì)做進(jìn)一步的分析，在基本定義和性質(zhì)的引導(dǎo)下，對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行探討分析.

一、特征函數(shù)的定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱

φ（t）=Ε（eitX），∞

為X的特征函數(shù).

因?yàn)閨eitX|=1，所以Ε（eitX）總是存在的，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的.

當(dāng)離散隨機(jī)變量X的分布列為pk=P（X=xk），k=1，2，3，…，則X的特征函數(shù)為

φ（t）=∑+∞k=1eitxkpk，∞

當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p（x），則X的特征函數(shù)為

φ（t）=∫+∞∞eitxkp（x）dx，∞

其實(shí)在特征函數(shù)里，隨機(jī)變量是一個(gè)很重要的方法，在分布函數(shù)和密度函數(shù)里，特征函數(shù)是很好的補(bǔ)充和加強(qiáng)，從某種程度上來說，特征函數(shù)的應(yīng)用要更加廣泛一些，讓證明推理的過程簡潔化，這樣一個(gè)工具可以用來證明中心極限定理，而且非常有分量.結(jié)合上面的敘述我們可以得出這樣的結(jié)論，就是在學(xué)習(xí)的時(shí)候，除了要把分布函數(shù)的知識(shí)掌握到位，還要了解特征函數(shù)，在解決問題過程中實(shí)現(xiàn)兩者的互補(bǔ)，在互相促進(jìn)當(dāng)中將問題解決.

二、特征函數(shù)的主要性質(zhì)

特征函數(shù)主要具有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：如果兩個(gè)隨機(jī)的變量擁有統(tǒng)一的特征函數(shù)，那么它們就會(huì)具有相同的概率分布；相反，假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)的變量擁有一樣的概率分布，那么它們的特征函數(shù)很顯然也相同.因此，我們可以得出獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)其實(shí)就相當(dāng)于每個(gè)隨機(jī)變量特征函數(shù)的乘積.

主要性質(zhì)：兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于它們的特征函數(shù)之積.

利用歸納法，不難把上述性質(zhì)推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的場合，若ξ1，ξ2，…，ξn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，相應(yīng)的特征函數(shù)為Φ1（t），Φ2（t），…，Φn（t），則ξ=∑ni=1ξi的特征函數(shù)為Φ（t）=∏ni=1Φi（t）.

由于這個(gè)性質(zhì)，獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)可以方便地用各個(gè)特征函數(shù)相乘來求得，對(duì)于獨(dú)立和分布函數(shù)來說，必須要進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算才能計(jì)算出來.相對(duì)來說，特征函數(shù)在進(jìn)行問題處理的時(shí)候就？緣帽冉戲獎(jiǎng)？.在概率論的古典問題中，占據(jù)重要位置的就是獨(dú)立和問題，解決這些問題主要是依靠引進(jìn)特征函數(shù).

特征函數(shù)里最重要的知識(shí)點(diǎn)就是概率論，其不僅可以研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，還可以很客觀地描述分布函數(shù)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.在探討隨機(jī)變量的時(shí)候引入分布函數(shù)，這就像在隨機(jī)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)分析之間搭建了一座橋梁，數(shù)學(xué)分析這個(gè)工具需要通過特征函數(shù)引進(jìn)才能更好地進(jìn)入到隨機(jī)現(xiàn)象的研究領(lǐng)域，而特征函數(shù)在這種情況之下就會(huì)得到飛速的發(fā)展，以便于解決實(shí)際的各種現(xiàn)象問題.

對(duì)于特征函數(shù)來說，主要是建立在分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過分析分布函數(shù)來得出相應(yīng)的隨機(jī)變量問題，包括其性質(zhì)以及數(shù)字特征等，但是針對(duì)那些個(gè)性化的問題來說，如果只是依靠分布函數(shù)與密度函數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.而特征函數(shù)就可以去解決那些小眾的問題、個(gè)性化的問題，畢竟分布函數(shù)跟特征函數(shù)都是唯一的存在，其過程也比較簡單.在概率論中，研究隨機(jī)變量的時(shí)候，特征函數(shù)是一種常見的工具，主要是由其特性決定的，每個(gè)隨機(jī)變量都存在特征函數(shù).

在概率發(fā)展過程中，獨(dú)立隨機(jī)變量的地位顯得比較重要，要得出獨(dú)立隨機(jī)變量的和，就要把它的分布函數(shù)計(jì)算出來，獨(dú)立隨機(jī)變量的結(jié)果來自于各個(gè)隨機(jī)變量分布律的卷積，在計(jì)算的時(shí)候并不簡單.與此相比，獨(dú)立隨機(jī)變量，包括特征函數(shù)等，都是它的各被加項(xiàng)的特征函數(shù)的乘積，這樣的計(jì)算難度不大.因此，當(dāng)特征函數(shù)引進(jìn)之后，古典極限問題就能得到有效的解決.

三、特征函數(shù)的主要應(yīng)用

眾所周知，對(duì)于特征函數(shù)來說，其實(shí)際背景比較廣泛，在生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通過特征函數(shù)可以描述很多的隨機(jī)變量概率.例如，同一個(gè)生物體的各種指標(biāo)、體重和身高等；某一個(gè)區(qū)域內(nèi)一年的降水量是多少，與同期進(jìn)行比較；假設(shè)生產(chǎn)條件不會(huì)發(fā)生變化，產(chǎn)品的一些長度、寬度等指標(biāo)等.通常情況下，假如很多獨(dú)立隨機(jī)因素影響到一個(gè)量的情況下，就可以認(rèn)定這個(gè)量具有特征函數(shù).站在理論的角度來論述，特征函數(shù)的性質(zhì)比較良好，運(yùn)用特征函數(shù)可以近似一些概率的分布，像種子的質(zhì)量，同一個(gè)物體的測量誤差等.

1.分布律與特征函數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，當(dāng)求出了隨機(jī)變量的特征函數(shù)，便可知其分布律，由特征函數(shù)的某些性質(zhì)，可以推出分布律的某些性質(zhì).不僅如此，在分布律的某種收斂意義下的極限分布與特征函數(shù)之間也存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，由特征函數(shù)的極限函數(shù)有時(shí)可以推知極限分布律，從而推知隨機(jī)變量序列的極限分布.

2.特征函數(shù)是一種有界連續(xù)函數(shù)，比分布函數(shù)及分布律更易于應(yīng)用分析的工具.

3.獨(dú)立隨機(jī)變量，特別是獨(dú)立隨機(jī)變量和以及有關(guān)的問題在概率的發(fā)展中具有重要的地位，要研究獨(dú)立隨機(jī)變量和，就要求出它的分布函數(shù)，而獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布律是各隨機(jī)變量分布律的卷積，計(jì)算起來很復(fù)雜，但獨(dú)立隨機(jī)變量和的特征函數(shù)等于它的各被加項(xiàng)的特征函數(shù)的乘積，計(jì)算和研究都很方便.這就是為什么古典極限問題能在引進(jìn)特征函數(shù)之后很快得到解決的原因.

四、特征函數(shù)與分布函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)

我們在前文分析了特征函數(shù)的含義，對(duì)于隨機(jī)變量來說，其特征函數(shù)主要是由分布函數(shù)來確定，與之相反，也能夠證明由特征函數(shù)可唯一地確定它的分布函數(shù)，在這樣的基礎(chǔ)上，特征函數(shù)變成了一種數(shù)學(xué)工具，通過這個(gè)數(shù)學(xué)工具刻畫隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律，通過特征函數(shù)來得出分布函數(shù)，就是我們所說的“逆轉(zhuǎn)公式”，也可以叫作勒維定理.

勒維定理（逆轉(zhuǎn)公式）：設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)為F（x），特征函數(shù)為Φ（t），又x1與x2是F（x）的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)（∞

F（x2）-F（x1）=limT→∞12π∫T-Te-itx1-e-itx2itΦ（t）dt.

其中，當(dāng)t=0時(shí)，按連續(xù)性延拓定義：

e-itx1-e-itx2it=x2-x1.

唯一性定理：隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定.

五、結(jié)論

隨機(jī)變量的分布函數(shù)完全描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在有些問題上，如果用分布函數(shù)來解決并不容易，因此我們把Fourier變換引入概率中，進(jìn)而產(chǎn)生了特征函數(shù)，利用特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可以簡化許多隨機(jī)變量的研究工作.特征函數(shù)既能完全確定分布函數(shù)，又在處理獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布及計(jì)算數(shù)字特征等方面比分布函數(shù)更為方便，這使得有必要進(jìn)一步討論特征函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用.特征函數(shù)雖不如分布函數(shù)直觀，卻有著更好的分析性質(zhì)，而且能夠完全決定分布函數(shù)，與分布函數(shù)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在許多方面，用特征函數(shù)比用分布函數(shù)做隨機(jī)變量的研究工具更方便.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李建軍.利用特征函數(shù)推導(dǎo)卡方分布隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù)以及近似表達(dá)式[J].中國科技信息，2007（6）：275.

[2]于晏悅.關(guān)于一個(gè)奇異積分方程的解的討論[A].數(shù)學(xué)·物理·力學(xué)·高新技術(shù)研究進(jìn)展（一九九六·第六期）——中國數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究會(huì)第6屆學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集[C].1996.

[3]張宇宙，高紅偉，王倩，代業(yè)明.具有完美信息的有限擴(kuò)展型合作對(duì)策特征函數(shù)的算法[A].中國運(yùn)籌學(xué)會(huì)第八屆學(xué)術(shù)交流會(huì)論文集[C].2006.