曾主燕

【摘要】“數(shù)學思想”正式作為《數(shù)學課程標準（2011版）》的基本目標之一，被廣大數(shù)學教育工作者所關(guān)注。但數(shù)學課程所蘊含的的數(shù)學思想有哪些？哪些數(shù)學思想更適合在小學階段的學習？在課堂教學上如何向?qū)W生滲透數(shù)學思想，培養(yǎng)并發(fā)展學生的數(shù)學思維？這些問題都是我們必須了解、認識與解決的，并且具有一定的研究價值。本文將以具體的實例（北師大版五年級上冊《分數(shù)的再認識》），就以上問題進行一一闡述。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學思想 滲透 發(fā)展 數(shù)學思維

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）35-0115-02

引言

數(shù)學教育家米山國藏曾說：“學生所學的數(shù)學知識，在進入社會后幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數(shù)學，通常在走出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學思想和方法等隨時地發(fā)生作用，使他們受益終身”?！稊?shù)學課程標準（2011版）》在“總體目標”中明確指出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。這說明“數(shù)學思想”在《標準》中不僅是課程的一個重要內(nèi)容，也是課程的基本目標之一。顧沛教授在《義務教育數(shù)學新課標的理念及案例解讀》中也指出“數(shù)學思想是數(shù)學教學的核心與精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學的主線”。由此可見，富有思想的課堂是學生終生學習和發(fā)展的堅實基礎(chǔ)，因此，教師在課堂教學中滲透數(shù)學思想，發(fā)展學生數(shù)學思維顯得尤為重要。

一、挖掘知識背后的數(shù)學思想

數(shù)學概念、規(guī)律、性質(zhì)、法則、公式等都比較明顯地出現(xiàn)在教材內(nèi)容或教學用書中，這些都是“有形”的知識，是我們?nèi)庋勰軌蚩吹降?，而?shù)學思想則是隱藏在這些知識的背后，它是“無形”的知識，需要我們教師將其挖掘出來，使其顯性、明朗、清晰，并能行之有效地滲透到數(shù)學課堂教學過程中。這就需要我們要在理解課標的基礎(chǔ)上，全面、系統(tǒng)地把握教材的編寫意圖，深刻挖掘隱藏在知識背后的數(shù)學思想。

1. 了解數(shù)學思想有哪些？

顧教授在《義務教育數(shù)學新課標的理念及案例解讀》中明確指出數(shù)學的基本思想主要可以有一下這四大類：數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學模型的思想、數(shù)學審美的思想。

由這些數(shù)學的基本思想演變、派生、發(fā)展出來的數(shù)學思想還有很多。例如由“數(shù)學抽象的思想”派生出來的：分類的思想、集合的思想、“變中有不變”的思想、符號表示的思想、對應的思想、有限與無限的思想等等；由“數(shù)學推理的思想”派生出來的：歸納的思想、演繹的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、公理化思想、聯(lián)想類比的思想、逐步逼近的思想、運籌的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等等；由“數(shù)學模型的思想”派生出來的：簡化的思想、量化的思想、優(yōu)化的思想、方程的思想、函數(shù)的思想、統(tǒng)計的思想、隨機的思想等等；由“數(shù)學審美的思想”派生出來的：簡潔的思想、對稱的思想、統(tǒng)一的思想、和諧的思想、以簡馭繁的思想、“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想等等。

2. 了解小學階段最為常見的數(shù)學思想有哪些？

“數(shù)學思想”眾多，在小學階段最為常見的數(shù)學思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、符號化思想、分類思想、對應思想、歸納思想、演繹思想、類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、模型思想、方程思想、代換思想等。其中，“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想在小學階段的數(shù)學學習中尤為突出。

“數(shù)”和“形”是數(shù)學中最基本的兩個概念，數(shù)學家華羅庚先生說“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。因為小學生主要以直觀的形象思維為主，所以“數(shù)形結(jié)合思想”特別適合教師在課堂教學中去呈現(xiàn)、去滲透，并使其貫穿于整個小學數(shù)學知識體系中。例如：在“數(shù)與代數(shù)”中，教師借助小棒圖和計數(shù)器認識100以內(nèi)、1000以內(nèi)和10000以內(nèi)的數(shù)，理解相同數(shù)位上的數(shù)相加減、滿十進一和退一作十的道理。在“空間與圖形”中，以數(shù)助形，借助數(shù)的知識利用數(shù)量關(guān)系進行長方形、正方形周長、面積計算、圓的特征、圖形縮放等的研究。在“解決問題”中，借助圖形、線段圖或表格理解兩個數(shù)相差的關(guān)系、幫助找到“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”或“求比一個數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)”的解題策略。在“統(tǒng)計與概率”中，通過圖形演示進行“移多補少”求得平均數(shù)的過程來理解平均數(shù)的意義等。

3. 分析教材，挖掘教學內(nèi)容的數(shù)學思想

教材是按照學生的認知特點和知識發(fā)展系統(tǒng)編排的，數(shù)學思想則是采用蘊涵的方式融于數(shù)學知識體系當中，因此，數(shù)學思想的教學是零散、不系統(tǒng)的。這就要求教師在課前要考慮學生的認知水平和教學內(nèi)容在整個知識體系的地位、作用，分析并挖掘教學內(nèi)容所隱藏的數(shù)學思想。

如：分數(shù)的認識是“數(shù)與代數(shù)”中的一個重要內(nèi)容，而北師大版五年級上冊的《分數(shù)的再認識》不是初步認識整體“1”，而是對整體“1”的進一步認識。是讓學生在具體的情境中，通過操作活動，體驗到“整體不同，相同分數(shù)所表示的具體數(shù)量也不相同”，進而感知分數(shù)與其具體數(shù)量之間的對應關(guān)系，獲得對分數(shù)的“整體”與“部分”理解，為進一步學習分數(shù)，運用分數(shù)知識解決實際問題打基礎(chǔ)。而在這整個過程中就隱藏了數(shù)形結(jié)合的思想、演繹與歸納的思想、分類的思想、符號表示的思想、對應的思想等。

4. 分析學生，選擇適合在課堂教學中滲透的數(shù)學思想

小學生的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡，但他們的抽象邏輯思維在很大程度上仍是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，具有具體形象性。

《分數(shù)的再認識》是北師大版五年級的教學內(nèi)容，五年級的學生已初步形成了一定的學習態(tài)度，隨著主體意識的覺醒，自我意識、自我主張、自我控制能力地進一步加強，觀察能力、想象能力、動手操作能力、分析理解能力、求知的欲望等也在進一步增強。根據(jù)學生的這些認知特點，結(jié)合教材編排的具體教學內(nèi)容，確定在教學《分數(shù)的再認識》的過程當中，教師可重點選擇 “數(shù)形結(jié)合的思想、演繹與歸納的思想、分類的思想”對學生進行滲透，更好地促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

二、制定有效的、富有數(shù)學思想的教學案

詳實、有效的教學案是教師順利開展課堂教學的有力保障，教師要在課堂中向?qū)W生滲透相關(guān)的數(shù)學思想，有意識地培養(yǎng)并發(fā)展學生的數(shù)學思維。

下面，我以北師大版五年級上冊的《分數(shù)的再認識》一課為例，談一些具體的做法：

1. 在教學目標中，體現(xiàn)數(shù)學思想

“教學目標”的制定是課堂教學的前提，是實施教學的重要環(huán)節(jié)之一。一節(jié)課的成敗取決于教學目標的確定是否全面、準確、具體并符合實際，而在目標中體現(xiàn)數(shù)學思想，對于教師是否能在傳授知識的過程對學生進行相關(guān)的數(shù)學思想的滲透，就起了決定性的作用。因此，我查閱相關(guān)資料了解教材的地位與作用、分析學情，制定了以下教學目標：

◇ 在具體的情境中，感知“整體”與“部分”的關(guān)系，進一步認識分數(shù)，發(fā)展數(shù)感。

◇ 引導學生經(jīng)歷觀察與實驗、猜想與推理、概括與抽象等一系列具體的活動過程，掌握知識，訓練技能，獲得歸納、演繹、數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學思想的體驗，積累一定的數(shù)學活動經(jīng)驗。

◇ 體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學的價值，樹立學好數(shù)學的信心，培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度。

在這個教學目標中，不僅確立了知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度這四個方面的目標，也明確了本課應向?qū)W生滲透的、學生應該感悟的數(shù)學思想有哪些，為課堂教學的實施起到了指向性的作用。

2. 在教學過程中，滲透數(shù)學思想

教學過程即課堂教學活動的程序，只有重視教學過程，把教學過程設計得具體、科學，學生才能夠自主學習，交流探究出一個知識結(jié)論。這樣，學生在獲得知識結(jié)論的同時，對數(shù)學思想的感悟才準確、深刻，學生的數(shù)學思維才能得以發(fā)展。例如，在解決“由部分還原整體”這一知識點時，我是這樣設計的：

◇ 出示題目：一個圖形的 是 ，請擺出這個圖形。

◇ 小組合作，在白板上擺圖形。

◇ 學生展示作品并解釋。

◇ 逆向思維訓練：

一根圓木的是 ， 這根圓木是下面三根中的哪一根？

師：如果選擇第二幅圖，那題目應該如何修改？

這一環(huán)節(jié)的設計是已知部分求整體，進一步加深學生對分數(shù)中“整體”與“部分”關(guān)系的理解，對學生進行了“逆向思維”訓練，滲透了合情推理、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，提高了學生的數(shù)學思維能力。

3. 在練習反饋中，凸顯數(shù)學思想

課堂練習是學生反饋、調(diào)控教學過程的實踐活動，它的目的不僅僅在于幫助學生鞏固所學數(shù)學知識，提高運用數(shù)學知識的能力，更應能在此過程中有效地滲透相關(guān)的數(shù)學思想，挖掘?qū)W習的潛力，成為激發(fā)學生前進的動力。因此，對于本課的練習，我是這樣設計的：

◇ 折一折。折出下面圖形的，它們的大小一樣嗎？

◇ 辯一辯。

教師講述“狐貍分蛋糕”的故事。（如右圖）

思考：這樣分，分得公平嗎？請說明理由。

要求：學生一邊聽故事，一邊利用正方形紙片

或在練習本上，折（畫）簡單的示意圖表示分蛋糕的過程。

這兩題的設計意圖是學生通過動手“折一折”和畫簡單的示意圖幫助理解，體驗到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想在解決問題中的價值，再次突出本課的教學重點。

三、結(jié)語

富有靈魂的數(shù)學課堂不僅教給學生知識，而且注重數(shù)學思想的滲透，學生只有插上“數(shù)學思想”的翅膀，分析、解決問題的綜合能力才能大大提高，學到的才是真正的數(shù)學，才有可能自由翱翔于——“名師指路，不如自學自悟”的理想藍天里。為此，教師在課堂教學中，既要重視學生對知識獲得的過程，也要重視學生數(shù)學思維的發(fā)展，適當、及時地滲透數(shù)學思想，全面提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部指定.《數(shù)學課程標準（2011版）》.北京師范大學出版社[S].北京.2012.1.

[2]楊豫暉.《義務教育數(shù)學課程標準（2011）版解讀——小學數(shù)學》.教育科學出版社[S].北京.2012.3.