惠志昊

摘要：近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。近世代數(shù)課程既是本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課程，也是數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生的重要基礎(chǔ)課程。這門課程概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有較大的困難，教師教學(xué)效果也不太理想。近世代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面的改革探索有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)該門課程。要改革課程內(nèi)容，構(gòu)建新的課程體系；要探索多元化的教學(xué)方法：要探索過程化多維考核評(píng)價(jià)方式。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法；考核方式

近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是以代數(shù)系統(tǒng)為主要研究對(duì)象的一門學(xué)科。近世代數(shù)中群、環(huán)、域的基本理論和思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力有重要的作用，也為其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展與實(shí)際的應(yīng)用需要，近世代數(shù)的基本理論和基本思想方法已經(jīng)逐漸滲透到科學(xué)領(lǐng)域的諸多方面。近世代數(shù)課程不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課程，而且為現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)人員奠定必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因此，近世代數(shù)中的基本代數(shù)思想無論是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的數(shù)學(xué)課程，還是對(duì)從事其他學(xué)科的研究工作都有重要的作用。

一、近世代數(shù)課程面臨的現(xiàn)狀

近世代數(shù)的研究對(duì)象是帶有運(yùn)算的集合，它把集合中運(yùn)算的共同特點(diǎn)抽象出來，作為不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究。這門課程主要介紹群、環(huán)、域的基本概念和基本理論，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力。然而，近世代數(shù)課程概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生和研究生在學(xué)習(xí)這門課程時(shí)都經(jīng)常會(huì)感到生澀難懂、枯燥乏味，這直接影響了學(xué)生對(duì)近世代數(shù)課程以及后繼相關(guān)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。

近年，國(guó)內(nèi)很多學(xué)者及教育專家對(duì)近世代數(shù)課程的教學(xué)越來越重視。為此，筆者針對(duì)近世代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容比較抽象、學(xué)生學(xué)習(xí)起來相對(duì)困難的實(shí)際問題，逐步對(duì)近世代數(shù)課程在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和考核方式方面進(jìn)行教學(xué)改革的實(shí)踐與探索，且取得了較好的效果。

二、近世代數(shù)課程教學(xué)改革的思考

近世代數(shù)因高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性使初學(xué)者“望而生畏”，從而很難掌握運(yùn)用近世代數(shù)的基本理論和基本思想方法來處理或解決實(shí)際問題的能力，進(jìn)而直接影響了后繼課程的學(xué)習(xí)熱情，也給數(shù)學(xué)任課教師的教育教學(xué)工作帶來了嚴(yán)峻的考驗(yàn)和挑戰(zhàn)。另外，通過對(duì)往屆學(xué)生的問卷調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生在該課程考試結(jié)束后，對(duì)于群、環(huán)、域等方面所學(xué)的相關(guān)知識(shí)幾乎沒有深刻的印象，更無從談起理解和掌握近世代數(shù)課程基本的精髓和實(shí)質(zhì)了。因此，作為地方本科高校數(shù)學(xué)教師，如何根據(jù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)素養(yǎng)來組織教學(xué)工作，是一個(gè)重要的課題。

（一）改革課程內(nèi)容，構(gòu)建新的課程體系

首先，高校要選取適合數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)特點(diǎn)和本科學(xué)生的教材。根據(jù)該課程教學(xué)大綱要求，課程組專家通過對(duì)國(guó)內(nèi)優(yōu)秀近世代數(shù)教材的調(diào)查，最后確定采用張禾瑞編著的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》（修訂版）。但是該教材部分內(nèi)容比較簡(jiǎn)潔抽象，例題較少，課后練習(xí)題較為容易，并且部分例題和習(xí)題與高等代數(shù)等相關(guān)基礎(chǔ)課程的聯(lián)系不夠緊密。所以，我們又選定兩部參考教材，分別是高等教育出版社在1999年出版的劉紹學(xué)主編的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》和2006出版的胡冠章、王殿軍主編的《應(yīng)用近世代數(shù)》。然后，我們從中挑選部分適合本科生認(rèn)知并且容易理解的例題和習(xí)題作為補(bǔ)充，從而使得教學(xué)內(nèi)容更加豐富。另外，我們還努力開發(fā)和利用優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)課程資源，進(jìn)一步拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間。

近世代數(shù)以代數(shù)系統(tǒng)為主要研究目標(biāo)，教材編寫時(shí)把集合中元素運(yùn)算的規(guī)律和特點(diǎn)抽象作為不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)來研究，且將較為熟悉的函數(shù)、矩陣、多項(xiàng)式、變換等作為數(shù)學(xué)對(duì)象去研究，這樣就把數(shù)學(xué)知識(shí)的背景和來源掩蓋了，致使課程內(nèi)容生澀難懂，概念背景匱乏并且缺乏與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。為此，我們?cè)诰帉懼v義時(shí)，要抓住時(shí)代發(fā)展的脈搏，加強(qiáng)近世代數(shù)中相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用性，并增加大量的應(yīng)用實(shí)例，拓展近世代數(shù)知識(shí)的應(yīng)用性。比如，在編寫域相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以適當(dāng)增加有限域、正規(guī)擴(kuò)域等內(nèi)容，它們對(duì)計(jì)算理論、信息安全等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。還可以借助多媒體向?qū)W生介紹近世代數(shù)在物理理論、分子化學(xué)、編碼等領(lǐng)域的應(yīng)用，讓學(xué)生看到該理論巨大的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)對(duì)象的實(shí)際情況，理順課程體系，注意將講授的內(nèi)容與高等代數(shù)之間的聯(lián)系理清楚，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，充分利用學(xué)生已有的代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，去構(gòu)建近世代數(shù)課程中的新概念及其性質(zhì)。比如，在編寫整環(huán)中因子分解講義內(nèi)容時(shí)，可以把整除、唯一分解、最大公因子和不可約多項(xiàng)式等結(jié)論看作高等代數(shù)課程中類似結(jié)論的推廣及應(yīng)用，從而清晰地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到近世代數(shù)課程是高等代數(shù)的后繼課程，也是中學(xué)代數(shù)的深化與提高，同時(shí)還可以通過對(duì)經(jīng)典定理的嚴(yán)格證明的訓(xùn)練，進(jìn)一步提升學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力。另外，我們通過介紹整數(shù)的乘除理論、同余理論等內(nèi)容，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)初等數(shù)論課程的新概念時(shí)不至于感覺太突然和生疏，并且對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐也說明了這些數(shù)論知識(shí)對(duì)近世代數(shù)課程的學(xué)習(xí)都起到了非常重要的作用。

（二）探索多元化的教學(xué)方法

在近世代數(shù)課程教學(xué)中，我們以傳統(tǒng)教學(xué)方法為基礎(chǔ)積極探索多種教學(xué)方法，并用來調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在近世代數(shù)課程的教學(xué)中，教師可以通過講解數(shù)學(xué)史來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。近世代數(shù)課程的抽象程度較高，又和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較少，因此，教師在課堂教學(xué)過程中要注意概念引入的自然性，并且要加以深入的解釋，讓學(xué)生知其然并知其所以然。教師還可以適時(shí)地穿插講述代數(shù)學(xué)科的歷史淵源和理論發(fā)展的過程以及和其他學(xué)科的聯(lián)系。這樣不但可以拓寬學(xué)生的學(xué)科認(rèn)識(shí)，而且還培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和激情。比如，教師可以適當(dāng)?shù)剡x取伽羅華、凱萊、戴德金和龐加萊等數(shù)學(xué)家的逸事、代數(shù)學(xué)界最近的研究現(xiàn)狀及所發(fā)生的一些事情講給學(xué)生，以激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣與熱情。

在近世代數(shù)課程教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生分組學(xué)習(xí)與討論來促進(jìn)學(xué)生積極思考，增強(qiáng)教學(xué)的吸引力，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高教學(xué)效果。比如，在學(xué)習(xí)群的概念時(shí)，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行合適的分組學(xué)習(xí)與討論，這樣更容易拓寬學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行更多思考。在學(xué)生討論結(jié)束后通過隨機(jī)抽查的方式來調(diào)動(dòng)每個(gè)學(xué)生的積極性。

在近世代數(shù)課程教學(xué)中，教師還可以通過合理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。近世代數(shù)是高等代數(shù)的延伸，其中有很多知識(shí)是高等代數(shù)的平行推廣，故把近世代數(shù)課程的講授與高等代數(shù)課程緊密聯(lián)系起來可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。事實(shí)上，近世代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何和高等代數(shù)等課程有著緊密的聯(lián)系，在近世代數(shù)課程教學(xué)過程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生用已有的代數(shù)知識(shí)去構(gòu)建新的代數(shù)知識(shí)體系，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)近世代數(shù)課程的過程中深入理解其知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)學(xué)科素養(yǎng)，幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)的難度。比如，在列舉群的實(shí)例時(shí)，除常見的數(shù)域外，教師還可列舉與數(shù)學(xué)分析、解析幾何和高等代數(shù)課程相關(guān)的實(shí)例。又如在引入同構(gòu)概念之前，教師可以讓學(xué)生回憶三角形全等的概念和判定方法，實(shí)際上，三角形全等是建立兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)與邊的一一對(duì)應(yīng)，并且還保持它們兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)算結(jié)果。這樣兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)本質(zhì)上就是它們之間可以建立一一映射，并且該映射保持這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的所有運(yùn)算，從而讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到他們已經(jīng)在無意中接觸過比較抽象的代數(shù)知識(shí)了。

在近世代數(shù)課程教學(xué)中，教師還可以根據(jù)課程內(nèi)容合理利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。近世代數(shù)課程的教學(xué)主要是講解基本理論的證明，內(nèi)容比較抽象且講解方式比較單一，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)感到冗繁枯燥。因此，我們根據(jù)課程內(nèi)容特點(diǎn)可適當(dāng)?shù)乩糜?jì)算機(jī)輔助教學(xué)，如運(yùn)用GAP、Magma等近世代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件。另外，我們還可以搭建網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)積極促進(jìn)第二課堂的開展，如正在籌建的“平院數(shù)學(xué)微助手（第二課堂）”，秉承堅(jiān)持資源共享、共同進(jìn)步的原則，主要用來推送經(jīng)典本科數(shù)學(xué)類網(wǎng)絡(luò)課程與學(xué)習(xí)資料。

（三）過程化多維考核評(píng)價(jià)方式的探索

課程考核是教育評(píng)價(jià)體系的核心，是提高教學(xué)質(zhì)量、檢驗(yàn)教學(xué)效果和培養(yǎng)合格人才的重要手段。課程考核不但檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度、學(xué)習(xí)態(tài)度，而且還檢驗(yàn)教師的教學(xué)水平、教學(xué)態(tài)度，同時(shí)還是學(xué)校教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控體系的重要組成部分。

在2012年之前，學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)近世代數(shù)課程最終的綜合成績(jī)由平時(shí)成績(jī)（考勤、提問、平時(shí)作業(yè)）和期末考試卷面成績(jī)兩部分構(gòu)成，其中期末考試卷面成績(jī)占70%。由下表知，三個(gè)年級(jí)近世代數(shù)課程平時(shí)成績(jī)的差異系數(shù)較低（1.52），而期末考試卷面成績(jī)（27.46）和綜合成績(jī)（16.84）的差異系數(shù)都較高。這說明學(xué)生的平時(shí)成績(jī)差異不大，不一定能反映出學(xué)生的真實(shí)水平。由下圖知，2011級(jí)數(shù)本（1）班近世代數(shù)課程期末考試卷面成績(jī)與綜合成績(jī)接近正相關(guān)，平時(shí)成績(jī)起到的作用就是提高學(xué)生的及格率。

針對(duì)課程考核中存在的問題，我們嘗試進(jìn)行過程化多維考核評(píng)價(jià)方式的改革，把原來的考核方式和方法分散到各個(gè)學(xué)習(xí)過程的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制，將考核貫穿到日常教學(xué)和學(xué)習(xí)之中，做到考核過程化、階段化和形式多樣化，以達(dá)到對(duì)教學(xué)全過程的質(zhì)量監(jiān)控的目的，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，從而促進(jìn)學(xué)生重視近世代數(shù)課程的整個(gè)學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效果和教學(xué)質(zhì)量。

近四年的實(shí)踐證明，專業(yè)課程過程化多維考核改革對(duì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)、提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)高素質(zhì)人才起到了重要的作用?？偟膩碚f，地方本科高校課程考核改革勢(shì)在必行。

三、結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)學(xué)校近世代數(shù)課程的特點(diǎn)，結(jié)合平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)的實(shí)際情況，探討了近世代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和考核方式等方面的改革，并取得了良好的教學(xué)效果。然而，近世代數(shù)課程教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期的研究課題，如何進(jìn)一步提高近世代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，還需要大家共同努力。

責(zé)編：夜雨