錢祖康

[摘 要] 問題解決是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在實際教學(xué)中，問題解決能力培養(yǎng)的突破口在于問題解決策略的培養(yǎng). 作為問題解決的前置性條件，問題解決策略可以通過問題解決中引入數(shù)學(xué)活動來得到培養(yǎng)，教師教學(xué)的著力點則在于強化策略運用過程，讓學(xué)生有效體驗，進(jìn)而形成直覺.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；問題解決；問題解決策略

對于初中數(shù)學(xué)教師而言，問題解決的重要性不言而喻，在經(jīng)驗視角中，問題解決就是解決問題，當(dāng)然也有同行將之與習(xí)題教學(xué)等同起來. 盡管我們認(rèn)為這樣的認(rèn)識是較為狹隘的，但不可否認(rèn)的一點是，當(dāng)前關(guān)于問題解決更多的是一種宏觀視角，也就是把問題解決看作是一個教學(xué)目標(biāo)與思維過程并重的事物. 應(yīng)當(dāng)說，從理論上來講，這樣的認(rèn)識是準(zhǔn)確且全面的，但從實際教學(xué)的角度來看，由于視角過于宏觀，所以容易忽視問題解決教學(xué)中的一些重要環(huán)節(jié)，從而使問題解決沒有一個堅實的根基. 基于這樣的思考，筆者努力關(guān)注學(xué)生在問題解決過程中的思維，結(jié)果發(fā)現(xiàn)影響問題解決結(jié)果的，有時候并不是與問題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)知識掌握，而是數(shù)學(xué)知識運用之前的問題解決策略運用. 也就是說，有時即使數(shù)學(xué)知識掌握得再好，但問題解決策略不當(dāng)，一樣無法形成有效的問題解決能力. 因此，問題解決能力培養(yǎng)的首要環(huán)節(jié)，就是問題解決策略的培養(yǎng). 關(guān)注其重要性并致力于其培養(yǎng)，可能是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點.

問題解決策略之于問題解決的重要性

問題解決之所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到重視，一個根本原因是，其是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平幾乎唯一重要的體現(xiàn). 當(dāng)前，核心素養(yǎng)正引起教育界同仁的高度重視，而問題解決能力就屬于學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的“關(guān)鍵能力”之一. 但問題解決能力的形成并不是一蹴而就的，在引導(dǎo)學(xué)生提升問題解決能力的過程中，是按部就班地逐步培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，還是尋找一個突破口，以點帶面地培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，這成為擺在數(shù)學(xué)教師面前的一個重要選擇.

傳統(tǒng)思路下，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力是累積形成的，因此可能需要按部就班式的思路；而本輪的課程改革告訴我們這樣一個基本事實：即使是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最差的學(xué)生，其在問題解決的過程中也總是帶著最基本的思路. 因此，尋找一個突破口，讓學(xué)生在問題解決過程中獲得能力，可能更為實際. 而筆者在實踐中也發(fā)現(xiàn)，問題解決策略就是這個重要的突破口.

問題解決策略，即開始解決問題時所選擇的策略，其在心理學(xué)視角下定義為“人們在解決問題的過程中搜索問題空間、選擇認(rèn)知操作方式時所運用的策略的總稱”. 問題解決的方法包括試錯法（國內(nèi)著名特級教師華應(yīng)龍的融錯教育有此思想，盡管其為小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但對初中數(shù)學(xué)有積極的參考意義）、正向推導(dǎo)法（由已知條件向所求推導(dǎo)）、反向推導(dǎo)法（分析問題解決所需要的條件，并將之與已知條件進(jìn)行對比）等. 問題解決過程中對方法的選擇，實際上就是問題解決策略的產(chǎn)物，因此從這個角度講，問題解決策略是問題解決者根據(jù)自己的解題經(jīng)驗與智慧，選擇、組合問題解決方法的策略.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常?？吹竭@樣的現(xiàn)象：學(xué)生面對一個問題時，往往卡在問題解決的最初，這實際上就是策略選擇有問題，而一旦教師給學(xué)生指明解決問題的思路時，學(xué)生就能比較輕松地解決了；有時遇到一題多解的問題，學(xué)生又會根據(jù)自己的原有經(jīng)驗忽視其他問題解決思路，這說明學(xué)生在重復(fù)性的解題中形成了較低的定式水平；更多的時候，學(xué)生對自己是如何成功解決問題的，或為什么無法解決問題，處于高度茫然的狀態(tài)，這說明學(xué)生對問題解決策略缺少關(guān)注與反思……凡此種種，影響了學(xué)生問題解決策略的選擇，也最終影響了問題解決能力的形成.

因此，問題解決策略就是問題解決能力培養(yǎng)的一個最為重要的前提，牽住這個“牛鼻子”，就可以化解問題解決中遇到的很大一部分問題.

培養(yǎng)學(xué)生良好的問題解決策略嘗試

有研究者指出，從更廣視域內(nèi)培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，多讓學(xué)生在熟悉的、既定的數(shù)學(xué)規(guī)律與方法之外去選擇與使用，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力. 在這樣的思路下，數(shù)學(xué)活動成為一線數(shù)學(xué)教師的重要選擇.

數(shù)學(xué)活動與當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教師積極嘗試的數(shù)字實驗有類似的地方，其通過學(xué)生的“做”去開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維；同時，數(shù)學(xué)活動又不僅僅限于動手做，更側(cè)重于動腦思考. 在筆者看來，無論是做還是思，本質(zhì)上都應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決策略的選擇來進(jìn)行. 筆者在“勾股定理”的教學(xué)中，嘗試通過數(shù)學(xué)活動來培養(yǎng)學(xué)生的問題解決策略，取得了一定的效果. 現(xiàn)對此教學(xué)過程分兩個環(huán)節(jié)進(jìn)行簡述.

1. 第一個環(huán)節(jié)是“勾股定理”的建立環(huán)節(jié)

目前，勾股定理基本上都是通過畢達(dá)哥拉斯（以下簡稱畢氏）的故事來引入的，考慮到課堂容量與教學(xué)效率，畢氏所研究的地面圖形更多的是通過多媒體來呈現(xiàn)的. 筆者考慮到幻燈片中的圖形只能成為學(xué)生思維加工的對象，而不能成為“做”的對象，這客觀上使得學(xué)生的思維變得有些抽象，于是將畢氏的圖形變成教具——兩種顏色的等腰直角三角形，讓學(xué)生據(jù)此“拼”出不同花紋的地面，同時提出問題：在擺放的過程中，能否發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系新的特性？事實證明，在這樣的問題驅(qū)動之下，學(xué)生相當(dāng)積極，而解決問題則成為學(xué)生活動的動力.

同時，由于問題直接指向直角三角形（事實上學(xué)生此時的思維對象是等腰直角三角形），方向如此明確，使得學(xué)生對直角三角形三邊關(guān)系展開探究. 此時，便涉及問題解決策略. 事實表明：學(xué)生最初的思路是直接比較三邊的和、差、積、商關(guān)系，但很快發(fā)現(xiàn)此路不通. 于是，筆者提醒學(xué)生：你所研究的直角三角形處于諸多直角三角形拼成的大的圖形當(dāng)中，你看到的還應(yīng)當(dāng)有其他圖形. 這是本活動過程中的關(guān)鍵一步，也是策略提醒的一步. 在這一提醒（實際上是策略引導(dǎo)）之下，學(xué)生會去研究直角三角形三邊相鄰的正方形，而正方形的數(shù)量無非是邊長、周長、面積等，當(dāng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向面積時，勾股定理就容易被發(fā)現(xiàn)了. 其后的過程同行們都比較熟悉，此處不贅述.

2. 第二個環(huán)節(jié)是“勾股定理”的應(yīng)用環(huán)節(jié)

勾股定理的應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要，根據(jù)經(jīng)驗，初中生對勾股定理的應(yīng)用往往只限于對現(xiàn)有直角三角形進(jìn)行直接運算，而當(dāng)需要構(gòu)建新的直角三角形或有其他需要時，學(xué)生往往缺乏明確的策略支撐.

例如，有這樣一個問題：給你一把刻度尺，你有幾種方法得出一個圓柱形杯子的直徑？

此問題最直接的解決方法是用尺去測量杯底直徑（這種方法簡單、直接、有效，不應(yīng)當(dāng)被排斥在數(shù)學(xué)方法之外），而當(dāng)追問學(xué)生有無第二種方法時，學(xué)生就容易卡殼. 卡殼的一個直接原因，是學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)此中存在的直角三角形，即使教師提醒學(xué)生是不是可以用勾股定理求解時，不少學(xué)生仍然感覺無計可施. 此時，筆者建議不要過多提醒，而是讓學(xué)生絞盡腦汁地去想. 事實證明，當(dāng)學(xué)生看到將尺斜放在杯中變成一條斜邊時，那種興奮之情是溢于言表的，而這也正是數(shù)學(xué)探究中的一種品質(zhì)與意志的培養(yǎng)，也屬于核心素養(yǎng)中的“必備品格”.

類似的問題還有：已知一扇門框的尺寸是高2 m、寬1 m，那一扇長3 m、寬2.2 m的長方形木板能否從門框內(nèi)通過？這個問題的解決涉及學(xué)生將門框的對角線長度與木板的寬度進(jìn)行對比. 而學(xué)生的問題解決過程非常有趣，相當(dāng)一部分學(xué)生都是將長方形木板要么“橫”著走，要么“豎”著走，就是想不到“斜”著走. 這些其實都是問題解決策略的一部分，教師不需要多講，可放手讓學(xué)生自己探索，最終比較門框的對角線長度與木板的寬度.

以上兩個事例表明，當(dāng)問題解決不局限于問題本身，當(dāng)學(xué)生能夠在一個更為真實、完整的情境中解決問題時，學(xué)生對問題本身，對解決問題所用到的數(shù)學(xué)工具的印象，往往更為深刻，對數(shù)學(xué)工具使用的熟悉程度也會大大增強.

生本視角下問題解決策略到問題解決

問題解決說到底是面向?qū)W生的，問題解決能力本質(zhì)上是學(xué)生的能力培養(yǎng)，因而問題解決策略應(yīng)當(dāng)面向?qū)W生，這就是生本視角.

生本視角下，學(xué)生的問題解決策略把握得當(dāng)了，那問題解決的大門也就打開了，因此，將問題解決策略的培養(yǎng)當(dāng)成問題解決能力培養(yǎng)的前置性條件，邏輯上是行得通的，實踐也證明其是可行的.

當(dāng)然，這里還有一個根本性的問題，即從教師教學(xué)的角度，將問題解決策略從問題解決中剝離出來加以論述，那只是為了強調(diào)其重要性；而在具體的教學(xué)過程中，問題解決本身就是一個完整的過程，是一個完整的思維，不宜剝離. 尊重學(xué)生思維的整體性，只是在問題解決過程中著力強調(diào)策略的運用，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺，從而切實培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力.