張躍

[摘 要] 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容. 農(nóng)村初中生由于生活經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)知識構(gòu)建與問題解決支撐作用相對薄弱，因此更需要基于數(shù)學(xué)模型來獲得數(shù)學(xué)認(rèn)知. 將數(shù)學(xué)建模上升為建模思想，進(jìn)而基于建模思想尋找數(shù)學(xué)教學(xué)的有效策略，是有價(jià)值的選擇. 建模思想首先面向教師，同時(shí)面向?qū)W生. 建模思想下的農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略可由關(guān)注實(shí)例策略、建模的直覺意識培養(yǎng)策略，以及學(xué)習(xí)反思策略等組成.

[關(guān)鍵詞] 農(nóng)村初中；初中數(shù)學(xué)；建模思想；教學(xué)策略

建模對于數(shù)學(xué)教師來說并不是一個(gè)陌生的詞匯，無論是在課程改革中，還是在核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學(xué)建模歷來都是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)中心任務(wù). 目前，對數(shù)學(xué)建模的理解基本上可以分為兩個(gè)層次：一是其基本含義，即數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型（其間會用到數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方法，同時(shí)也涉及數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)語言的具體運(yùn)用）；二是其在問題解決中的應(yīng)用含義，即數(shù)學(xué)建模被理解為運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，這里同樣涉及對實(shí)際問題的抽象、簡化等. 筆者從教于農(nóng)村初中，深感農(nóng)村初中孩子所具有的知識面相對狹窄，但生活經(jīng)驗(yàn)卻相對豐富，且邏輯推理能力并不比城區(qū)學(xué)生弱的特點(diǎn)，于是考慮將數(shù)學(xué)建模上升為“建模思想”，以使其成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主線索，從而驅(qū)動(dòng)農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)有效化. 同時(shí)在實(shí)踐中，堅(jiān)持在這樣的思路下總結(jié)相應(yīng)的教學(xué)策略，最終形成如下三點(diǎn)認(rèn)識.

從建模到建模思想，是教學(xué)策略形成的源頭

數(shù)學(xué)建模在很多教師的意識中，更多的是以教學(xué)方法、教學(xué)模式等形式存在的，這種物化的思路可以讓學(xué)生在建模具體的數(shù)學(xué)知識時(shí)表現(xiàn)出較大的效益，但從整個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程來看，如果將建模上升為建模思想，并使之成為教師主要的教學(xué)思路之一，就可以讓數(shù)學(xué)教師立足于一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上，并由此衍生出更為有效的教學(xué)策略.

其實(shí)，關(guān)于模型思想，著名數(shù)學(xué)教育家史寧中教授在解讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的時(shí)候，就重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了其中的一點(diǎn)，即“要初步形成模型思想”. 這樣的界定使筆者意識到建模思想既應(yīng)當(dāng)是教師的教學(xué)思路，也應(yīng)當(dāng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思路. 即教師所建立的建模思想最終要變成學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識，才可以更好地驅(qū)動(dòng)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識.

那么，建模思想到底是一種什么樣的思想呢？筆者在實(shí)踐的基礎(chǔ)上建立的理解是這樣的：教師在教學(xué)中，有兩個(gè)基本認(rèn)識. 其一，一個(gè)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的建立，需要讓學(xué)生經(jīng)歷分析生活事例并進(jìn)行抽象，且要努力放大這樣一個(gè)學(xué)習(xí)過程. 即數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要立足于數(shù)學(xué)知識的形成結(jié)果，還要注重其生成過程. 譬如，教學(xué)“勾股定理”時(shí)，如果本著應(yīng)試的思路，那只要讓學(xué)生記住a2+b2=c2就行了，因?yàn)楹芏嗔?xí)題就是靠這個(gè)關(guān)系式獲得解決的（實(shí)際教學(xué)中，本著這樣的思路，是可以取得應(yīng)試的成功的）. 但從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提升的角度來看，這樣的教學(xué)顯然不可取. 勾股定理是初中數(shù)學(xué)中為數(shù)不多的有著數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)文化意蘊(yùn)的內(nèi)容之一，經(jīng)歷實(shí)例分析與抽象，再得出勾股定理，這樣的教學(xué)過程更容易讓學(xué)生形成立體認(rèn)識，也能夠在學(xué)生的思維中生成關(guān)于勾股定理的模型（包括表象與解題思路），從而為其后的問題解決奠定基礎(chǔ). 其二，一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，要重點(diǎn)突出其中模型運(yùn)用的過程. 只有教師立足于數(shù)學(xué)模型的建立，而不是簡單地獲得問題的答案時(shí)，其教學(xué)思路才有可能集中在數(shù)學(xué)模型之上，這樣的教學(xué)重心與思路的確立，才是模型思想及其相應(yīng)教學(xué)策略形成的基礎(chǔ).

學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，保證建模思想及其策略落地的關(guān)鍵，在于學(xué)生要能夠在具體的學(xué)習(xí)過程中體會數(shù)學(xué)模型建立的過程，并且能夠體驗(yàn)到其效用，必要的時(shí)候要將建模思想由隱性方式向顯性方式轉(zhuǎn)變，即讓學(xué)生清晰地認(rèn)識到自己所獲得的數(shù)學(xué)概念與所解決的數(shù)學(xué)問題，就是靠模型思想才得以成功的. 這種基于建模思想而獲得的非智力因素動(dòng)力，是建模思想及其策略發(fā)揮作用的重要保證.

建模思想衍生策略，是教學(xué)策略運(yùn)用的途徑

那么，在具體的教學(xué)中，如何基于建模思想生成有效的教學(xué)策略呢？筆者通過總結(jié)，提出如下三點(diǎn)策略供同行們批評、指正.

1. 關(guān)注實(shí)例策略

建模本身是從實(shí)例到模型的一個(gè)抽象、推理過程，如果失去了對實(shí)例的關(guān)注，那教師所建立的建模思想及策略就不可能真正落地. 關(guān)注實(shí)例，最好是關(guān)注具有生活與數(shù)學(xué)意義兼具的實(shí)例. 例如，教學(xué)“勾股定理”時(shí)，教師常常會基于畢達(dá)哥拉斯在朋友家研究地磚的故事建立勾股定理，但到了勾股定理的應(yīng)用中，就變成了海量的習(xí)題訓(xùn)練. 從數(shù)學(xué)模型建立與應(yīng)用的角度來看，這樣的思路顯然有些虎頭蛇尾. 筆者在得出勾股定理之后，沒有立即轉(zhuǎn)向習(xí)題，而是給出了這樣一個(gè)實(shí)際問題：在講臺上豎立一根柱子（已知其高度與周長），然后在其上繞線，問學(xué)生如何估算所繞線的長度.

這個(gè)問題來自一個(gè)中國古代問題：木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何. 題意是：如圖1，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則葛藤的最短長度是多少尺？實(shí)際教學(xué)中，可直接向?qū)W生呈現(xiàn)此問題，筆者之所以做改編，是想讓學(xué)生有親切感（這更符合初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理需要）. 而在此刻向?qū)W生呈現(xiàn)這一實(shí)際問題，很容易培養(yǎng)學(xué)生帶著勾股定理的思路去關(guān)注實(shí)例的習(xí)慣.

2. 基于建模的直覺意識培養(yǎng)策略

真正有效的建模思想教學(xué)策略，一定需要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)直覺，也只有學(xué)生帶著數(shù)學(xué)直覺去關(guān)注事物時(shí)，才能說數(shù)學(xué)建模的思路得到了確立. 在上例中，帶有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)性質(zhì)的體驗(yàn)過程，可以讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)較為全面的實(shí)例獲得過程（因?yàn)楣P者具體做的時(shí)候，柱子側(cè)面是有一條直線的，繞線時(shí)特地提醒學(xué)生出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)就在這根直線的端點(diǎn)上）. 學(xué)生需要思考的是繩子的長度與已知柱子的高度及底邊周長有什么關(guān)系. 由于沒有直接的直角三角形存在，因此學(xué)生還需要重點(diǎn)思考直角三角形從哪里來. 這個(gè)構(gòu)思直角三角形的過程，其實(shí)正是建模直覺意識培養(yǎng)的關(guān)鍵. 因?yàn)闃?gòu)思直角三角形的過程，就是學(xué)生帶著勾股定理應(yīng)用去尋找、發(fā)現(xiàn)直角三角形的過程.

3. 學(xué)習(xí)反思策略

學(xué)習(xí)反思存在于數(shù)學(xué)概念建構(gòu)成功或問題解決成功之后，類似于一個(gè)“反芻”的過程，而這正是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)盲點(diǎn). 很多學(xué)生在得出數(shù)學(xué)概念之后，在問題解決之后，都會下意識地認(rèn)為學(xué)習(xí)已經(jīng)結(jié)束. 而如果此時(shí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)反思策略，讓學(xué)生重整自己的學(xué)習(xí)或問題解決思路，就可以讓學(xué)生原本的數(shù)學(xué)思維清晰化，更可以讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模在此過程中所起的重要作用. 比如上面的例子中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“放開的繩子”與柱子的高、底邊周長的圈數(shù)倍數(shù)構(gòu)成直角三角形的斜邊、高、底邊時(shí)，就會意識到勾股定理在這個(gè)問題解決中的存在. 這樣的反思，可以提純學(xué)生的思維，將思路牢牢鎖定在勾股定理上，而這就是數(shù)學(xué)模型在問題解決中進(jìn)一步清晰化的關(guān)鍵之舉.

這里需要特別注意的是，當(dāng)面向的學(xué)生是農(nóng)村學(xué)生時(shí)，很多時(shí)候需要關(guān)注他們原有的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知方式，給予他們更多熟悉的事例，幫他們建立有效的表象，這樣才能驅(qū)動(dòng)他們并不遜色于城區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而完成數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題.

建模思想驅(qū)動(dòng)教學(xué)，是教學(xué)策略研究的關(guān)鍵

研究建模思想背景下的農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略，最關(guān)鍵的一個(gè)抓手，是以建模思想驅(qū)動(dòng)教師的教學(xué). 而這就意味著教師教學(xué)思路的轉(zhuǎn)變，意味著教學(xué)習(xí)慣的重新打造，意味著課堂教學(xué)范式的重新建構(gòu).

數(shù)學(xué)建模原本就是一個(gè)容納了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的綜合性過程，數(shù)學(xué)建模銜接著學(xué)生的原有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)驗(yàn)與新學(xué)數(shù)學(xué)知識的關(guān)系，又銜接著數(shù)學(xué)知識與問題解決之間的關(guān)系. 同時(shí)，農(nóng)村初中生因?yàn)檎J(rèn)知素材的相對缺乏，需要更多的數(shù)學(xué)思想來構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，因此以建模思想驅(qū)動(dòng)農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)極為適切.

以建模思想驅(qū)動(dòng)農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)的另一層意蘊(yùn)，在于教師與學(xué)生基于數(shù)學(xué)模型及其建構(gòu)形成一對融洽的教與學(xué)的關(guān)系. 上面提到的兩種銜接關(guān)系的存在就超越了簡單的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與運(yùn)用，其不僅符合課程改革中提出的“用數(shù)學(xué)教”的思想，而且對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)建模思想去觀察、分析、審視身邊事物帶來了極大的好處. 因此，基于“建模思想”研究初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略，應(yīng)當(dāng)說是核心素養(yǎng)培育背景下數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長重心，值得提倡.