摘要：簡(jiǎn)單介紹了條件概率與貝葉斯公式的相關(guān)概念，并舉例說明了教學(xué)不同難度層次的教學(xué)例題。

關(guān)鍵詞：貝葉斯公式；教學(xué)；條件概率；先驗(yàn)概率；后驗(yàn)概率

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門難度較大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，條件概率與貝葉斯公式是概率中學(xué)生遇到的第一個(gè)難點(diǎn)，條件概率學(xué)的好不好透不透是概率論能否能夠順利入門的一個(gè)要點(diǎn)所在，如果能有一些合適的由淺入深的例題幫助學(xué)生理解，會(huì)有很好的教學(xué)效果，本文作者以多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)了幾個(gè)例題與大家共享，拋磚引玉，期待與大家共同進(jìn)步。

貝葉斯公式命名來自托馬斯·貝葉斯，在統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中作用廣泛。條件概率是學(xué)過概率理論的人都知道的公式：P（B|A）=P（AB）/P（A）；即事件A和B同時(shí)發(fā)生時(shí)概率等于在發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率乘以A發(fā)生的概率。條件概率公式與乘法公式可以推導(dǎo)：P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A|B）；即，已知P（A|B），P（A）和P（B）可以計(jì)算出P（B|A）。假設(shè){B1，B2…Bn}是概率空間B的一個(gè)劃分。則P（A）可以用全概率公式展開：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）貝葉斯公式表示成：

P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）/（P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

條件概率的第一個(gè)典型例題就是抽簽，幾乎每一本教材都會(huì)用到。五個(gè)人ABCDE抽簽選一人，先抽和后抽概率是否相等？第一個(gè)人抽中的概率為P（A）=1/5，第二個(gè)人抽中的概率為P（A-B）=P（A-）P（B/A-）=4/5×1/4=1/5，第三個(gè)人抽中的概率為P（A-·B-·C）=P（A-）P（B-/A-）P（C/A-·B-）=4/5×3/4×1/3=1/5，以此類推，每人抽中的概率都一樣。第二個(gè)例題稍微難點(diǎn)，五個(gè)人ABCDE抽簽選三人，先抽和后抽概率是否相等？第一個(gè)人抽中的概率為P（A）=3/5，第二個(gè)人抽中的概率為P（B）=P（A）P（B/A）+P（A-）P（B/A-）=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5，以此類推，每人抽中的概率都一樣。

第三個(gè)例子，盒子有2個(gè)黑球3個(gè)白球，隨機(jī)丟了1個(gè)，現(xiàn)從中任取2個(gè)球發(fā)現(xiàn)都是白球，問丟失的球是黑球的概率。解題先設(shè)A1={丟的是黑球}，A2={丟的是白球}，B={任取2球全是白球}，則：P（A1）=2/5，P（A2）=3/5，P（B/A1）=C23/C24=1/2，P（B/A2）=C22/C24=1/6，P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）=2/5×1/2+3/5×1/6=3/10，P（A1/B）=P（A1）P（B/A1）/P（B）=（2/5×1/2）/（3/10）=2/3。

第四個(gè)例子，有四個(gè)盒子甲乙丙丁，甲中有1黑1白2個(gè)球，乙中有1黑2白3個(gè)球，丙中有1黑3白4個(gè)球，丁是空盒。從三個(gè)盒子中各任取1球放入丁中，再從丁中任取1球，問取到黑球的概率是多少？該黑球是從甲盒中取出的概率是多少？解題先設(shè)A1={丁盒中有0個(gè)黑球}，A2={丁盒中有1個(gè)黑球}，A3={丁盒中有2個(gè)黑球}，A4={丁盒中有3個(gè)黑球}，B={從丁盒中取出一球是黑球}，C={黑球來自甲盒}則：

P（A1）=1/2×2/3×3/4=6/24，

P（A2）=1/2×2/3×3/4+1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4=11/24，

P（A3）=1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4+1/2×1/3×1/4=6/24，

P（A4）=1/2×1/3×1/4=1/24，

P（B/A1）=0，P（B/A2）=1/3，P（B/A3）=2/3，P（B/A4）=1，

P（B）=P（A1）P（B/A1）+P（A2）P（B/A2）+P（A3）P（B/A3）+P（A4）P（B/A4）=6/24×0+11/24×1/3+6/24×2/3+1/24×1=13/36，

第二問的答案是P（BC）=

1/2×2/3×3/4×1/3+（1/2×1/3×3/4+1/2×2/3×1/4）×2/3×1/2+1/2×1/3×1/4×1/3=12/72P（C/B）=P（BC）/P（B）=12/26=6/13

貝葉斯公式和條件概率看起來都很簡(jiǎn)單，但是在自然科學(xué)社會(huì)生活等各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛。同時(shí)該理論本身也蘊(yùn)含了極其深刻的思想。在現(xiàn)代社會(huì)大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時(shí)代，從海量的數(shù)據(jù)中篩查數(shù)據(jù)解決相關(guān)問題，貝葉斯公式和條件概率也有著非常廣泛的應(yīng)用，因此搞清弄懂概念打好基礎(chǔ)學(xué)好概率論有著非常重要的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松著.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].中國統(tǒng)計(jì)出版社.

[2]祝東進(jìn)，郭大偉著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].國防工業(yè)出版社.

作者簡(jiǎn)介：

王文相，江蘇省連云港市，江蘇財(cái)會(huì)職業(yè)學(xué)院。