馬增福

摘 要：在教學(xué)中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就需要教師堅(jiān)持以讀懂《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念為指向；以理解把握教材為重點(diǎn)；以改變課堂教學(xué)方法為手段?，F(xiàn)結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，簡(jiǎn)析教材中“運(yùn)算能力”和“推理能力”部分內(nèi)容中“核心素養(yǎng)”的體現(xiàn)及其教學(xué)實(shí)踐。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)實(shí)踐；運(yùn)算能力；推理能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2018）28-0004-15

一、運(yùn)算能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題”。

運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中，要力求做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡(jiǎn)捷。換言之，運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)捷是運(yùn)算能力的主要特征。這里，運(yùn)算正確是指運(yùn)算方法和結(jié)果正確，靈活是指運(yùn)算過(guò)程不拘泥一種方法，合理是指運(yùn)算符合算理、法則、公式或運(yùn)算律等，簡(jiǎn)捷是指運(yùn)算方便、簡(jiǎn)單明了。所以，運(yùn)算正確是基礎(chǔ)，理解掌握運(yùn)算技能是核心、形成運(yùn)算能力是目的。

（一）教材中“運(yùn)算能力”內(nèi)容簡(jiǎn)析

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在各個(gè)學(xué)段，運(yùn)算都占有很大的比重。小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)和掌握各種運(yùn)算的知識(shí)及技能?！墩n標(biāo)》在學(xué)段目標(biāo)的第一學(xué)段和第二學(xué)段“知識(shí)技能”部分都提出“掌握必要的運(yùn)算技能”的要求。

1.口算技能

《課標(biāo)》在第一學(xué)段“數(shù)的運(yùn)算”部分提出：能熟練地口算20以?xún)?nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算簡(jiǎn)單的百以?xún)?nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)?！墩n標(biāo)》在第二學(xué)段“數(shù)的運(yùn)算”部分沒(méi)有再提出口算要求。其中20以?xún)?nèi)加減法和百以?xún)?nèi)加減法口算方法要遷移到多位數(shù)加減法口算中，如300+800，1600+700，2000+3200，180-50，2400-600，3200-300等；20以?xún)?nèi)加減法和百以?xún)?nèi)加減法口算，是多位數(shù)加減法和乘除法筆算的重要基礎(chǔ)。表內(nèi)乘除法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)口算方法要遷移到多位數(shù)乘除法口算中，如：200×3，400×60，120×30，800÷4，1200÷3，2400÷80等。

（1）20以?xún)?nèi)的加、減法口算，安排在教材一年級(jí)上冊(cè)和下冊(cè)

20以?xún)?nèi)不進(jìn)位加和不退位減及10加幾和10減幾，是口算進(jìn)位加、退位減的基礎(chǔ)。20以?xún)?nèi)進(jìn)位加口算技能主要是“湊十法”，可以拆小數(shù)與大數(shù)湊十，也可以拆大數(shù)與小數(shù)湊十。如：8+7，可以拆小數(shù)湊大數(shù)，因?yàn)?加2等于10，所以把7分成2和5，8加2等于10，10再加5等于15；也可以拆大數(shù)湊小數(shù)，因?yàn)?加3等于10，所以把8分成5和3，7加3等于10，10再加5等于15。20以?xún)?nèi)退位減口算技能主要有“破十法”“想加算減法”和“平十法”。如，15-7。破十法：把15分成10和5，10減7等于3，3加5等于8；想加算減法：因?yàn)?加8等于15，所以15減7等于8；平十法：因?yàn)楸粶p數(shù)個(gè)位是5，所以把7分成5和2，15減5等于10，10再減2等于8。

（2）百以?xún)?nèi)加減法口算，安排在教材一年級(jí)下冊(cè)

主要內(nèi)容包括整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)，兩位數(shù)加減一位數(shù)和整十?dāng)?shù)。這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)筆算乘、除法的重要基礎(chǔ)。兩位數(shù)加一位數(shù)口算技能是否熟練，在一定程度上決定了乘法豎式計(jì)算的速度；兩位數(shù)減一位數(shù)口算技能是否熟練，在一定程度上決定了除法豎式的計(jì)算速度。

口算整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)，思維方法是10以?xún)?nèi)加減法計(jì)算方法的遷移。如計(jì)算30+40的思維方法是3個(gè)十加4個(gè)十得7個(gè)十，是70；計(jì)算90-30的思維方法是9個(gè)十減3個(gè)十得6個(gè)十，是60。

口算兩位數(shù)加減一位數(shù)或整十?dāng)?shù)。兩位數(shù)加一位數(shù)不進(jìn)位的口算方法是：兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)與一位數(shù)相加的和作個(gè)位數(shù)，十位數(shù)不變。如34+5=39。兩位數(shù)減一位數(shù)不退位的口算方法是：兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)與一位數(shù)相減的差作個(gè)位數(shù)，十位數(shù)不變。如：48-6=42。兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)的口算方法是：兩位數(shù)的十位上數(shù)字與整十?dāng)?shù)字相加的和作十位數(shù)，個(gè)位數(shù)不變。如：27+30=57。兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)的口算方法是：兩位數(shù)的十位上數(shù)字減整十?dāng)?shù)字的差作十位數(shù)，個(gè)位數(shù)不變。如73-40=33。

兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法的口算，教材呈現(xiàn)了兩種方法。一種是湊整十的方法，它是20以?xún)?nèi)進(jìn)位加口算方法的遷移。如：24+9，把9拆成6和3，24加6等于30，30再加3等于33。另一種是用整十?dāng)?shù)加兩位數(shù)的方法，先算個(gè)位上的4加9等于13，再用20加13等于33。另外，如果一位數(shù)接近10，還可以這樣口算：把9看作10，24加10等于34，多加了1，再減去1，34減去1等于33。

兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法的口算，教材呈現(xiàn)了兩種方法。一種是“破十法”，如36-8，把36拆成26和10，10減8等于2，26加2等于28。另一種是把兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和十幾，先算十幾減一位數(shù)，再用整十?dāng)?shù)加差。把36拆成20和16，先算16減8等于8，再算20加8等于28。另外，兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法也可以用“平十法”口算。先把8拆成6和2，36減6等于30，30再減2等于28。

（3）一位數(shù)乘兩位數(shù)口算，安排在教材三年級(jí)上冊(cè)和下冊(cè)

主要內(nèi)容包括：一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)并擴(kuò)展到乘整百、整千數(shù)，一位數(shù)乘兩位數(shù)積在100以?xún)?nèi)不進(jìn)位、進(jìn)位乘法。

一位數(shù)乘整十、整百、整千數(shù)的口算方法是表內(nèi)乘法的遷移。如200×3的思維方法是：2個(gè)百乘3得6個(gè)百，就是600。

一位數(shù)乘兩位數(shù)口算是表內(nèi)乘法、一位數(shù)乘整十?dāng)?shù)及整十?dāng)?shù)加一位數(shù)口算技能的綜合應(yīng)用。如：23×2，思考20乘2得40，3乘2得6，40加6得46；23×4，思考20乘4得80，3乘4得12，80加12得92。此口算方法后面要遷移到一位數(shù)乘整百整十?dāng)?shù)及整十?dāng)?shù)乘兩位數(shù)，如130×3，24×20，140×30等。

（4）一位數(shù)除兩位數(shù)口算，安排在教材三年級(jí)下冊(cè)

主要內(nèi)容包括：一位數(shù)除整十?dāng)?shù)并擴(kuò)展到除整百、整千、整萬(wàn)數(shù)，一位數(shù)除兩位數(shù)并擴(kuò)展到除整百整十或整千整百數(shù)。

一位數(shù)除整十、整百、整千、整萬(wàn)數(shù)的口算方法是表內(nèi)除法的遷移。如8000÷4，思考8個(gè)千除以4是2個(gè)千，就是2000。

一位數(shù)除兩位數(shù)、整百整十?dāng)?shù)、整千整百數(shù)包括兩類(lèi)，一類(lèi)是用口訣求商，如240÷8，方法是：把240看作24個(gè)十，除以8得3個(gè)十，就是30；另一類(lèi)是每一位上的數(shù)除以一位數(shù)都能除盡而沒(méi)有余數(shù)的，如96÷3，方法是：90除以3得30，6除以3得2，30加2得32。

2.四則運(yùn)算的筆算技能

《課標(biāo)》在第一、二學(xué)段“數(shù)的運(yùn)算”部分提出：能計(jì)算兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)，兩位數(shù)乘兩、三位數(shù)的乘法，兩位數(shù)和三位數(shù)除以一位數(shù)、兩位數(shù)的除法。這里的計(jì)算是指豎式筆算和橫式的簡(jiǎn)算。

（1）豎式筆算

小學(xué)階段有很大部分的計(jì)算題都要求學(xué)生通過(guò)豎式的方式進(jìn)行筆算。豎式筆算技能主要是按照法則寫(xiě)出豎式后按順序進(jìn)行計(jì)算且計(jì)算結(jié)果的書(shū)寫(xiě)位置正確。這里寫(xiě)豎式、按順序計(jì)算和書(shū)寫(xiě)得數(shù)既是基礎(chǔ)也是重點(diǎn)，按順序計(jì)算過(guò)程主要是加、減、乘、除口算技能的應(yīng)用。所以，豎式筆算“多題一解”的運(yùn)算過(guò)程十分普遍，體現(xiàn)了運(yùn)算法則的普適性。如用豎式計(jì)算214×18：①相同數(shù)位對(duì)齊；②先用第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字8去乘第一個(gè)因數(shù)214，得數(shù)1712的末位和因數(shù)的個(gè)位對(duì)齊；③再用第二個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字“1”去乘第一個(gè)因數(shù)214，得數(shù)是214個(gè)十，所以末位和因數(shù)的十位對(duì)齊；④然后把兩次的積加起來(lái)，寫(xiě)在對(duì)應(yīng)數(shù)位的下面。

（2）加、減法的橫式簡(jiǎn)算

①加數(shù)接近整百、整千數(shù)的簡(jiǎn)算。教材在三年級(jí)上冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)的加法和減法（二）”例3，安排了一個(gè)加數(shù)接近整百數(shù)的簡(jiǎn)便算法。運(yùn)算技能是：在橫式轉(zhuǎn)化過(guò)程中，多加的要減去，少加的要加上。如：445+298=445+300-2=745-2=743。此題中，298在加上轉(zhuǎn)化成300時(shí)多加了2，所以最后要減去2。

②減數(shù)接近整百、整千數(shù)的簡(jiǎn)算。對(duì)應(yīng)加法簡(jiǎn)算，減法內(nèi)容也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)這種簡(jiǎn)算。運(yùn)算技能是：在橫式轉(zhuǎn)化過(guò)程中，多減的數(shù)要加上（多減幾，差就減少幾），少減的數(shù)的要接著減去。如練習(xí)第6題中：1000-599=1000-600+1=400+1=401。減數(shù)599轉(zhuǎn)化成600，多減了1，差就減少了1，所以要加上1。再比如，1000-603=1000-600-3=400-3=397。

3.運(yùn)算律、運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用的簡(jiǎn)算技能

在整數(shù)乘法、除法及四則混合運(yùn)算中，有些題型應(yīng)用運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。簡(jiǎn)算技能主要是觀察、分析算式特點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)算符號(hào)、數(shù)字特征，選擇、應(yīng)用合適的運(yùn)算定律或運(yùn)算性質(zhì)，使計(jì)算簡(jiǎn)便。運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)在第二學(xué)段要推廣到小數(shù)四則混合運(yùn)算和分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算。

①加法運(yùn)算定律的應(yīng)用。四年級(jí)下冊(cè)“加法運(yùn)算定律”例3，安排了應(yīng)用加法交換律、結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的內(nèi)容。運(yùn)算技能：應(yīng)用加法交換律，改變加數(shù)位置；應(yīng)用加法結(jié)合律，使結(jié)合的幾個(gè)加數(shù)的和湊成整百、整千或整萬(wàn)數(shù)。如，115+132+118+85。運(yùn)算分析：這道題是連加運(yùn)算，其中115與85的和是整百數(shù)，132與118的和是整百整十?dāng)?shù)。可以考慮先應(yīng)用加法交換律，交換加數(shù)位置，再應(yīng)用結(jié)合律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

115+132+118+85=115+85+132+118=（115+85）+（132+118）=200+250=450

②減法運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用。四年級(jí)下冊(cè)“加法運(yùn)算定律”例4，安排了應(yīng)用減法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的內(nèi)容。運(yùn)算技能：觀察連減算式中的減數(shù)，如果這幾個(gè)減數(shù)的和能湊成整百、整千或整萬(wàn)的數(shù)，把連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成減去這幾個(gè)數(shù)的和，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。如，236-66-34。運(yùn)算分析：兩個(gè)減數(shù)66與34的和是100，把連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成減去這兩個(gè)數(shù)的和，使計(jì)算簡(jiǎn)便。236-66-34=236―（66+34）=236-100=136。

③乘法交換律、結(jié)合律的運(yùn)用。乘法交換律是將因數(shù)交換位置，結(jié)合律是將兩個(gè)因數(shù)的積是整百、整千、整萬(wàn)的數(shù)結(jié)合在一起，使計(jì)算簡(jiǎn)便。如：25×5×4×2，運(yùn)算分析：在連乘算式中，第一、三兩個(gè)因數(shù)的積是整百數(shù)，第二、四兩個(gè)因數(shù)的積是整十?dāng)?shù)。所以，先用乘法交換律，再用乘法結(jié)合律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。25×5×4×2=25×4×5×2=（25×4）×（5×2）=100×10=1000。

④乘法分配律運(yùn)用。在一個(gè)多項(xiàng)式中，如果各項(xiàng)都含有相同的因數(shù)，而各項(xiàng)中的另一個(gè)因數(shù)的和是整十、整百……，此時(shí)可以反用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。如：42×53+42×46+42。運(yùn)算分析：在算式中，三項(xiàng)都含有因數(shù)“42”，各項(xiàng)中（42看作42×1）的另一個(gè)因數(shù)的和是100。所以可以反用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。42×53+42×46+42=42×（53+46+1）=42×100=4200。

⑤乘法運(yùn)算律的靈活應(yīng)用。兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)連乘，可以根據(jù)數(shù)字特征，先分拆再靈活運(yùn)用乘法結(jié)合律或分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。如：120×25。運(yùn)算分析：25是一個(gè)特殊數(shù)，它與2或4相乘都比較容易口算，所以120可以轉(zhuǎn)換成30乘4的積，再用乘法結(jié)合律使計(jì)算簡(jiǎn)便；也可以把120轉(zhuǎn)換成100加20的和，再用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。120×25=30×4×25=30×（4×25）=30×100=3000。120×25=（100+20）×25=2500+500=3000。再比如，31.4×2.5+0.86×25。運(yùn)算分析：兩項(xiàng)中都含有數(shù)字“25”，只是小數(shù)點(diǎn)位置不同，而這兩項(xiàng)中的另兩個(gè)數(shù)如果移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)后也可以湊成整十?dāng)?shù)。所以，可以考慮先轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。31.4×2.5+0.86×25=31.4×2.5+8.6×2.5=（31.4+8.6）×2.5=40×2.5=100。

⑥除法運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用。四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”例8，安排了應(yīng)用除法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的內(nèi)容。運(yùn)算技能：觀察連除算式中的除數(shù)，如果這幾個(gè)除數(shù)的積是整十、整百……，把連續(xù)除以幾個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成除以這幾個(gè)數(shù)的積，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。如2800÷25÷4。運(yùn)算分析：被除數(shù)是整千整百數(shù)，兩個(gè)除數(shù)的積是整百數(shù)。所以把連續(xù)除以?xún)蓚€(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為除以這兩個(gè)數(shù)的積，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。2800÷25÷4=2800÷（25×4）=2800÷100=28。

4.估算技能

估算是重要的運(yùn)算技能，是運(yùn)算能力的特征之一。估算可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行有效的探索，快速形成大致答案。進(jìn)行估算不僅需要掌握一定的方法，積累一定的經(jīng)驗(yàn)，而且估算需要經(jīng)過(guò)符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)。估算要避免出現(xiàn)過(guò)大的誤差，要使估算的結(jié)果盡量接近實(shí)際情況，要能對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出合理的解釋。估算與數(shù)感、空間觀念密切相關(guān)。如長(zhǎng)度、面積、體積的估計(jì)與空間觀念有關(guān)，運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)與數(shù)感有關(guān)。所以，對(duì)教材中估算內(nèi)容的分析與理解應(yīng)與數(shù)感和空間觀念有機(jī)結(jié)合。

《課標(biāo)》在第一、二學(xué)段關(guān)于估計(jì)、估算提出五條要求，歸納起來(lái)有兩點(diǎn)：一是結(jié)合生活情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)；二是結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，在解決問(wèn)題過(guò)程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算。

（1）估計(jì)技能

教材在結(jié)合生活情境感受大數(shù)意義及選擇適當(dāng)單位建立空間觀念方面安排了許多的估計(jì)內(nèi)容。

①結(jié)合生活情境感受大數(shù)意義的估計(jì)。如，一年級(jí)下冊(cè)“100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題圖：估一估有多少只羊？估計(jì)策略是羊的只數(shù)“比20只多的多”，以10只羊?yàn)橐欢?，圖中大約有幾個(gè)10只。二年級(jí)下冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題圖：猜一猜體育館大約能坐多少人？估計(jì)策略是座位“比100多的多”，圖中座位有很多區(qū)，每個(gè)區(qū)都有幾百個(gè)座位，所以座位數(shù)是一個(gè)很大的數(shù)。四年級(jí)上冊(cè)，估計(jì)1億張紙撂在一起有多高？估計(jì)策略是先量出100張紙的厚度，再推算1萬(wàn)張紙、1億張紙撂在一起有多高。等等。教材在練習(xí)中安排了估一估、數(shù)一數(shù)以及估計(jì)填空等習(xí)題。

②結(jié)合學(xué)習(xí)計(jì)量單位進(jìn)行估計(jì)。如二年級(jí)下冊(cè)“克和千克”估一估，下面哪些物品比1克輕？估一估，帶來(lái)的物品有多重？三年級(jí)上冊(cè)“測(cè)量”估一估數(shù)學(xué)書(shū)的長(zhǎng)、寬和厚大約是多少厘米？例6，估一估，從你家到學(xué)校有多遠(yuǎn)？三年級(jí)下冊(cè)“面積”估計(jì)長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？五年級(jí)上冊(cè)“組合圖形面積”請(qǐng)你估計(jì)這片葉子的面積等。這些內(nèi)容都是用學(xué)生自己熟悉的數(shù)量作為單位描述實(shí)際問(wèn)題中較大的數(shù)量，估計(jì)策略都是以一個(gè)計(jì)量單位的感受、體驗(yàn)、表象作支撐，選擇合適的單位來(lái)進(jìn)行估計(jì)。練習(xí)中安排了很多在括號(hào)里填寫(xiě)計(jì)量單位或數(shù)的習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生的估計(jì)意識(shí)和能力。

（2）估算技能

估算主要是指加、減、乘、除運(yùn)算的估算。由于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)積累、思維層次和水平不同，面對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，所采取的估算策略也可能不同。所以，在估算合理的情況下，估算結(jié)果一般不存在對(duì)錯(cuò)問(wèn)題，而是哪種估算更好，更接近準(zhǔn)確值。教材中解決問(wèn)題的估算策略與算式的估算策略不盡相同，解決問(wèn)題中的估算，需要根據(jù)實(shí)際情況用“進(jìn)一法”或“去尾法”估算，而算式的估算，可以用接近整十、整百或整百整十、整千整百等進(jìn)行估算。這種估算策略隨著學(xué)習(xí)的深化，將遷移到小數(shù)四則運(yùn)算。在估算時(shí)，往往估算越簡(jiǎn)便，誤差越大；估算難度越大，估算結(jié)果越接近準(zhǔn)確值。

①加、減法的估算。加、減法估算集中安排在二、三年級(jí)。估算均用語(yǔ)言或符號(hào)描述方式展開(kāi)，以體現(xiàn)解決問(wèn)題的估算過(guò)程和探索算式“和或差”的大概取值或取值范圍。

解決問(wèn)題估算。二年級(jí)下冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”例13，安排了用加法、減法思路解決問(wèn)題的估算。提問(wèn)買(mǎi)這兩件商品500元夠嗎？加法估算策略：電話(huà)機(jī)超過(guò)300元，電吹風(fēng)超過(guò)200元。300+200=500，帶500元肯定不夠。減法估算策略：電話(huà)機(jī)超過(guò)300元，用500元買(mǎi)了300多元的電話(huà)機(jī)，剩下的錢(qián)不到200元，肯定不夠買(mǎi)電吹風(fēng)；即使電話(huà)機(jī)300元，剩下200元也不夠買(mǎi)電吹風(fēng)。三年級(jí)上冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)加法和減法（一）”例4， “巨幕影院有441個(gè)座位，一到三年級(jí)來(lái)了221人，四到六年級(jí)來(lái)了234人”。提出“六個(gè)年級(jí)的學(xué)生同時(shí)看巨幕電影坐得下嗎？”的問(wèn)題。教材先呈現(xiàn)了按整百數(shù)進(jìn)行估算：221大于200，234也大于200，221加234一定大于400，但還是不能確定是否大于441。這種估算方法簡(jiǎn)便，但不能解決問(wèn)題，揭示了估算方法的不合理性。接著呈現(xiàn)按整百整十?dāng)?shù)進(jìn)行估算：221>220，234>230，220+230=450，221+234一定大于450，450>441，所以一定坐不下。這種按整百整十進(jìn)行估算并用符號(hào)展示估算過(guò)程，體現(xiàn)了估算方法的合理性。

加減法算式的估算。三年級(jí)上冊(cè)“萬(wàn)以?xún)?nèi)的加法和減法（二）”加法例3，445+298。由于298接近300，可以看作300來(lái)估算，445加300等于745，所以?xún)蓚€(gè)數(shù)的和應(yīng)該接近745。教材在練習(xí)八第2題安排了“先估一估，再計(jì)算下面各題”的內(nèi)容。如659+306。下面三種方法的描述都是正確的。Ⅰ. 把306看作300，659加300等于959，和應(yīng)該接近959；Ⅱ. 659接近并小于660，306接近并小于310，660加310等于970，和應(yīng)該小于970；Ⅲ. 659大于650，306大于300，650加300等于950，和應(yīng)該大于950。再如整理與復(fù)習(xí)第3題（2）：

解決這個(gè)問(wèn)題，用估算方法能快速找到答案。如：159大于150，97大于90，150加90等于240，實(shí)際和大于240，更比200大。900減700等于200，69比89小不夠減，所以差小于200。104小于110，89小于90，110加90等于200，實(shí)際和小于200。101大于100，300減100等于200，實(shí)際差小于200。

②乘法估算。乘法估算一方面可以在生活中快速解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，另一方面乘法估算也能快速判斷積的大概取值或取值范圍。熟練掌握乘法估算，能有效提升乘法計(jì)算的正確率。

解決問(wèn)題的估算：三年級(jí)上冊(cè)“多位數(shù)乘一位數(shù)”例7，安排了用乘法估算解決問(wèn)題的內(nèi)容。“門(mén)票每人8元，三（1）班有29人參觀，帶250買(mǎi)門(mén)票夠嗎”。估算策略：29人接近30人，如果按30人算錢(qián)夠，那么29人一定夠。教材第一次使用“≈”號(hào)連接算式與得數(shù)，呈現(xiàn)了乘法算式估算的書(shū)寫(xiě)格式。

五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法”例8，安排了綜合應(yīng)用加法、乘法估算解決實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)容。“媽媽帶100元去超市購(gòu)物。她買(mǎi)了2袋大米，每袋30.6元。還買(mǎi)了0.8千克肉，每千克26.5元。剩下的錢(qián)還夠買(mǎi)一盒10元的雞蛋嗎？夠買(mǎi)一盒20元的嗎？”教材呈現(xiàn)了語(yǔ)言描述和符號(hào)化解決問(wèn)題的估算過(guò)程（略）。此題的估算策略要使學(xué)生感受估算方法的合理性，既按商品價(jià)錢(qián)的大數(shù)估算夠，則帶的錢(qián)一定夠；按大數(shù)估算不夠，不一定不夠。按商品價(jià)錢(qián)的小數(shù)估算不夠，帶的錢(qián)則一定不夠；按小數(shù)估算夠，則不一定夠。

乘法算式的估算：三年級(jí)上冊(cè)“多位數(shù)乘一位數(shù)”例3中安排了描述性估算“24×9”積的取值范圍的內(nèi)容。估算方法：Ⅰ. 每箱24瓶，10箱是240瓶，9箱一定比240少，所以24×9的積一定小于240；Ⅱ. 由于20乘9等于180，30乘9等于270，24介于20到30之間，所以24×9的積在180和270之間；Ⅲ. 由于24小于25，9大于8，25乘8等于200，所以24×9的積大約在200左右。此估算可以擴(kuò)展到三位數(shù)乘一位數(shù)。如218×6。由于218大于200，200乘6等于1200，所以218乘6的積大于1200。也可以這樣估算：由于218小于220，220乘6的積等于1320，所以218乘6的積小于1320。

四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，教材呈現(xiàn)了乘法算式的估算，既145×12≈1500。估算方法是：把145看作150，12看作10，所以145×12≈1500。有些乘法算式估算結(jié)果可以不唯一，只要合理，接近準(zhǔn)確值，都是正確的。如：293×31。

另外，乘法估算還可以進(jìn)行一些特殊的估算，如127×8。估算方法是把127看作125，乘8等于1000。所以127×8≈1000。

③除法估算。除法估算一方面可以在生活中快速解決一些實(shí)際問(wèn)題，另一方面也是除法豎式計(jì)算的重要基礎(chǔ)。估算方法靈活，掌握的熟練，能有效提升除法豎式計(jì)算的試商速度和計(jì)算的正確率。

解決問(wèn)題的估算：三年級(jí)下冊(cè)“除數(shù)是一位數(shù)除法”例8，安排了用除法估算解決問(wèn)題的內(nèi)容?！澳銈冏?天，住宿費(fèi)一共是267元”，提出“每天的住宿費(fèi)大約多少錢(qián)？”的問(wèn)題。估算策略：一是看作整百數(shù)估算，估算簡(jiǎn)便，但誤差較大。既267看作300，300÷3=100（元），267÷3≈100（元）。每天住宿費(fèi)大約100元。二是看大湊口訣估算，思考難度大，但誤差小，與準(zhǔn)確值接近。想3個(gè)幾十接近267，3個(gè)90是270，把267看作270來(lái)估算，270÷3=90（元），267÷3≈90（元）。每天的住宿費(fèi)大約90元，實(shí)際每天不足90元。三是看小湊口訣估算，想3個(gè)80是240也接近267（但沒(méi)有270接近），240÷3=80（元），267÷3≈80（元）。每天的住宿費(fèi)大約80元。想實(shí)際每天住宿費(fèi)80元不夠，所以策略三估算不合理。策略一和策略二估算雖然都合理，但兩者比較，策略二估算更為接近精確值。

除法算式的估算：用湊口訣方法估算，估算結(jié)果與精確值比較接近。如估算523÷7的商大約是多少？下面兩種方法都是正確的。

方法一與方法二估算都是對(duì)的。但方法一比方法二思考難度大，與精確值更接近。

四年級(jí)上冊(cè)安排了除數(shù)是兩位數(shù)的除法估算。估算策略也是湊口訣方法。如184÷31，思考31接近整十?dāng)?shù)30，想30和幾相乘接近184并小于184，30乘6等于180，所以184÷31≈6。

（二）在教學(xué)中，如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力

運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和深化。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運(yùn)算能力，發(fā)展運(yùn)算能力的前提。運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運(yùn)算技能的逐步提高，還應(yīng)包括運(yùn)算思維素質(zhì)的提升和發(fā)展。

1.由具體到抽象，正確理解概念和算理

小學(xué)第一學(xué)段初步學(xué)習(xí)整數(shù)四則運(yùn)算以及簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)加、減運(yùn)算。第二學(xué)段進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)四則運(yùn)算及小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），了解并初步應(yīng)用運(yùn)算律。學(xué)生對(duì)這些運(yùn)算概念的認(rèn)識(shí)與理解，一開(kāi)始總是和具體事物相聯(lián)系，之后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式或方程運(yùn)算。教材中從整數(shù)加法、減法、乘法和除法概念、運(yùn)算方法的建立到擴(kuò)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)都離不開(kāi)實(shí)物操作。所以，教學(xué)時(shí)要遵循由具體到抽象的過(guò)程，正確理解概念的內(nèi)含和算理。

如加法概念和算理。以10以?xún)?nèi)加法概念為例。概念引入是把兩種顏色氣球的數(shù)量合在一起，用加法計(jì)算，明確加法的含義，知道加法的計(jì)算方法，可以合起來(lái)以后數(shù)出總數(shù)量，還可以在一個(gè)加數(shù)基礎(chǔ)上接著數(shù)出第二個(gè)加數(shù)的數(shù)量，數(shù)的結(jié)果就是兩個(gè)數(shù)量的和。在理解加法含義基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)的組成和擺實(shí)物等具體操作活動(dòng)，抽象出把兩部分?jǐn)?shù)量合起來(lái)用加法計(jì)算并寫(xiě)出算式，脫離實(shí)物計(jì)算出得數(shù)。

20以?xún)?nèi)的進(jìn)位加法。由具體實(shí)物湊十方法抽象出算式的分解式湊十計(jì)算方法。運(yùn)算時(shí)，可以分小數(shù)湊大數(shù)成10，也可以分大數(shù)湊小數(shù)成10。為了使學(xué)生形成正確的思維方式，由具體到抽象，教學(xué)時(shí)要完成由分解到分步再到抽象的數(shù)學(xué)思考的形成過(guò)程。

100以?xún)?nèi)兩位數(shù)加兩位數(shù)加法。小棒操作，兩個(gè)加數(shù)的小棒數(shù)量，單根與單根對(duì)齊、整捆與整捆對(duì)齊，分別相加，抽象出加法豎式計(jì)算方法，既：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起（相同的計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加），個(gè)位滿(mǎn)十向十位進(jìn)一。100以?xún)?nèi)計(jì)算方法的算理后面遷移到多位數(shù)加法及小數(shù)、分?jǐn)?shù)加法。

2.由法則到算理，形成運(yùn)算技能

小學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握算式、方程運(yùn)算，在應(yīng)用法則練習(xí)和相互交流過(guò)程中，會(huì)逐步形成機(jī)械化的運(yùn)算技能，教師不能滿(mǎn)足于這樣的運(yùn)算技能，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)“怎樣算”“怎樣算的好”“為什么要這樣算”等一系列問(wèn)題進(jìn)行思考，更應(yīng)該提供多種形式讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析，把對(duì)法則的演練提升到對(duì)算理的思考，把運(yùn)算從操作的層面提升到思維的層面，這是運(yùn)算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。

如二年級(jí)上冊(cè)“連加”，計(jì)算28+34+22。首先啟迪學(xué)生思考：用豎式怎樣列式計(jì)算？怎樣計(jì)算的簡(jiǎn)便？然后讓學(xué)生用自己喜歡的方法列豎式計(jì)算。學(xué)生會(huì)列出不同的豎式。

重點(diǎn)交流簡(jiǎn)便算法，為什么這樣寫(xiě)豎式？這樣寫(xiě)豎式的好處是什么？為什么要先算8加2的和？這種豎式連加的簡(jiǎn)便算法將遷移到多位數(shù)連加和小數(shù)連加計(jì)算。

再比如三年級(jí)上冊(cè)“周長(zhǎng)”例4，計(jì)算長(zhǎng)6厘米，寬4厘米長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。首先引發(fā)學(xué)生思考：怎樣計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？根據(jù)自己對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，用自己喜歡的方法計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。學(xué)生會(huì)出現(xiàn)下面三種計(jì)算方法。

重點(diǎn)交流后兩種方法，這樣列式的道理是什么？每一步求的是什么？比較三種計(jì)算方法，你認(rèn)為哪種計(jì)算方法好，為什么？

數(shù)形結(jié)合思想可以有效地幫助學(xué)生理解算理，掌握算法。

3.由單項(xiàng)思維到多項(xiàng)思維，培養(yǎng)思維的靈活性

在實(shí)施運(yùn)算時(shí)，常會(huì)遇到多因素情況，需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同解決問(wèn)題的方法。通過(guò)比較，加以擇優(yōu)選用。這是運(yùn)算思維達(dá)到一個(gè)新的高度的重要標(biāo)志，是運(yùn)算能力培養(yǎng)的高級(jí)階段。如：

20以?xún)?nèi)退位減法。學(xué)生在理解例1“15-9”的算法后，做一做“16-9=？”要讓學(xué)生交流各自的算法。說(shuō)一說(shuō)是怎樣算的？為什么要這樣算？通過(guò)交流比較，明確“破十法”“相加算減法”和“平十法”在口算時(shí)的思考方法，哪種方法更適合自己。

乘法運(yùn)算律的應(yīng)用。用簡(jiǎn)便方法計(jì)算75×12。思考：用乘法結(jié)合律怎樣分拆算式？用乘法分配律怎樣分拆算式？對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算的過(guò)程：①75×12=25×3×4×3=（25×4）×（3×3）=100×9=900。②75×12=（100-25）×12=100×12-25×4×3=1200-300=900。要讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“為什么這樣算？是怎樣分拆算式的？你認(rèn)為哪種算法好？”等問(wèn)題。

解方程：78-4x=30。解方程前思考：用等式的性質(zhì)怎樣解方程？用數(shù)量關(guān)系式怎樣解方程？解方程后交流：用等式性質(zhì)解方程的依據(jù)是什么？用數(shù)量關(guān)系解方程的依據(jù)是什么？你認(rèn)為哪種解方程的方法好，為什么？

4.由模仿練習(xí)到變式練習(xí)，提高思維深刻性

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，練習(xí)內(nèi)容不能長(zhǎng)期停留在模仿練習(xí)上，而需要根據(jù)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適度的變式練習(xí)。如乘法對(duì)加法分配律在簡(jiǎn)便運(yùn)算中的應(yīng)用。

基礎(chǔ)題型：

①（20+4）×25

②27×34+27×66 89×163-89×63

①括號(hào)外的數(shù)分別乘括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)得到整百數(shù)，再把積相加。

②兩個(gè)積中有相同的因數(shù)，另兩個(gè)因數(shù)的和（或差）是整百數(shù)，把算式轉(zhuǎn)化成相同的因數(shù)乘另兩個(gè)數(shù)的和（或差）。

變式題型：

①125×81

②25×396

③78×99+78 125×81-125

④22×32+11×36 65×42-30×21

在實(shí)施運(yùn)算分析時(shí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想。（轉(zhuǎn)化方法不唯一）

①把81轉(zhuǎn)化成（80+1）。

②把396轉(zhuǎn)化成（400-4）。

③把算式轉(zhuǎn)化成78×（99+1），125×（80-1）。

④把22×32轉(zhuǎn)化成11×64；把65×42轉(zhuǎn)化成130×21。

二、推理能力

推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位?！墩n標(biāo)》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。

推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考（思維）能力中的一種，因此《課標(biāo)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確要求，指出：要“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”。小學(xué)階段多用合情推理，演繹推理則在中學(xué)階段使用較多。在小學(xué)合情推理主要運(yùn)用“歸納推理”和“類(lèi)比推理”。 歸納和類(lèi)比是常用的合情推理。從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類(lèi)比是由特殊到特殊的推理。歸納推理和類(lèi)比推理的共同點(diǎn)，都是根據(jù)已有的事實(shí)，從具體問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得結(jié)論的過(guò)程，主要是猜想與合情推理。

（一）教材中“推理能力”內(nèi)容簡(jiǎn)析

《課標(biāo)》在第一、二學(xué)段數(shù)學(xué)思考目標(biāo)中提出：在觀察、操作等活動(dòng)中，能提出一些簡(jiǎn)單的猜想。在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。根據(jù)《課標(biāo)》要求，縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，猜想與合情推理幾乎涉及到數(shù)學(xué)的方方面面。合情推理是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，根據(jù)自己在生活或?qū)W習(xí)中積累的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，在教師指導(dǎo)下經(jīng)過(guò)非演繹的思維而得到合乎情理一般性結(jié)論的推理方式。其主要表現(xiàn)在：“看一看”（觀察），“它可能是……”（猜測(cè)），“做一做”（實(shí)驗(yàn)），“做出來(lái)看一看”（驗(yàn)證），“由上所述可得……”（歸納），“由一類(lèi)對(duì)象特征推測(cè)相關(guān)聯(lián)的另一類(lèi)對(duì)象特征”（類(lèi)比），“可以想象……”（聯(lián)想）等。

1.數(shù)與代數(shù)

（1）數(shù)概念的合情推理

學(xué)生在經(jīng)過(guò)三年多對(duì)“數(shù)”的學(xué)習(xí)，在四年級(jí)上冊(cè)歸納出“整數(shù)”的概念，既“表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11等都是自然數(shù)。0也是自然數(shù)。所有的自然數(shù)都是整數(shù)”。在給出概念之前，觀察這一列數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都可以用來(lái)記錄物體的個(gè)數(shù)、后面的數(shù)都比前面的數(shù)大、沒(méi)有最大的數(shù)等特點(diǎn)。因?yàn)闆](méi)有最大的整數(shù)，所以這里的歸納就是不完全歸納。在三年級(jí)上冊(cè)歸納出分?jǐn)?shù)的概念，既“像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的數(shù)都是分?jǐn)?shù)”。這里要觀察、想象“這樣的數(shù)”一類(lèi)數(shù)的特點(diǎn)，就是都含有分?jǐn)?shù)線(xiàn)、分子和分母。也就是含有分?jǐn)?shù)線(xiàn)、分子和分母的這樣的數(shù)，都是分?jǐn)?shù)。

（2）數(shù)大小比較的合情推理

學(xué)生首先認(rèn)識(shí)10以?xún)?nèi)的數(shù)，數(shù)大小概念的建立過(guò)程是從數(shù)物體個(gè)數(shù)的操作活動(dòng)直觀感知開(kāi)始。1個(gè)添上1個(gè)是2個(gè)，2個(gè)添上1個(gè)是3個(gè)……。10個(gè)比9個(gè)多1個(gè)，9個(gè)比8個(gè)多1個(gè)……，10比9大，9比8大，10比8也大……。由以上的觀察可以得出：兩個(gè)數(shù)比較大小，哪個(gè)數(shù)含有的“1”（計(jì)數(shù)單位）多，那個(gè)數(shù)就大。把這個(gè)結(jié)論類(lèi)推到在學(xué)習(xí)100以?xún)?nèi)、萬(wàn)以?xún)?nèi)及多位數(shù)的大小比較時(shí)，是否也成立呢？可以用“類(lèi)比推理”提出猜想。通過(guò)實(shí)物（小棒、計(jì)數(shù)器）驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)是成立的。如42>37，數(shù)位相同，42里面有4個(gè)十，37里面有3個(gè)十，4個(gè)十比3個(gè)十多，所以如42>37。23<25，數(shù)位相同，23、25每個(gè)數(shù)里面都有2個(gè)十，但23的個(gè)位有2個(gè)一，25的個(gè)位里面有5個(gè)一，所以23<25。把這個(gè)結(jié)論類(lèi)推到學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較，也可以提出猜想，分?jǐn)?shù)單位相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，是否分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)大呢？通過(guò)直觀圖可以看出2/5<3/5。因?yàn)?/5里面有2個(gè)1/5（分?jǐn)?shù)單位），3/5里面有3個(gè)1/5。所以2/5<3/5。

（3）數(shù)運(yùn)算的合情推理

教材中加、減、乘、除運(yùn)算法則的形成、拓展過(guò)程，都是運(yùn)用合情推理得以結(jié)論和拓展。如加法計(jì)算法則，二年級(jí)上冊(cè)通過(guò)例1“兩位數(shù)加一位數(shù)不進(jìn)位加”，初步得出結(jié)論：個(gè)位與個(gè)位對(duì)齊，個(gè)位兩個(gè)數(shù)相加的和寫(xiě)在個(gè)位的下面；例2“兩位數(shù)加兩位數(shù)不進(jìn)位加”，再次得出結(jié)論：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位算起，哪一位上兩個(gè)數(shù)相加的和寫(xiě)在那一位的下面；例3“兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加”，最后得出結(jié)論：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位算起，個(gè)位相加滿(mǎn)十向十位進(jìn)一。教材通過(guò)三個(gè)例題的三個(gè)特殊算式及做一做多題的練習(xí)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證，歸納出兩位數(shù)加兩位數(shù)的一般計(jì)算法則，這一計(jì)算法則具有普適性。隨著學(xué)習(xí)的深入，兩位數(shù)加兩位數(shù)的計(jì)算法則類(lèi)比推理到多位數(shù)加法和小數(shù)加法。

（4）規(guī)律中的合情推理

教材中積的變化規(guī)律，商不變的規(guī)律、商的變化規(guī)律以及探索規(guī)律等內(nèi)容，結(jié)論的形成和運(yùn)用過(guò)程都經(jīng)歷了觀察、尋找特點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)關(guān)系和變化趨勢(shì)，猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的過(guò)程。這一過(guò)程正是合情推理的過(guò)程。如教材在四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例3，呈現(xiàn)了兩組算式，每組由三個(gè)特殊關(guān)系的算式組成。通過(guò)從上到下觀察每一組三個(gè)算式，尋找因數(shù)的關(guān)系，變化的特點(diǎn)，變化的趨勢(shì)，及猜測(cè)如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘1000，積會(huì)怎樣變化等，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律，既“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾”。

（5）方程中的合情推理

五年級(jí)上冊(cè)安排了“簡(jiǎn)易方程”，不論是用字母表示方程模型的建構(gòu)，還是等式性質(zhì)結(jié)論的總結(jié)，都用到了合情推理。如用字母表示數(shù)的例1，從具體問(wèn)題情境出發(fā)，根據(jù)小紅與爸爸的對(duì)話(huà)，以表格形式有序地呈現(xiàn)了“小紅年齡與爸爸年齡”的列表。觀察列表，分析發(fā)現(xiàn)，這些式子中的每個(gè)式子都可以表示兩重含義， 一是表示某一年爸爸的年齡；二是表示小紅與爸爸之間的年齡關(guān)系。再通過(guò)分析、比較“爸爸年齡的等式”這些式子的相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些式子的數(shù)量關(guān)系都一樣，都是“小紅年齡+30=爸爸的年齡”（歸納整理）。在此基礎(chǔ)上提出猜想，能否用一個(gè)式子表示任何一年爸爸的年齡？為學(xué)生用字母（符號(hào)）表示小紅的年齡和用含有字母（符號(hào)）的式子表示爸爸的年齡創(chuàng)造了新知識(shí)的生成環(huán)境。從算式到含有字母式子的變化，是由確定量（唯一量）到不確定量（變量）的轉(zhuǎn)變，是由特殊到一般的質(zhì)變。算式只能表示一個(gè)特定情況，含有字母的式子不僅能表示一種特定情況，還能表示一個(gè)集合中任意一個(gè)值的量，即能一般化的表示一類(lèi)量。

（6）運(yùn)算定律中的合情推理

教材中的運(yùn)算定律主要是指：加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律。乘法交換律、結(jié)合律，教材的呈現(xiàn)方式是通過(guò)學(xué)生列出幾個(gè)例6、例7這樣的等式，再通過(guò)觀察這幾個(gè)等式有限的共同特點(diǎn)后歸納概括出交換律和結(jié)合律。這是一種歸納推理。另外，加法作為一種運(yùn)算，具有交換律和結(jié)合律，分析乘法與加法之間的關(guān)系，乘法作為加法的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，也應(yīng)該具有交換律和結(jié)合律。這是類(lèi)比推理，可以提出猜想：乘法算式在交換因數(shù)的位置后是否還相等？連乘算式，先乘前兩個(gè)數(shù)再與第三個(gè)數(shù)相乘與先乘后兩位數(shù)再與第一個(gè)數(shù)相乘，結(jié)果一樣嗎？然后讓學(xué)生自主列式，嘗試計(jì)算，進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)驗(yàn)證再歸納出“乘法交換律、結(jié)合律”的結(jié)論。

2.圖形與幾何

（1）圖形認(rèn)識(shí)中的合情推理

教材中圖形有很多種，許多圖形名稱(chēng)的認(rèn)識(shí)都是采用了歸納推理方式。如“長(zhǎng)方形”的初步的認(rèn)識(shí)， 一年級(jí)下冊(cè)教材中呈現(xiàn)了形狀、大小、長(zhǎng)短、寬窄都不相同的四個(gè)圖形。觀察這四個(gè)圖形的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這四個(gè)圖形大小不同、邊的長(zhǎng)短、寬窄也都不同，相同點(diǎn)是每個(gè)圖形都有四條邊，都有四個(gè)直角，每個(gè)圖形中都有兩條比較長(zhǎng)的邊和兩條比較短的邊。把具有這種相同點(diǎn)的圖形叫做長(zhǎng)方形。

平行線(xiàn)的認(rèn)識(shí)：教材設(shè)計(jì)了在紙上畫(huà)兩條直線(xiàn)的操作活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生畫(huà)出兩條直線(xiàn)位置的各種情況，歸納為在一張紙畫(huà)出的四種情況。兩條直線(xiàn)不相交有A、B兩種情況，兩條直線(xiàn)相交有C、D兩種情況。

繼續(xù)研究A、B兩種情況，把A、B兩種情況的兩條直線(xiàn)延長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)，A種情況兩條直線(xiàn)無(wú)論怎樣延長(zhǎng)，永遠(yuǎn)不相交；B種情況兩條直線(xiàn)延長(zhǎng)（或想象延長(zhǎng)）后會(huì)相交?？偨Y(jié)，類(lèi)似A種情況的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，叫做平行線(xiàn)。即：在同一個(gè)平面內(nèi)不相交的兩條直線(xiàn)，叫做平行線(xiàn)，也可以說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相平行。這里要展開(kāi)想象，同一個(gè)平面是什么意思？這個(gè)平面有多大？不相交是什么意思？?jī)蓷l直線(xiàn)有多長(zhǎng)？

（2）公式推導(dǎo)中的合情推理

圖形與幾何中的公式主要指：平面圖形的周長(zhǎng)公式，平面圖形的面積公式，立體圖形的表面積公式，立體圖形的體積公式及容器的容積公式等。

圓周長(zhǎng)公式：教材首先呈現(xiàn)了用繞線(xiàn)法、滾動(dòng)法計(jì)算圓的周長(zhǎng)的方法，使學(xué)生感受到這樣的計(jì)算方法繁瑣。然后引發(fā)學(xué)生思考，圓的周長(zhǎng)和圓的大小有關(guān)系嗎？這里可采用類(lèi)比推理方法。思考長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)取決于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，圓的周長(zhǎng)取決于圓的什么？提出猜想。為學(xué)生探索圓的周長(zhǎng)與這個(gè)圓的直徑、半徑關(guān)系創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)環(huán)境和探究欲望。接著，通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法，分別測(cè)量出大小不同圓的周長(zhǎng)和直徑，并計(jì)算出周長(zhǎng)和直徑的比值，填入表中。觀察表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，圓的周長(zhǎng)不同、直徑不同，也就是圓的大小不同，但周長(zhǎng)與直徑的比值都是3倍多一些。由此歸納出一句話(huà)，每一個(gè)圓的周長(zhǎng)都是這個(gè)圓直徑的3倍多一些。到底多多少？根據(jù)測(cè)量精準(zhǔn)度不同，得到的答案也不盡相同，集中大家意見(jiàn)，確定一個(gè)取值區(qū)間。在此基礎(chǔ)上介紹圓周率（π）并總結(jié)圓周長(zhǎng)公式。

三角形面積公式：教材首先呈現(xiàn)了學(xué)生交流，在沒(méi)有學(xué)習(xí)三角形面積計(jì)算方法情況下，如何計(jì)算紅領(lǐng)巾三角形面積的思路轉(zhuǎn)化方法。提出“能不能把三角形也轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形來(lái)計(jì)算面積”的猜想和“我們?cè)囈辉嚒钡膶?shí)驗(yàn)愿望。接著呈現(xiàn)了三位學(xué)生分別用兩個(gè)完全一樣的直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形拼圖的情境，并發(fā)現(xiàn)“用同樣的兩個(gè)三角形可以拼出一個(gè)平行四邊形”的結(jié)論（由三類(lèi)特殊三角形推理出一般結(jié)論）。然后提出“觀察各自拼成的平行四邊形和原來(lái)的三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么？”的問(wèn)題。發(fā)現(xiàn)三角形不論任何形狀，拼出的平行四邊形的底就是原來(lái)三角形的底，平行四邊形的高也是三角形的高（由特殊到一般）。以此推理出一個(gè)三角形的面積等于拼成的平行四邊形（原來(lái)兩個(gè)三角形）面積的一半。所以，三角形的面積=底×高÷2。依據(jù)“三角形面積=底×（高÷2）”和“三角形面積=底÷2×高”，可以為探索一個(gè)三角形如何轉(zhuǎn)化推導(dǎo)面積計(jì)算公式提供猜想思路和方向。

圓柱的體積：教材首先提出在已會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的體積基礎(chǔ)上，怎樣計(jì)算圓柱的體積呢？能不能將圓柱轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的立體圖形，計(jì)算出它的體積呢？這是教材為學(xué)習(xí)圓柱體積計(jì)算提出的轉(zhuǎn)化思想，怎樣轉(zhuǎn)化呢？可以用類(lèi)比推理提出猜想，即圓的面積公式推導(dǎo)時(shí)，將圓轉(zhuǎn)化成了學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，猜想圓柱體能轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的哪種立體圖形，怎樣轉(zhuǎn)化呢？教材以學(xué)生交流方式呈現(xiàn)，把圓柱的底面分成許多相等的扇形，把圓柱切開(kāi)，再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。多媒體課件展示，把圓柱底面平均分成16等份、32等份，切開(kāi)再拼近似長(zhǎng)方體。使學(xué)生在想象中感受到：等分成的小扇形越多，拼成的立體圖形越接近長(zhǎng)方體。這里是不完全歸納的聯(lián)想推理，也是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的有效方法。接著，教材提出：把拼成的長(zhǎng)方體與原來(lái)的圓柱進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)什么？這是一個(gè)觀察、分析的過(guò)程。立體轉(zhuǎn)化前后什么沒(méi)有變？發(fā)現(xiàn)體積沒(méi)變，底面積沒(méi)變，高沒(méi)變，只是形狀變了。由此推出：長(zhǎng)方形的底面積=圓柱底面積，長(zhǎng)方體的高=圓柱的高。由長(zhǎng)方體的體積等于底面積乘高可以得到：圓柱的體積=底面積×高。

3.統(tǒng)計(jì)與概率

（1）統(tǒng)計(jì)中的合情推理

數(shù)據(jù)收集整理是統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容，是完成統(tǒng)計(jì)制表、制圖的前提和基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)的收集要通過(guò)整理形成一個(gè)結(jié)論，而小學(xué)生收集數(shù)據(jù)的過(guò)程大多是“小樣本枚舉法”，通過(guò)特殊的個(gè)例來(lái)歸納一般的結(jié)果。如：教材二年級(jí)下冊(cè)“數(shù)據(jù)收集整理”例1，學(xué)校要給同學(xué)們訂做校服，有下面四種顏色（紅、黃、藍(lán)、白），選哪種顏色合適？理論上應(yīng)是選大多數(shù)同學(xué)喜歡的顏色為選取的方向。那怎樣知道哪種顏色是大多數(shù)同學(xué)喜歡的呢？通過(guò)學(xué)生討論、交流，發(fā)現(xiàn)在全校調(diào)查，人數(shù)太多，不可能，進(jìn)而形成要在班里進(jìn)行調(diào)查的意見(jiàn)。通過(guò)有條件的收集數(shù)據(jù)，整理成了如下統(tǒng)計(jì)表（實(shí)際教學(xué)應(yīng)以本班調(diào)查數(shù)據(jù)為準(zhǔn)）。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)喜歡藍(lán)色的人數(shù)最多。得出結(jié)論：如果這個(gè)班訂做校服，選擇藍(lán)色的合適。全校選擇這種顏色做校服合適嗎？為什么？這里要使學(xué)生感受到，這種不完全歸納推理得出的結(jié)論，未必正確，需要驗(yàn)證（征求其它班級(jí)的意見(jiàn)）。教材設(shè)計(jì)體現(xiàn)了歸納推理的過(guò)程：①?gòu)默F(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)；②選取有限的學(xué)生人數(shù)收集數(shù)據(jù)；③歸納、整理、觀察、分析；④提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑤檢查猜想。

求平均數(shù)。在教材中呈現(xiàn)了兩種求平均數(shù)的方法。

方法一，移多補(bǔ)少。通過(guò)實(shí)際操作（或觀察示意圖，展開(kāi)想象），用實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的方法感受求平均數(shù)方法的可行性。

方法二，計(jì)算。把四個(gè)小隊(duì)收集到的礦泉水瓶總數(shù)平均分成4份，每份就是這四個(gè)小隊(duì)的平均數(shù)。

推斷決策：可以用移多補(bǔ)少的方法求平均數(shù)，也可以用數(shù)據(jù)的總數(shù)除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)求平均數(shù)。

（2）概率中的合情推理

五年級(jí)上冊(cè)“可能性”安排了簡(jiǎn)單概率的內(nèi)容。例1，教材呈現(xiàn)了“三人抽簽表演節(jié)目”的情境。首先，通過(guò)猜想“每個(gè)人可能抽到什么節(jié)目”，感受等可能性（枚舉法）。接著讓小明先抽簽，猜想抽到什么節(jié)目？實(shí)際抽簽，抽到跳舞，感受抽的結(jié)果與想抽的愿望可能一致，也可能不一致，抽前是不確定的，但抽到跳舞后，可以判斷并確定剩下的兩人不可能再抽到跳舞…通過(guò)猜想、驗(yàn)證、排除的循環(huán)，直到推出最后的確定現(xiàn)象。經(jīng)過(guò)這個(gè)游戲活動(dòng)，學(xué)生一方面感受抽簽的不確定現(xiàn)象，另一方面體會(huì)猜想、推斷結(jié)果的可能性，以及驗(yàn)證的確定性。做一做，體會(huì)左邊盒子摸到紅棋子是確定的，不能摸到綠棋子也是確定的（演繹推理：大前提正確，結(jié)論一定正確）；右邊盒子摸到紅、綠、黃、藍(lán)棋子是不確定的。

例3，教材設(shè)計(jì)了摸球游戲?！昂凶永镅b有紅、黃兩種顏色的球，每個(gè)小組的盒子里裝的球都是一樣的?！卑凑战滩幕顒?dòng)要求，每個(gè)小組摸20次，記錄摸球的顏色，最后整理成統(tǒng)計(jì)表（實(shí)際教學(xué)以本班活動(dòng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為研究資源）。觀察、分析摸球統(tǒng)計(jì)情況，雖然各小組摸到紅球、黃球的次數(shù)不盡相同，但都是摸到紅球的次數(shù)比黃球的次數(shù)多，摸到紅球的總次數(shù)比摸到黃球的總次數(shù)多的多。以此來(lái)推斷盒子里紅球比黃球多，但不能確定盒子里紅球有幾個(gè)、黃球有幾個(gè)。如果各小組再摸一次，可以確定大多數(shù)小組能摸到紅球，但不能確定每個(gè)小組都會(huì)摸到紅球。這個(gè)活動(dòng)，使學(xué)生感受歸納推理結(jié)論的不確定性，要通過(guò)驗(yàn)證才能確定。

（二）在教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)逐漸提升的長(zhǎng)期過(guò)程，《課標(biāo)》明確要求“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)教學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中”。這里的“貫穿整個(gè)教學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程”應(yīng)該有這樣幾層含義：

1.它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容

這一點(diǎn)，前面結(jié)合教材已經(jīng)作了簡(jiǎn)要分析。

2.它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種課型

概念教學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知，建立表象，揭示本質(zhì)屬性的過(guò)程，從特定對(duì)象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念。如周長(zhǎng)。從現(xiàn)實(shí)生活中的多種實(shí)物入手，直觀感知物體的表面都有邊線(xiàn)。樹(shù)葉邊線(xiàn)的總長(zhǎng)是樹(shù)葉的周長(zhǎng)；三角尺三條邊線(xiàn)的總長(zhǎng)是三角尺的周長(zhǎng)；數(shù)學(xué)課本封面四條邊線(xiàn)的總長(zhǎng)是數(shù)學(xué)課本封面的周長(zhǎng)；鐘表盤(pán)邊線(xiàn)的總長(zhǎng)是鐘表面的周長(zhǎng)等，在頭腦中建立物體表面周長(zhǎng)的概念。然后，抽象出物體表面的幾何圖形，直觀認(rèn)識(shí)封閉圖形一周的長(zhǎng)度，是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

計(jì)算教學(xué)。它貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域。在計(jì)算活動(dòng)過(guò)程中尋找方法，這是一個(gè)經(jīng)歷觀察、計(jì)算、歸納等合情推理去發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法的過(guò)程。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注意挖掘計(jì)算素材中的合情推理，促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)。如，三年級(jí)上冊(cè)“多位數(shù)乘一位數(shù)”。讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般運(yùn)算法則的建立過(guò)程。從簡(jiǎn)單運(yùn)算入手，經(jīng)歷幾個(gè)案例的計(jì)算和分析過(guò)程，歸納出一般的計(jì)算方法。例1，理解并掌握不進(jìn)位乘法豎式的書(shū)寫(xiě)格式，乘的順序和積的書(shū)寫(xiě)位置。例2，理解并掌握一次進(jìn)位乘法豎式的書(shū)寫(xiě)格式，乘的順序和積的書(shū)寫(xiě)位置。例3，理解并掌握連續(xù)進(jìn)位乘法豎式的書(shū)寫(xiě)格式，乘的順序和積的書(shū)寫(xiě)位置。在經(jīng)過(guò)三個(gè)例題學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出多位數(shù)乘一位數(shù)乘法的計(jì)算法則：從個(gè)位乘起，用一位數(shù)依次乘多位數(shù)的每一位，哪一位上乘得的積滿(mǎn)幾十，就向前一位進(jìn)幾。

規(guī)律教學(xué)。在探索某規(guī)律的過(guò)程中，學(xué)生需要用到觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證、概括等思維方法。發(fā)現(xiàn)規(guī)律往往要經(jīng)歷多次猜想、驗(yàn)證的探究過(guò)程，即類(lèi)比猜想，舉例推翻猜想，改變方法，再次猜想，驗(yàn)證猜想，得出結(jié)論。如五年級(jí)下冊(cè)“3的倍數(shù)的特征”。學(xué)生學(xué)過(guò)2、5的倍數(shù)特征，知道只需要看個(gè)位數(shù)，就可以判斷這個(gè)數(shù)是不是2或5的倍數(shù)。學(xué)習(xí)3的倍數(shù)前，類(lèi)比猜想：只看個(gè)位數(shù)能不能判斷一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)？推翻猜想：3、6、9是3的倍數(shù)，13、16、19是3的倍數(shù)嗎？再次猜想：一個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)嗎？猜想驗(yàn)證：觀察百數(shù)表中各數(shù)，圈出3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)排成“斜行”，通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即十位與個(gè)位數(shù)字的和不變，是3的倍數(shù)。最后得出結(jié)論：一個(gè)數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。舉例驗(yàn)證通過(guò)學(xué)生自主去完成。

實(shí)驗(yàn)操作教學(xué)。小學(xué)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象、直觀思維為主，而抽象性與邏輯性思維是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的特點(diǎn)之一，這兩者存在矛盾。指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，如擺一擺、折一折、剪一剪、量一量、畫(huà)一畫(huà)、掂一掂及各種實(shí)驗(yàn)，去體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)的思考過(guò)程，有利于縮小這一矛盾。學(xué)生在操作過(guò)程中，進(jìn)行觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，有利于學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)。如：二年級(jí)“平均分”、四年級(jí)“三角形的內(nèi)角和”、五年級(jí)“長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖”、六年級(jí)“圓錐的體積”等。

四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”。①發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象：連接長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行觀察，長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是90°，內(nèi)角和是360°。②提出猜想：直角三角形是長(zhǎng)方形的一半，內(nèi)角和應(yīng)該是180°。③驗(yàn)證猜想：用任意（最好選取直角、銳角和鈍角）三角形進(jìn)行驗(yàn)證。（合情推理三種方法）

測(cè)算法。用量角器分別測(cè)量三個(gè)角的度數(shù)，再把三個(gè)角的度數(shù)加起來(lái)，得到三角形的內(nèi)角和是180°或大約180°。

剪拼法。把三角形的3個(gè)角剪下來(lái)，拼到一起得到一個(gè)平角。平角是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

折拼法。把三角形的3個(gè)角折到一起得到一個(gè)平角。這樣就得出三角形的內(nèi)角和是180°。

解決問(wèn)題教學(xué)。三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)”例5，用16張邊長(zhǎng)是1分米的正方形紙拼長(zhǎng)方形和正方形。怎樣拼才能使拼成的圖形周長(zhǎng)最短？通過(guò)閱讀與理解，明確“用16張正方形紙拼圖形，有不同的拼法”和待解決的問(wèn)題“怎樣拼周長(zhǎng)最短”。解決問(wèn)題的方法，可以用實(shí)物正方形動(dòng)手拼一拼，也可以畫(huà)圖進(jìn)行。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是觀察、分析、推斷拼出的多種圖形。先交流展示拼出的各種圖形，再猜想哪種拼圖周長(zhǎng)最短。最后通過(guò)分別計(jì)算各圖形的周長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拼成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，小正方形的個(gè)數(shù)越接近，這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)越小。拼成的正方形周長(zhǎng)最小。當(dāng)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積之后，這一結(jié)論可以通過(guò)類(lèi)比推理猜想，長(zhǎng)方形的面積一定，長(zhǎng)、寬如何變化，周長(zhǎng)最小。如，面積是24平方分米的長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)最小是多少？

3.它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)

如：預(yù)習(xí)，復(fù)習(xí)、課堂教學(xué)、練習(xí)、檢測(cè)考試……在所有的這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，逐步要求學(xué)生做到言必有據(jù)，合乎邏輯。

預(yù)習(xí)。抓住新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，適時(shí)地提出猜想要求，如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)前，預(yù)習(xí)除法的基本性質(zhì)。提出：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，除法有基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)有這樣的基本性質(zhì)嗎？如果有，猜一猜，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可能是什么？學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)前，提出根據(jù)“兩個(gè)數(shù)相除也叫兩個(gè)數(shù)的比”，猜想“比”有這樣的基本性質(zhì)嗎？如果有，猜一猜比的基本性質(zhì)可能是什么？

復(fù)習(xí)?；仡檶W(xué)過(guò)相關(guān)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)鏈，培養(yǎng)學(xué)生的猜想、聯(lián)想、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思維能力。如多邊形面積計(jì)算的復(fù)習(xí)。提出：平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)方法有哪些相同點(diǎn)？推導(dǎo)時(shí)抓住“什么變了？什么沒(méi)變？”進(jìn)行推導(dǎo)。想象：當(dāng)梯形的上底逐漸縮小，成為0時(shí)，梯形變成了什么圖形？猜想：梯形的面積公式變成了什么？想象：當(dāng)梯形的上底逐漸變長(zhǎng)，變成與下底一樣長(zhǎng)時(shí)，梯形變成了什么圖形？猜想：梯形的面積公式變成了什么？

練習(xí)。在模仿練習(xí)、變式練習(xí)基礎(chǔ)上增強(qiáng)綜合練習(xí)內(nèi)容。如在學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘多位數(shù)及乘法估算后，提升學(xué)生的估算和推理能力的練習(xí)：把下面四個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果從小到大排序。A. 28×12； B. 26×12； C. 11×26； D. 13×28。學(xué)過(guò)周長(zhǎng)計(jì)算后，提升學(xué)生視圖和推理能力的練習(xí)。把下面四個(gè)圖形的周長(zhǎng)按從小到大排序。學(xué)過(guò)面積后，把四個(gè)圖形的面積按一定順序排列。學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的大小比較后，把下面的分?jǐn)?shù)按大小排列。等等。