張瑤

【摘要】解題研究是溝通數(shù)學(xué)理論與實踐研究的橋梁，是數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的永恒主題，深受廣大教師和學(xué)生的關(guān)注.然而解題思維具有動態(tài)、內(nèi)隱等特征，借助波利亞的“怎樣解題表”將解題程序和自我調(diào)節(jié)的監(jiān)控系統(tǒng)有機(jī)結(jié)合，使解題活動成為有目標(biāo)、有方法的主動行為.通過對解題思維過程的內(nèi)省，培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性活動的能力.

【關(guān)鍵詞】“怎樣解題表”;反思性學(xué)習(xí);解題研究

一、問題的提出

反思性學(xué)習(xí)是應(yīng)課程改革而產(chǎn)生的一種嶄新的學(xué)習(xí)方式，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的突破口，是適應(yīng)人的終身發(fā)展需要的重要學(xué)習(xí)方式.反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是指通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程的反思來進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效學(xué)習(xí)方式[1].它是對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考，以求得新的深入認(rèn)識，或提出疑問，作為新的思考起點的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式[2].然而不論是從上一輪小課題對學(xué)生自我反思維度的調(diào)查結(jié)果來看，還是從教學(xué)實際本身考慮，反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是較為薄弱的環(huán)節(jié).面對這一現(xiàn)實問題，筆者試圖從解題教學(xué)這一深受廣大教師關(guān)注，符合學(xué)生學(xué)習(xí)心理，較易入手的方式作為突破口，借助波利亞的“怎樣解題表”將解題思維過程外顯化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動成為有目標(biāo)、有方法的主動行為，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，并通過對解題思維過程的內(nèi)省，提高思維的創(chuàng)造性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)的能力.

二、波利亞和他的“怎樣解題表”

喬治·波利亞（Geoge Polya，1887—1985），美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)方法論大師，對數(shù)學(xué)思想的理解與解題方法的歸納形成了自己獨特的數(shù)學(xué)教育思想，尤其是他的著作《怎樣解題》一書更堪稱解題教學(xué)的經(jīng)典之作，被數(shù)學(xué)教育工作者廣泛應(yīng)用于教學(xué)研究[3].

波利亞通過自己數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗，致力于探索解題過程的一般規(guī)律，具體表現(xiàn)在他的“怎樣解題表”上.它把解題過程概括為四個階段：弄清題意、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧.這四個階段并不是彼此孤立的，而是一個四步驟的宏觀解題程序，其中“弄清題意”是認(rèn)識問題、并對問題進(jìn)行表征的過程，它是成功解題的必要前提;“擬訂方案”需要反復(fù)思考探索，把握住題目的核心和解題關(guān)鍵，尋找快捷有效地解題思路;“執(zhí)行方案”則需要認(rèn)真貫徹落實擬定的方案，且不斷解決在解題實際過程中遇到的意料之外的難題;“回顧”是解題過程中最容易被忽視的一個環(huán)節(jié)，是不斷總結(jié)和反思的環(huán)節(jié)，也是引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)步的重要環(huán)節(jié)，波利亞也將回顧視為解題的必要環(huán)節(jié)[4].這四個步驟不但能促成解題思路的形成，提高解題成功的可能性，還能誘發(fā)數(shù)學(xué)靈感，形成好的念頭，更重要的是他將自我調(diào)節(jié)的監(jiān)控系統(tǒng)植入解題過程中，是進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)的良好契機(jī).

三、實踐波利亞“怎樣解題表”的教學(xué)片段

為了使大家對“怎樣解題表”的實踐過程有更直觀的感受和深刻的理解，筆者節(jié)選了教學(xué)案例的部分實踐過程，以期更好地分享“怎樣解題表”教學(xué)實踐成果.下面是在解題教學(xué)中實踐波利亞的“怎樣解題表”的教學(xué)片段，以期邊實踐，邊反思，邊調(diào)整，邊完善.

題目：已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.求證：OE=OF.

（一）弄清題意

師：這是一個什么問題？

生：這是一個平面幾何的證明題.

師：已知條件是什么？把條件的各個部分分開，你能否把它說出來？

生：已知條件有四個：① 四邊形ABCD是正方形;② AC，BD是其對角線，并相交于點O;③ E是AC上一點;④ 連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.

師：要求證什么？

生：要求證兩段線段OE，OF相等.

師：滿足條件是否可能？

生：顯然滿足條件是可能的，只是對條件③E是AC上一點還有些不明確，AC是指線段還是直線，如果條件③確定，那么條件④也就確定了.

師：若假設(shè)題目中沒有給出圖形，條件③明確為E是線段AC上一點，你會把E點畫在哪呢？

生：E點有可能在AO之間，也有可能在OC之間（也就是本題圖中給出的位置），E點也有可能就在O點處.

師：根據(jù)上述考慮能按E點的不同位置畫出圖形嗎？

生：能，應(yīng)該是三種情況分別畫出三種圖形.

生：可是正方形是軸對稱圖形，它的兩條對角線也是它的對稱軸，根據(jù)對稱性E點在AO之間與E點在OC之間應(yīng)屬于同種情形.對E點在O點處，點E，O，F(xiàn)，M四點重合，顯然OE=OF是成立的.因此，我們只需研究題中圖形即可.

師：很好！我們找到了這道題的一般圖形和它的一個特例.回到題中給出的圖形，要確定未知，所給條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

生：條件感覺是充分的，但不是十分確定.

師：好，讓我們繼續(xù)往下走.

（二）擬訂方案

師：要證明兩條線段相等，你能想到哪些方法呢？

生：全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)等.

師：這道題應(yīng)該從哪個方法入手呢？

生：全等三角形.

師：為得到線段OE，OF相等，我們需證哪對三角形全等呢？

生：△BOE和△AOF.

師：用紅筆將這兩個三角形勾畫出來，你能找到證明這對三角形全等的條件嗎？

生：首先這兩個三角形都是直角三角形，有直角相等的條件.

生：根據(jù)正方形的性質(zhì)又可以得到OA=OB.

師：僅憑上述兩個條件能證明△BOE≌△AOF嗎？

生：不能，還需一個邊的條件或一個角的條件.

師：能找到這個條件嗎？

生：（沉默）

師：回到題目中看看條件都用完了嗎？或者圖形中還有隱含條件嗎？或者聯(lián)想一下，你以前做過與這道題相像的題目嗎？

生：我記得在學(xué)直角三角形全等時曾經(jīng)做過一道題，與此題有點像.題目是這樣的：在△ABC中已知EH=EB，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD，CE交于點H，求證△BEC≌△AEH.

師：還記得當(dāng)時是怎么證明的嗎？

生：∠AEH=∠BEC=90°，EH=EB這兩個條件是顯然的，對，還利用了圖中的隱含條件∠AHE=∠DHC（對頂角相等）從而得到∠EAH=∠ECB（等角的余角相等）.

生：找到了，我們現(xiàn)在這道題也可以用圖中的隱含條件，從而得到∠OBE=∠OAF，利用角邊角條件可以證明△BOE≌△AOF，從而得到OE=OF.

（三）執(zhí)行方案

師：太好了，詳細(xì)說出你求證的過程，并嘗試找到每一步的幾何依據(jù).

（有了上述分析過程，具體解題步驟略）

（四）回顧

師：這道題的證明都用到了哪些知識？

生：正方形的性質(zhì)，垂直的定義，等角的余角相等，判斷三角形全等的條件，全等三角形的性質(zhì)等.

師：你還有其他的方法證明嗎？

生：還可以用角角邊條件證明那兩個三角形全等.

師：你能不能僅從圖中一下子看出要證明的結(jié)論來.

生：E，F(xiàn)可看作正方形對角線AC，BD上的兩個動點，F(xiàn)點跟隨E點的運(yùn)動變化而變化.

師：回到先前的問題，若條件③E是直線AC上一點，結(jié)論會有變化嗎？畫圖看看.

生：E點不論在AC的延長線上還是反向延長線上，結(jié)論不變，證明的方法也相同.

師：整理你的思路，總結(jié)解題所用的思想方法.

四、“怎樣解題表”實踐運(yùn)用中值得注意的問題

首先，教學(xué)實踐表明波利亞的“怎樣解題表”是指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握解決數(shù)學(xué)問題的行動指南，學(xué)生只有依照科學(xué)的數(shù)學(xué)理論，反復(fù)訓(xùn)練提高，才能不斷有效提高分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力，并逐漸形成科學(xué)有效的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣[5].

其次，波利亞在他的解題理論著作中給出了很多提示語，這些提示語能引導(dǎo)學(xué)生的思維方向.而且這些提示語是在數(shù)學(xué)問題中自然而然形成的，具有一般性和常識性的特點，符合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維方式，這就要求教師不僅要善于提煉提示語，更要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生逐漸學(xué)會提煉學(xué)生自己的提示語.

再次，波利亞解題表中的大量提示語是針對主體自身思維活動的反詰，自我監(jiān)察、自我預(yù)測、自我調(diào)節(jié).在解題教學(xué)中應(yīng)注重訓(xùn)練學(xué)生將這些提示語內(nèi)化為自己的一種解題習(xí)慣，久而久之形成適合自己的解題程序.

最后，波利亞的解題理論及“怎樣解題表”畢竟是從國外引進(jìn)的，我們應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實際將其本土化，使其更好的運(yùn)用于我們的數(shù)學(xué)教學(xué).

五、波利亞“怎樣解題表”對培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)能力的幾點思考

（一）弄清問題，加強(qiáng)對理解題意的反思

在培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)能力的實踐中，學(xué)生的個體差異主要集中表現(xiàn)在理解題意時自我反思的能力差異上，從而導(dǎo)致對題意的理解不準(zhǔn)確、不全面.教師在培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)能力時，應(yīng)注重從以下幾個方面著手，理解題意是否有偏差？能否以恰當(dāng)?shù)男问矫枋鲱}目中的條件？能否對題目進(jìn)行符號表征？對問題含義的設(shè)問是否清楚？有關(guān)對象即概念、性質(zhì)、方法的意義是否清晰？所用概念、定理的條件是否正確？對相近對象的異同是否認(rèn)識清楚？

（二）擬訂方案，實施方案，加強(qiáng)對解題思維策略的反思

學(xué)生解題思維策略的選取，直接影響了“怎樣解題表”實踐運(yùn)用的實際效果.解題思維策略的反思可從以下幾個角度考慮：看到題目后最初的想法？走過哪些彎路？為什么原先的思路行不通？有什么規(guī)律性的經(jīng)驗可以吸??？我的思考與教師、同學(xué)的思考有什么不同？中途是否做過某些預(yù)測和調(diào)節(jié)？這些調(diào)節(jié)對自己的思考是否起到作用[5]？

（三）回顧，加強(qiáng)對解題結(jié)果的反思

做好“怎樣解題表”實踐運(yùn)用過程中解題結(jié)果的反思，對培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維，誘發(fā)數(shù)學(xué)靈感及培養(yǎng)反思性學(xué)習(xí)能力都有很好的促進(jìn)作用.作為教師一定要特別注重引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對解題結(jié)果的反思.具體講我們可以從探討解法、挖掘規(guī)律、引申結(jié)論等方面思考[6].

從探討解法的角度反思：能否利用不同的知識，通過不同的途徑求得問題的解？通過對不同解法的比較，能否找到更滿意的解法？是否有更一般的方法？是否有更特殊的方法？這些方法各有什么特征？

從挖掘規(guī)律角度的反思：這個問題能否導(dǎo)出一些有用的東西？這個結(jié)果或解法能否用于解決其他問題？我們的方法是否有需要改進(jìn)的地方[6]？

從引申結(jié)論的角度反思：結(jié)論合理嗎？有沒有反例？結(jié)論可以一般化嗎？可以推廣嗎？可以引申嗎？是否有變式問題？解題關(guān)鍵在哪里？

總之，“怎樣解題表”對培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)能力有較好幫助，最終這種幫助會體現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方面，只有從鍛煉思維的角度來看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才會真正關(guān)注想法中深層次的東西，關(guān)注思維的深度與高度，從而自覺形成反思性學(xué)習(xí)的能力.筆者主要在教學(xué)實踐過程中，借助波利亞的“怎樣解題表”對培養(yǎng)學(xué)生反思性學(xué)習(xí)能力進(jìn)行了一些有益嘗試和探索，取得的成果是基于教學(xué)過程中所涉及的學(xué)生.在不同的地區(qū)、不同的學(xué)校，學(xué)生具有不同的背景和特點，需要廣大教師認(rèn)真分析掌握學(xué)生的特殊情況，掌握一些必要的增強(qiáng)反思能力的教學(xué)策略，才能有針對性的運(yùn)用好“怎樣解題表”，真正發(fā)揮其實效性.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭菊萍.反思性學(xué)習(xí)簡論[J].上海教育科研，2002（8）：43-45.

[2]趙玉香.反思性學(xué)習(xí)理論與實踐探索[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2006：108.

[3]梁紅娥.波利亞的數(shù)學(xué)解題思想及其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2005.

[4]G·波利亞著.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.

[5]唐劍琴.利用波利亞“怎樣解題表”提高習(xí)題教學(xué)價值[J].新課程，2015（7）：23

[6]羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考教師版，2004（4）：23-25.