楊劍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象之一是“形”，數(shù)學(xué)中的形是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物. 在初中幾何教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象意味著學(xué)生對(duì)形進(jìn)行加工，其中的加工方式之一就是想象，而想象的產(chǎn)物往往就是想象表象. 作為數(shù)學(xué)教師，我們要研究幾何教學(xué)中學(xué)生構(gòu)建想象表象的契機(jī)，并抓住這個(gè)契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 初中幾何;想象表象;學(xué)習(xí)品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)象是數(shù)與形，其中“形”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最充分的體現(xiàn)，就是幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí). 幾何學(xué)習(xí)的對(duì)象自然是各種各樣的形，而這些形又不是實(shí)際生活中物體的形，而是經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象之后形成的形. 從數(shù)學(xué)抽象的角度來看，這些形既可以視作數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，也可以視作學(xué)生想象的結(jié)果，因?yàn)橄胂蟮倪^程就是抽象思維發(fā)揮主要作用的過程. 同時(shí)，在初中幾何的學(xué)習(xí)中，有些圖形已經(jīng)完全脫離了實(shí)際生活，客觀上只來自學(xué)生的想象，尤其是學(xué)生基于抽象圖形進(jìn)行深度思維加工的時(shí)候，學(xué)生大腦中所形成的圖形基本上都是想象的產(chǎn)物，這在心理學(xué)上被稱為想象表象. 研究表明，初中數(shù)學(xué)幾何教材作為數(shù)學(xué)形象知識(shí)的載體，對(duì)于提高初中生的邏輯思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的想象力來說，發(fā)揮著重要的作用，能真正促進(jìn)學(xué)生幾何思維品質(zhì)的提高. 基于這樣的判斷，筆者以為，在初中幾何教學(xué)中，教師要善于抓住幾何教學(xué)的契機(jī)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

初中幾何教學(xué)中想象表象的存在

表象是人見過的事物在大腦中留下的印象;想象表象是人在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上通過思維加工形成的表象，其在實(shí)際生活中可能并不存在，但想象表象確實(shí)能夠支撐人去認(rèn)識(shí)事物. 想象表象得以構(gòu)建的主要原因在于人的想象，大量的實(shí)踐研究以及相關(guān)的理論研究表明，想象是一種特殊的思維活動(dòng)，是憑形象思維和邏輯思維對(duì)頭腦中已經(jīng)接受和貯存的各種信息、材料、表象進(jìn)行重新排列組合、改造，創(chuàng)造出未出現(xiàn)事物的形象……想象的基本材料是表象，表象貧乏的人，想象不可能豐富.

在初中幾何教學(xué)中，學(xué)生有豐富的構(gòu)建想象表象的機(jī)會(huì). 例如，在“三角形的邊”的教學(xué)中，教師幫學(xué)生建構(gòu)三角形的邊的認(rèn)識(shí)時(shí)，可以出示圖1，將塔吊的吊臂與兩邊的鋼索組合的圖形抽象成一個(gè)三角形，這樣三條邊的認(rèn)識(shí)對(duì)于學(xué)生來說就變得非常直觀了. 如果進(jìn)一步從學(xué)生表象構(gòu)建的角度去分析，可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)學(xué)生大腦中所構(gòu)建出來的三角形與教師所想象的有所不同. 根據(jù)筆者所做的調(diào)查，有相當(dāng)一部分學(xué)生在認(rèn)識(shí)三角形的時(shí)候，大腦中首先出現(xiàn)的是“三個(gè)角”，這符合學(xué)生對(duì)三角形概念的最直接反應(yīng)，因?yàn)橛腥齻€(gè)角所以該圖形被稱為三角形（這實(shí)際上也是數(shù)學(xué)概念自身的特征之一，初中幾何中的數(shù)學(xué)概念基本上都是基于抽象得到的圖像的最直觀的特征來進(jìn)行命名的，包括角的符號(hào)、平行的符號(hào)等，實(shí)際上這也是經(jīng)由直觀想象后得到的表象的產(chǎn)物）. 同時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了三角之后，會(huì)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三邊，所以后來在看到只有三條邊的圖形時(shí)，往往就直觀地認(rèn)識(shí)到這就是三角形. 由于學(xué)生加工三角形所需要的思維過程并不復(fù)雜，通過想象構(gòu)建出來的三角形表象也比較直接，因而教師即使不認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行加工，學(xué)生也可能通過自己的經(jīng)驗(yàn)及思維構(gòu)建出來. 但不可否認(rèn)的是，對(duì)于許多類似于此的幾何知識(shí)，學(xué)生都有類似的想象活動(dòng)，大量的能夠支撐幾何學(xué)習(xí)的想象表象也是在此過程中出現(xiàn)的.因此可以認(rèn)為，初中生的幾何學(xué)習(xí)離不開想象表象的存在，而學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中也必然要借助想象表象去構(gòu)建最基本的圖形，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建復(fù)雜的圖形，同時(shí)認(rèn)識(shí)圖形及圖形變換中存在的規(guī)律.

基于想象表象培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)

就筆者的分析來看，初中生在幾何學(xué)習(xí)中，想象表象有時(shí)候是自然形成的，這得益于學(xué)生在生活中已經(jīng)形成了一定的構(gòu)建想象表象的能力. 而遇到復(fù)雜圖形或復(fù)雜問題的時(shí)候，其想象表象構(gòu)建往往會(huì)有一定的困難，而教師幫助學(xué)生克服這個(gè)困難，就可以在促進(jìn)學(xué)生更好地理解幾何概念與規(guī)律的同時(shí)，提升自身的學(xué)習(xí)品質(zhì). 下面以“三角形”教學(xué)中的幾個(gè)細(xì)節(jié)來說明.

示例一：三角形知識(shí)學(xué)習(xí)之后進(jìn)行的簡(jiǎn)單總結(jié).

筆者提出的問題是：根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的大小，我們可以對(duì)三角形進(jìn)行什么樣的分類？

提出這個(gè)問題之后，筆者沒有給學(xué)生呈現(xiàn)任何圖像，而是讓學(xué)生基于這個(gè)問題去思考，同時(shí)提醒他們可以在草稿紙上畫一畫. 在巡視觀察的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)在草稿紙上畫出不同類型的三角形，其中有銳角三角形，有直角三角形，也有鈍角三角形. 但可以看到，有些學(xué)生起初有些模糊，隨后畫出的三角形也不是分類思想下的畫圖結(jié)果. 于是筆者就在小組討論的過程中追問：你為什么會(huì)畫出這些三角形？你畫的三角形有沒有重復(fù)的？（因?yàn)橛械膶W(xué)生畫的是兩個(gè)形狀不同的銳角三角形）這樣的追問，可以讓學(xué)生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)更加明確，于是大腦中的三角形就與三角形的分類形成了良好的對(duì)應(yīng). 這個(gè)對(duì)應(yīng)其實(shí)就是學(xué)生在展開思維與想象，最終形成的三角形分類結(jié)果也就清晰了.

示例二：探究三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì).

筆者在教學(xué)中給出的問題是：有一只螞蟻在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)處，它想到達(dá)相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，有幾條路徑可以選擇呢？它們的長(zhǎng)度一樣嗎？

上述問題的提出同樣不急著給出圖形，而是讓學(xué)生結(jié)合問題的文字描述，自己在大腦中想象相應(yīng)的圖形（可以在草稿紙上畫圖）. 調(diào)查表明，學(xué)生此時(shí)的想象重點(diǎn)已經(jīng)不是三角形本身了，而是根據(jù)螞蟻可能走的兩條路徑，所得的“兩邊之和”與“第三條邊”的長(zhǎng)短關(guān)系了. 這是一個(gè)問題，這個(gè)問題會(huì)驅(qū)動(dòng)學(xué)生去猜想這個(gè)長(zhǎng)短關(guān)系，并嘗試做出證明. 我們有理由認(rèn)為，此時(shí)學(xué)生大腦中的想象表象是有效的，甚至是動(dòng)態(tài)的：當(dāng)螞蟻沿著兩條路徑爬的時(shí)候，孰長(zhǎng)孰短？這驅(qū)動(dòng)著學(xué)生進(jìn)行深度思考，同時(shí)能促進(jìn)問題得到有效解決.

示例三：三角形知識(shí)的應(yīng)用.

應(yīng)用通常都是通過習(xí)題來完成的，通常情況下，教師可以循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)問題，而不急著提供圖形. 例如：如果用一根長(zhǎng)為20 cm的繩子圍成一個(gè)等腰三角形，且腰是底邊的2倍，那各邊的長(zhǎng)是多少？筆者以為，像這樣的問題，教師一定不能直接提供圖形給學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過自己的想象去構(gòu)建圖形，這樣才能給學(xué)生真正思考的機(jī)會(huì)，才能讓學(xué)生在思考的過程中調(diào)用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)去形成想象表象.

以上三個(gè)例子針對(duì)三角形學(xué)習(xí)中的不同環(huán)節(jié)，同時(shí)又具有一些共同點(diǎn)，例如不急著向?qū)W生呈現(xiàn)圖形等. 筆者以為，在初中幾何教學(xué)中，結(jié)合問題的難度判斷是否向?qū)W生提供圖形，是一個(gè)重要的策略，而不提供圖像，讓學(xué)生展開想象，一定是培養(yǎng)學(xué)生鞏固幾何知識(shí)、綜合性運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題的重要途徑. 而從學(xué)習(xí)品質(zhì)的角度來看，正是學(xué)生習(xí)慣于想象表象的構(gòu)建，才使得學(xué)生對(duì)用思維加工幾何圖形形成了良好的直覺，從而支撐良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成.

從核心素養(yǎng)視角看想象表象研究

核心素養(yǎng)是當(dāng)下基礎(chǔ)教育研究的熱門概念，那么從核心素養(yǎng)的角度來認(rèn)識(shí)幾何教學(xué)中的想象表象培養(yǎng)，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)呢？

筆者以為，核心素養(yǎng)本質(zhì)上是要培養(yǎng)學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力，而對(duì)于課堂教學(xué)而言，能力培養(yǎng)顯而易見又是重中之重. 那么，在初中幾何教學(xué)中讓學(xué)生充分地進(jìn)行想象表象的構(gòu)建，從而增強(qiáng)對(duì)圖形的感知能力、組合能力、變化能力，然后對(duì)圖形中相關(guān)的角和邊賦值，于是數(shù)學(xué)問題就真正為學(xué)生所內(nèi)化了. 顯然，這是一種關(guān)鍵能力，其不僅指向?qū)W生幾何學(xué)習(xí)的當(dāng)下，還指向?qū)W生走出數(shù)學(xué)課堂之后面對(duì)生活中的各種各樣的形的思維加工，筆者以為，這是核心素養(yǎng)的重要組成部分.

實(shí)際上，幾何學(xué)習(xí)中學(xué)生進(jìn)行的想象表象的構(gòu)建，本身就是一種能力支撐的結(jié)果，沒有一定的想象能力，沒有必要的抽象思維以及邏輯推理能力，一個(gè)成功的想象表象是構(gòu)建不出來的. 反過來，構(gòu)建想象表象的過程，又增強(qiáng)了學(xué)生的想象能力、抽象能力和邏輯推理能力（例如上面所舉的三角形學(xué)習(xí)的例子中，學(xué)生就有豐富的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與直觀想象的過程，而所形成的三角形認(rèn)識(shí)，某種程度上也可以視作學(xué)生形成的數(shù)學(xué)模型），其直接指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與直觀想象，因而促進(jìn)了核心素養(yǎng)的養(yǎng)成. 既然核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是有保證的，那說明其對(duì)應(yīng)著學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的提升，畢竟學(xué)習(xí)品質(zhì)與核心素養(yǎng)的培育之間存在著前者促進(jìn)后者、后者彰顯前者的關(guān)系.

綜上所述，在初中幾何教學(xué)中，教師需要努力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象表象的構(gòu)建，這樣不僅可以提升學(xué)生解決幾何問題的能力，還可以促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.