【摘 要】[HT5K]研究者透過課例“垂直于弦的直徑”，闡述數(shù)學教師設計教學時“二次開發(fā)教材”的作用、方法與途徑，從中總結相應的基于“二次開發(fā)教材”進行教學設計的幾種理念：其一，數(shù)學“再創(chuàng)造”的教學理念；其二，課堂教學是師生雙向活動過程的教學理念；其三，課堂教學活動過程必然是動態(tài)過程的教學理念。

【關鍵詞】[HT5K]垂直于弦的直徑；二次開發(fā)教材；教學設計；教學理念

【作者簡介】 張昆，中學高級教師，現(xiàn)供職于淮北師范大學數(shù)學科學學院、淮北市第一中學。

人教版數(shù)學九年級上冊，在第81頁到83頁呈現(xiàn)了“垂直于弦的直徑”的教學內(nèi)容。教科書按如下幾個步驟進行編排：第一步，提出一個探究性問題的序列；第二步，向教師和學生呈現(xiàn)探究垂徑定理認識活動的過程，得到了垂徑定理及其推論；第三步，列舉隋朝李春建造趙州橋的主橋拱的例子，促使學生應用鞏固垂徑定理；第四步，選擇了兩道練習題，給教師與學生在課堂教學活動進行時作為備用[1]。那么，數(shù)學教師應如何處理教科書上所呈現(xiàn)的這些教學內(nèi)容及其組織形式，從而進行教學設計呢？這就涉及“二次開發(fā)教材”的實質。這里，筆者先從“二次開發(fā)教材”的作用說起。

一、“二次開發(fā)教材”的作用

我們知道，人教版教科書使用的地域范圍非常廣，各個地方教師的施教水平與學生的學習水平并不平衡，教科書上教學內(nèi)容的呈現(xiàn)對于不同地域的學生，甚至是同一所學校不同班級的學生，[HJ1.9mm]都需要教師設計不同的教學預案，在課堂上展開相應的教學活動。因此，編制再理想的數(shù)學教科書，都不可能符合每一位教師的教學水平與每一個施教班級學生的數(shù)學學習心理特點。這就要求數(shù)學教師必須以教科書為支點（如依據(jù)教學內(nèi)容、教學目標等），根據(jù)具體的教情、學情，或多或少地改變教科書上關于某一教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以適應學生的學習。本研究將這種教師在課堂教學中改變教科書上教學內(nèi)容呈現(xiàn)方式的活動稱之為“二次開發(fā)教材”。

數(shù)學教師“二次開發(fā)教材”的作用可以分為三個方面。其一，滲透新課程理念，使隱含于教科書中的教學理念顯現(xiàn)。這只有通過教師的教學設計及其在課堂上的具體實施才能實現(xiàn)。其二，最大限度地發(fā)揮數(shù)學知識的教學價值。數(shù)學知識對每一個學生都有價值，教科書呈現(xiàn)的內(nèi)容只有透過每一個學生的有效認識活動，才能實現(xiàn)數(shù)學知識對于具體學生而言的個性價值。由于學生的數(shù)學學習能力發(fā)展不平衡，因此，教科書上的一

[HJ]般性安排往往難以達到實現(xiàn)每一個學生個體價值的目的。其三，保證數(shù)學課堂教學有效性的實現(xiàn)。如果教師在課堂教學時照本宣科，那么就難以發(fā)揮每個學生的個性，降低數(shù)學課堂教學的有效性。因此，數(shù)學教師在進行某個具體知識點的教學設計與課堂教學時，“二次開發(fā)教材”必不可少。那么，教師如何進行“二次開發(fā)教材”呢？

[HT11.5H]二、基于“二次開發(fā)教材”的教學設計例示

“二次開發(fā)教材”應該以數(shù)學課程標準所設定的教材目標（如培養(yǎng)創(chuàng)新精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣等）為準繩，促進學生形成獨立學習數(shù)學的能力。要特別注意的是，“二次開發(fā)教材”不只是對教科書的內(nèi)容進行補充（當然，必要的補充是不可少的），也不是沒有依據(jù)地任意減少教科書所設定的教學內(nèi)容，而是依據(jù)教學內(nèi)容的特點，針對教師所施教的班級學生的具體情況而做出具體的選擇。本文以“垂直于弦的直徑”這個知識點的教學內(nèi)容為例，說明“二次開發(fā)教材”的途徑。下面的課例是筆者2017年秋在安徽省廬江縣某中學所上的一節(jié)教學匯報課。

第一步，引入新課，形成探究性問題。

教師出示趙州橋的示意圖（如圖1），以講故事的形式向學生敘述：圖1是我國隋朝時期（距今約1400年）的石匠李春所主持建造的趙州橋。它坐落在今天的河北省，是一座比較古老的石拱橋。它雖然歷經(jīng)了1400年的風風雨雨，但至今仍堅固完好。趙州橋充分顯示了我國古代勞動人民的智慧，是我國古代工匠創(chuàng)造精神的結晶。趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）約為37米，拱高（弧的中點到弦的距離）約為723米。相傳李春師傅在實施這個建設項目時遇到了難題。這個難題就是在上述的跨度與拱高為已知的情況下，必須先制作圖紙（建筑示意圖），然后依據(jù)圖紙分類型、分工期進行相應的施工。教師提問：“你能根據(jù)所學習的知識，幫助李春師傅畫出這個主橋拱（這段圓?。┑慕ㄖ疽鈭D嗎？”

【設計意圖】教師以現(xiàn)實生產(chǎn)建設（畫出趙州橋主橋拱的建筑示意圖）的實際需要提出問題，使學生身臨其境，引發(fā)學生產(chǎn)生一探究竟的學習研究動機。

第二步，新課探究，師生、生生討論交流。

下面是筆者關于這個知識點的課堂師生探究、生生探究、討論活動的實錄。省略號表示學生思維活動的中斷。

生1：我想，將這種實物圖抽象為平面幾何圖形，如圖1， AB =37m，點 D是弦AB的中點，點C是AB的中點，從而可知CD為這座橋的拱高，即CD =723m……

師：生1提出將趙州橋的主橋拱通過抽象的過程數(shù)學（幾何）化，這是應用幾何知識解決生產(chǎn)或生活問題的第一步，是一種很好的想法，可惜，他的思考中斷了。我們發(fā)現(xiàn)他做不下去的原因在于他沒有考慮我們要做什么，即要達到怎樣的目標。對此，同學們有什么新想法？

生2：我們要實現(xiàn)的目標是幫助李春師傅畫出主橋拱，即圖1中 AB [DD（][XC0.TIF][DD）]的這個具體的示意圖。

師：生2的思考意味著什么？

生3：意味著如何畫出跨度 AB =37m，主橋拱的拱高 CD =723m的這么一段圓弧 AB[DD（][XC0.TIF][DD）]。由于AB[DD（][XC0.TIF][DD）]是某個確定的圓（記作⊙O）的一部分，因此，我們只要畫出這個⊙O，然后在⊙O上取一條弦AB =37m，就達到了目的。要作出⊙ O ，我們只要找到這個圓的圓心與半徑就行了。

師：在生3的努力下，同學們終于找到我們這節(jié)課所要完成的任務，那就是知道⊙ O 的一條弦長，以及這條弦的中點到這條弦所對的弧的中點（拱高或弓形高）的距離，確定這段弧所在圓的圓心的精確位置及其半徑的長度。那么，如何確定這段弧所在圓的圓心的精確位置，如何算出其半徑呢？

[HJ2.2mm]

生4：這段弧所在圓的圓心就在線段CD所在的直線上。同樣，AC[DD（][XC0.TIF][DD）]所在圓的直徑也垂直平分AC[DD（][XC0.TIF][DD）]所對應的弦。于是，這兩條直徑的交點就是我們所要確定的⊙O的圓心，記為點O。

師：生4發(fā)現(xiàn)了圓中的一條弦的中垂線經(jīng)過圓心。如此，在一個圓中，只要作出兩條不平行的弦的中垂線，它們的交點就是這個圓的圓心。因此，生4說，線段CD所在的直線經(jīng)過圓的直徑。請生4說說你做出這樣的判斷的理由。

生4：我可以重新畫一個圖形加以解釋嗎？

師：當然可以。

生4：圖1可以擴展成圖2。由于AB[DD（][XC0.TIF][DD）]是軸對稱圖形，弦AB也是軸對稱圖形，⊙O自身還是軸對稱圖形。連接OA、OB，由于OA=OB，DA=DB，可知CD所在的直線是等腰△OAB的對稱軸，于是OD⊥AB。CD所在的直線也是扇形OACB的對稱軸。因此，CD所在直線也是AB[DD（][XC0.TIF][DD）]的對稱軸。這樣，我們就不難求出這個⊙O的半徑了。李春師傅所要畫的建筑示意圖也就可以解決了。

師：經(jīng)過同學們的分析與思考，我們可以幫助李春師傅畫出趙州橋的建筑示意圖。現(xiàn)在，我們來反思生4為了幫助李春畫出趙州橋的建筑示意圖所萌生的這些想法。從生4依據(jù)圖2提出的想法中，我們可以獲得一些有關幾何學知識的結論嗎？

生6：圖2演示了一個圓的直徑與這個圓的一條弦及這條弦所對的弧之間具有一些關系的性質……

師：大家開動腦筋，如何用簡約的數(shù)學（幾何）語言來幫助生6表達這三個要素之間的關系？

生7：平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的弧。

師：非常好。我們將其稍微修改一下，就變成了教科書第82頁表達更為簡潔的垂徑定理。（師相機板書：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。）

師：大家還能發(fā)現(xiàn)其他什么結論嗎？

生8：經(jīng)過弦的中點，同時也經(jīng)過這條弦所對的弧的中點的直線，一定經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦。

師：非常好。我們將其稍微修改一下，就變成了教科書第82頁表達更為簡潔的垂徑定理的推論。（師相機板書：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。）

師：我們通過畫建筑示意圖幫助李春師傅解決了問題，并且生成了垂徑定理及其推論的幾何知識。從這些（特別是求圓的半徑的途徑）思考中，我們還能萌生別的相應的數(shù)學方法嗎？

生9：我產(chǎn)生了兩種想法。其一，圓中有關弦長、半徑、弓形高（弦心距）的計算問題，經(jīng)常要利用垂徑定理來解決。其二，構造直角三角形，使垂徑定理與勾股定理有機地結合起來，可以解決某些計算問題。

第三步，鞏固新知，選擇合適的練習題加深學生對知識的理解。

師：請同學們判斷下列一組題的正誤，并說明理由。

這種教學設計既充分利用了數(shù)學教科書所提供的內(nèi)容，又沒有拘泥于教科書的呈現(xiàn)順序與途徑。教師隨著學生對這個知識點發(fā)生的認識心理活動（如以激發(fā)動機、探究的熱情等心理環(huán)節(jié)重新組織了教科書所提供的內(nèi)容，這正是“二次開發(fā)教材”的精髓），在課堂上創(chuàng)設了一種仿真程度良好的探究活動背景。學生身臨其境，在不知不覺中認識到這就是他們所面臨的真實問題。另外，在開展探究活動時，教師沒有固化于教科書的表達，而是鼓勵學生用自己的語言加以表達，讓學生感到非常親切。教師以板書的形式使用教科書上呈現(xiàn)的準確語言來表述，從而又回歸教科書，獲得較好的教學效果。

三、“二次開發(fā)教材”的教學設計體會

筆者伴隨著新一輪數(shù)學課程改革的步伐，認真學習數(shù)學新課程理念，不斷將這些理念應用于教學實踐，針對具體數(shù)學教學內(nèi)容進行思考與試驗，并在實踐與實驗的過程中有意識地加以檢驗與取舍。筆者通過“二次開發(fā)教材”設計垂徑定理這個知識點的教學，滲透了以下幾種新課程所鼓勵的教學理念。

1數(shù)學“再創(chuàng)造”的教學理念

數(shù)學“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾提出并經(jīng)由實踐證明了的、有效的數(shù)學設計理念，它的一個理想化模型就是充分利用學生的“數(shù)學現(xiàn)實”。每個學生都有自己的“數(shù)學現(xiàn)實”。數(shù)學教師進行教學設計的首要前提，就是要比較準確地確定學生的“數(shù)學現(xiàn)實”已經(jīng)擴展到了什么程度，下一步可能向哪個方向再擴展，如何有效幫助學生實現(xiàn)這種再擴展等，并據(jù)此選擇課堂教學途徑。弗賴登塔爾認為，與其說是讓學生學習數(shù)學，不如說是讓學生學習“數(shù)學化”；與其說是讓學生學習公理體系，不如說是讓學生學習“公理化”；與其說是讓學生學習數(shù)學的形式體系，不如說是讓學生學習數(shù)學的“形式化”[2]。數(shù)學“再創(chuàng)造”的教學活動模型，正是實現(xiàn)這三個“與其……不如……”途徑的最佳手段。

基于數(shù)學“再創(chuàng)造”教學理念的內(nèi)涵，筆者認識到，有效使用這種理念最為關鍵性的問題，就是如何提出能夠引起學生“再創(chuàng)造”數(shù)學知識的問題。教師提出的問題應該具有使學生身臨其境、感同身受的特征，否則，如果學生認為不是他們自己真實面臨的問題，那么促使學生探究這一問題的動力就是不足的，學生也就不會真心實意、全心全力地進行探究。最好的手段，就是教師提供信息，鼓勵學生自己提出合適的問題。這樣，學生一定會認識到問題關鍵點的準確位置，就會自然而然（不需要教師強調）地全身心投入這個問題之中。

如這節(jié)課的課程教學活動過程所示，為了促使學生全身心地進行數(shù)學“再創(chuàng)造”活動，筆者特別重視創(chuàng)設相關情境，讓學生認為垂徑定理是他們必須解答的問題。教科書提供了關于李春師傅建造趙州橋的相關材料及其背景，筆者對教科書提供的材料進行了悉心的探索，經(jīng)過長時間的深入思考，設計了如上所述的問題情境，在課堂上以講故事的形式向學生呈現(xiàn)了問題。設計一個合適的初始問題，就從根本上規(guī)劃好了一節(jié)課師生活動、生生活動的軌道，因為學生解決問題的活動是按照一定的規(guī)律展開的。從這個問題出發(fā)到獲得知識結論之間，可能還會出現(xiàn)不少過渡性的問題。學生通過探究這個初始問題而獲得一系列的新問題。這些新問題的答案不可能擺明在那里，它需要通過猜想等手段，從問題的規(guī)定性及其發(fā)現(xiàn)活動的規(guī)律性中揭示出來。學生對自己探究發(fā)現(xiàn)的那些素材進行辨別、選擇，從而確定基于問題而發(fā)展出來的、有價值的新問題，這對學生創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)能力等的培養(yǎng)具有極其重要的意義[3]。在問題確定之后，一節(jié)課的大體發(fā)展方向和框架就已經(jīng)被確定了——學生會按照自身的思維邏輯展開探索。

2課堂教學是師生雙向活動過程的教學理念

任何一堂成功的或有效的教學活動課，都必須建立在課堂上教師的施教與學生學習的有效互動基礎之上。因此，數(shù)學新課程的啟蒙者諄諄告誡我們，要采用啟發(fā)式教學，盡可能地減少灌輸式教學與機械訓練式教學。啟發(fā)式教學最為重要的一個環(huán)節(jié)就是“啟”，“啟”的關鍵性一步是如何向學生提出合適的問題，或者（更為有價值的是）如何通過向學生提供信息，啟發(fā)學生自己通過分析信息從而提出合適的問題[4]。心理學研究證實，學生對自己提出的問題會特別在意，會全力以赴、力所能及地設計探究程序（必要時，需要教師或其他同學的幫助），進入探究環(huán)節(jié)，迫不及待驗證自己提出的問題是否能得到合目的性的結果[5]。這些做法都是為了使教師與學生在課堂上形成有效互動。

教師是學生和教材的中介，但教師的這種中介作用絕不是消極的。教師的勞動是有目的、有計劃、有組織地再加工教材的創(chuàng)造性勞動，這種創(chuàng)造性勞動將決定學生學什么、如何學以及為什么學等要素。教師在課堂教學活動中起著主導作用，這是無可異議的。學生雖然是教師施教的對象，但是，他們也是學習任務與自身發(fā)展的承擔者，是教學效果的顯現(xiàn)者，是學習的主體。在課堂教學活動中，如果沒有學生積極主動地參與學習活動，那么教師的施教活動必然是徒勞的。因此，教師的主要任務絕不是只限于講清楚教材，而更主要的是設計、激發(fā)、引導與喚醒學生意愿，促使學生積極參與課堂的雙向活動，積極與學生或教師進行有效互動。各種教學方法的改革也一定都是著眼于學生的學習的，以實現(xiàn)學生的有效學習為起點與歸宿的。

在設計有關垂徑定理的教學時，筆者所運用的教學理念就是在課堂教學中促進師生的雙向活動。如前所述，這節(jié)課通過設計合適的探究問題，讓學生身臨其境，展開探究活動，這樣就顯得自然流暢，水到渠成。當學生在某些活動的節(jié)點上出現(xiàn)問題時，教師啟發(fā)學生將其轉化為待探究解決的新問題，師生據(jù)此又展開新一輪的探究活動。因此，這樣的課堂對師生來說都是開放的，課堂活動總是緊緊圍繞著這節(jié)課的教學目標而展開，既強化了探究活動的動力，又經(jīng)由此開發(fā)學生智力，培養(yǎng)學生靈活轉化的能力。雖然整個課堂活動頭緒眾多，線索紛繁， 但是整體結構卻達到了“實而不死，活而不虛”的效果，富有探究活動的特色，不落俗套，體現(xiàn)了數(shù)學新課程的教學理念。

3課堂教學活動過程必然是動態(tài)過程的教學理念

由于學生具有個性差異，他們的智力發(fā)展不可能是統(tǒng)一步調的。因此，課堂教學活動始終處于動態(tài)變化之中。任何一位數(shù)學教師都不可能百分之百地使學生的學習步伐與自己的教學步伐完全同步，但具有較高技藝的教師的課堂教學活動能夠提高這種同步率。因此，教師在教學時，要隨時研究這種差異，盡可能地進行調整，使差異的幅度控制在一定的范圍之內(nèi)，或者達到某種程度上的平衡，這就要求教師采取各種形式與方式，及時反饋信息和調整自己的課堂教學活動。

教師運用“二次開發(fā)教材”進行教學設計，就是要在呈現(xiàn)數(shù)學信息時，盡最大可能尋求這種動態(tài)過程的平衡點，促使每個學生都能夠依自己的“數(shù)學現(xiàn)實”參與課堂活動。如在這個課例中，教師竭盡所能激發(fā)學生學習興趣，將學生本來沒有強烈的探究動機的狀態(tài)，轉化為具有強烈的探究動機的狀態(tài)，設法使學生意識到教師所提出的問題就是他們必須在這節(jié)課上解決的問題。學生通過參與其中，提出一系列的新問題，探究的動力不斷增強，致使這節(jié)課的探究活動方向明確，活動環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，從初始問題到“中途點（萌生的中間問題）”再到結論，一氣呵成，形成了一個以問題為支點的、連續(xù)的探究序列。同時，在探究過程中，學生提出的問題、論點，以及所做的練習或家庭作業(yè)，都具有訓練和反饋的雙重意義，在教學過程中忽視或輕視任何一方都欠妥當。

從這個課例中我們可以明顯地感覺到，如果教師確立與強化這種動態(tài)觀念，那么研究者在進行垂徑定理教學的“二次教材開發(fā)”時，才能自覺地采取與選擇這種啟發(fā)學生探究知識發(fā)生的活動過程，盡可能地照顧到每一個學生個體，從而采取相應的解決方法，及時從學生的活動中收集反饋信息，調整原有預設，糾正自己不當?shù)慕虒W行為，從而提高課堂教學質量。

四、結語

在數(shù)學課堂教學活動過程中，數(shù)學知識、數(shù)學結論不是由教師或教科書直接向學生提供的，而是教師通過備課（“二次開發(fā)教材”），將這種知識的學術形態(tài)轉化為必要的數(shù)學化信息（更一般的是生活化信息），向學生演示，幫助學生從信息中發(fā)現(xiàn)（提出）問題，引導學生議論、討論與辯論，從而基于這一途徑再次發(fā)現(xiàn)知識、得出結論。因此，在數(shù)學教學設計時，“二次開發(fā)教材”是任何一位數(shù)學教師都繞不過去的重任，這個課例就是最好的詮釋。對此，一線數(shù)學教師應該思之再思，慎之又慎。

參考文獻：

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