胡佳婧 張亞琦

【摘 要】[HT5K]研究者從HPM的視角來(lái)設(shè)計(jì)與實(shí)施線面垂直的教學(xué)，并加入線面垂直判定定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。同時(shí)，研究者利用數(shù)學(xué)史揭示線面垂直判定定理背后的人文元素，讓學(xué)生了解不同時(shí)空數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，突顯人文元素，展現(xiàn)“文化之魅”，彰顯數(shù)學(xué)“德育之效”。

【關(guān)鍵詞】[HT5K]HPM；線面垂直；定理教學(xué)；數(shù)學(xué)文化

【作者簡(jiǎn)介】 胡佳婧，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；張亞琦，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。 [FQ）]

一、引言

“線面垂直”是滬教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章中“空間直線與平面的位置關(guān)系”的內(nèi)容。教材通過(guò)旗桿與地面的位置關(guān)系引出線面垂直問(wèn)題，并給出定義，再根據(jù)如何確保旗桿垂直于地面，得到線面垂直判定定理，但教材并未給出定理的證明。這樣的設(shè)計(jì)，雖然能使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化，便于學(xué)生理解，但在教學(xué)實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生心中會(huì)存在疑惑：真的能通過(guò)判定定理判斷直線與平面垂直嗎？這一結(jié)論是如何得到的？該如何證明呢？在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)驗(yàn)證定理的正確性，包括動(dòng)態(tài)觀察旗桿與影子的關(guān)系[1-2]和折紙實(shí)驗(yàn)[3-8]；只有極少數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)在操作的基礎(chǔ)上給出嚴(yán)格的定理證明[9]。我們很少看到從HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)。

歷史上，關(guān)于線面垂直的判定定理有許多精彩的證明方法，有些證明方法對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)是易于理解與掌握的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出，要在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，并要求適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)史恰恰能幫助我們達(dá)到這些目標(biāo)。歷史提供的不同觀點(diǎn)和不同表征方式，既可以指導(dǎo)教學(xué)，又可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是經(jīng)歷演進(jìn)過(guò)程的學(xué)科，而不是從天上掉下來(lái)的[10]。

因此，我們可以從HPM的視角來(lái)設(shè)計(jì)與實(shí)施線面垂直的教學(xué)，加入線面垂直判定的證明，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；同時(shí)，還可以利用數(shù)學(xué)史揭示線面垂直判定定理背后的人文元素。此外，教師介紹中國(guó)古代的立體圖形，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

為此，我們擬訂本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

① 學(xué)生能掌握線面垂直的定義、性質(zhì)與判定定理；

② 學(xué)生會(huì)利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理，解決空間距離問(wèn)題；

③ 讓學(xué)生了解歷史上精彩的線面垂直判定定理的證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，增加學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀；

④ 讓學(xué)生了解中國(guó)古代的立體圖形，滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情懷。

二、歷史材料及其運(yùn)用

西方早期的幾何教科書(shū)給出了線面垂直判定定理的許多嚴(yán)格證明。這些證明分屬兩個(gè)傳統(tǒng)，一是歐幾里得傳統(tǒng)，二是引理法傳統(tǒng)[11]。本節(jié)課采用的歷史素材有克萊羅的直觀解釋、對(duì)稱法和勒讓德證法，運(yùn)用引理法的錯(cuò)誤證明方法，以及中國(guó)古代的基本立體圖形。

1歷史上線面垂直判定定理的證明

（1）克萊羅的直觀解釋

法國(guó)數(shù)學(xué)家克萊羅（ACClairaut）在《幾何基礎(chǔ)》中并未給出線面垂直判定定理的嚴(yán)格證明，但他給出了直觀的解釋。如圖1所示， AB為長(zhǎng)方形CDEF對(duì)折后的折痕，將所折線段BC、BD分別與平面上過(guò)點(diǎn)B且垂直于AB的兩條已知直線貼合，則AB與平面垂直。 這一解釋為本節(jié)課的設(shè)計(jì)提供了借鑒。教師利用克萊羅的折紙模型引出主題，并借助模型引導(dǎo)學(xué)生一起探究線面垂直的定義。

[XCM12.TIF][TS（] [HT5"H]圖[STFZ]1[STBZ] [HT5"H]克萊羅的直觀解釋[TS）]

（2）對(duì)稱法和勒讓德證法

對(duì)稱法出現(xiàn)于美國(guó)數(shù)學(xué)家泰班（E. T. Tappan）的《平面與立體幾何》中。如圖2所示， 已知直線AB⊥AC，AB⊥AD，在AC和AD上各取點(diǎn)C和D，連接CD，過(guò)點(diǎn)A在AC和AD所在平面上任作一條直線，交CD于點(diǎn)E。為證明AB⊥AE，延長(zhǎng)BA至B′，使AB=AB′，連接BC，BD，BE，B′C，B′D和B′E，根據(jù)中垂線定理可知，BC=B′C，BD=B′D，故∠BCE=B′CE，從而△BCE[XC=.TIF，JZ]△B′CE，BE=B′E，即可得到AB⊥AE。由AE的任意性可知，AB垂直于AC和AD所在平面。

最原始的歐氏證法煩瑣冗長(zhǎng)，涉及五組三角形全等。之后雖有數(shù)學(xué)家對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，但簡(jiǎn)化后的證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，不適合課堂教學(xué)。本節(jié)課同樣選擇純幾何邏輯推理證明的對(duì)稱法，作為線面垂直判定定理的主要證明方法。

雖然都是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題，但介紹法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德（AMLegendre）的證明方法，不僅能把中線定理介紹給學(xué)生，而且可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史知識(shí)。但由于內(nèi)容比較多，教師錄制微視頻讓學(xué)生課后自學(xué)。

2線面垂直判定定理的錯(cuò)誤證明

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯圖爾特（STStewart）在《平面與立體幾何》中給過(guò)一個(gè)利用反證法的證明。如圖3所示， 已知AB⊥CK，AB⊥EF，HS是CK和EF所在平面上任意一條過(guò)點(diǎn)A的直線，假設(shè)AB不垂直于HS，作BI⊥HS，則BI引理法傳統(tǒng)的證明方法就是教科書(shū)中所提到的從公理得出的證明方法。無(wú)論是引理法還是阿達(dá)瑪證法都比較抽象，對(duì)于有些學(xué)生而言比較難以理解，因此，教師一般不選擇這兩種證明方法作為課堂教學(xué)內(nèi)容。但引理法所用到的反證法，是立體幾何證明中比較常用的一種方法，是學(xué)生需要掌握的知識(shí)。在課堂上，教師向?qū)W生展示此錯(cuò)誤證明方法，讓學(xué)生進(jìn)行辨析。

3《九章算術(shù)》中的立體圖形

塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑是中國(guó)古代三個(gè)重要的立體圖形。如圖4，塹堵是兩底面為直角三角形的棱柱；如圖5，陽(yáng)馬是底面為長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐；如圖6，鱉臑是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐。斜解一個(gè)塹堵，可以得到一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑，其中陽(yáng)馬和鱉臑的體積之比恒為2∶1，這就是劉徽原理。

為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師利用這幾個(gè)立體圖形來(lái)編制空間距離問(wèn)題，并介紹中國(guó)古代的陽(yáng)馬術(shù)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1引入新知

為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師引入電影《唐人街探案》的一個(gè)小片段。教師先請(qǐng)學(xué)生幫助視頻中的小女孩完成“如何把一張紙立起來(lái)”這個(gè)難題。一名學(xué)生將紙折疊后打開(kāi)成一定角度，成功地將一張紙立在了桌面上。然后教師提出問(wèn)題：“此時(shí)折痕與桌面有怎樣的位置關(guān)系？”最后，教師引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)主題——線面垂直。

2探究定義

教師請(qǐng)學(xué)生列舉一些生活中線面垂直的例子，如墻角線與地面、旗桿與地面等。

師：[JP3]我們?cè)賮?lái)看剛剛的折紙模型（如圖7），在桌面上是不是有兩條邊？我們就盯著一條邊看，折痕所在直線與這條邊所在直線有怎樣的位置關(guān)系？

生：垂直。

師：如果我以折痕為軸，將這個(gè)折紙進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們盯著的那條邊在桌面上的位置發(fā)生變化。隨著這條邊位置的變化，折痕所在直線與這條邊所在直線的位置是什么關(guān)系？

生：還是垂直。

師：如果在平面上任意找一條不過(guò)折痕所在直線 AB與平面交點(diǎn)B的直線B′C′，直線B′C′與直線AB的位置關(guān)系是什么？

生：還是垂直。

師：為什么？

生：因?yàn)檫@條線還是在平面上。

師：非常好！在平面上就可以進(jìn)行平移?？蓪⑦@條線平移到過(guò)折痕所在直線與平面的交點(diǎn)，那么這條線也就一定與折痕所在直線垂直。

師：由此，大家能得到怎樣的結(jié)論？

生：垂直于平面的直線，垂直于平面上的任何一條直線。

師：那么同學(xué)們能不能給出線面垂直的定義？

生：如果一條直線與平面上的所有直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

（教師同步呈現(xiàn)PPT。）

3總結(jié)性質(zhì)

在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生判斷以下兩個(gè)命題的真假。

命題1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。

命題2：如果一條直線垂直于平面，則與這條直線平行的直線也與平面垂直。

師：大家覺(jué)得命題1成立嗎？

生：不成立。

師：為什么不成立？

生：當(dāng)直線 AB傾斜時(shí)，在平面上能找到與直線AB垂直的直線，甚至是無(wú)數(shù)條，但無(wú)數(shù)不等價(jià)于所有。

師：對(duì)。那么命題2呢？

生：正確。

師：能不能請(qǐng)你說(shuō)明一下，為什么正確？

生：與已知直線平行的直線，可以通過(guò)平移與已知直線重合，就說(shuō)明與平面也是垂直的。

（教師和學(xué)生一起進(jìn)行性質(zhì)總結(jié)。性質(zhì)1：一條直線垂直于平面，則與平面上任意一條直線垂直。性質(zhì)2：一條直線垂直于平面，則與這條直線平行的直線也與平面垂直。）

4證明定理

教師總結(jié)完性質(zhì)之后繼續(xù)追問(wèn)學(xué)生，定義是否可以判定線面垂直，從而引出判定定理。

師：能不能直接用線面垂直的定義作為線面垂直的判定？也就是說(shuō)，你要證明直線與平面垂直，你就要證明直線與平面上所有的直線都垂直。所謂“所有”，究竟有多少條？

生：無(wú)數(shù)條。

師：[JP3]但是無(wú)數(shù)條數(shù)量太多了，我們接下來(lái)的想法就是能否把數(shù)量減少？減少到幾條比較合適呢？

生：減少到兩條，而且是兩條不平行的直線。

師：為什么是兩條？而且還是兩條不平行的直線呢？

生：因?yàn)閮蓷l相交直線確定一個(gè)平面。

師：老師認(rèn)為，你能確定將直線減少到兩條這一點(diǎn)非常好！那我們就按平行與相交兩種情況來(lái)進(jìn)行考慮。如果直線垂直于平面上兩條平行的直線，能說(shuō)這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？

生：不行。前面舉過(guò)反例，垂直于無(wú)數(shù)條平行線都不能說(shuō)明直線垂直于這個(gè)平面。

師：說(shuō)得太好了！排除了平行的情況，如果直線垂直于平面上兩條相交的直線，能說(shuō)這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？

師：所以我們現(xiàn)在要研究的問(wèn)題是，如果一條直線垂直于平面上兩條相交的直線，那么這條直線與平面上的任意一條直線都垂直嗎？

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生厘清證明思路，根據(jù)已知條件，明確要證的結(jié)論是 AB⊥AE 。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶要證明兩條直線互相垂直的基本方法，如勾股定理逆定理、相似全等、等腰三角形三線合一等，并決定利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)進(jìn)行證明。借助幾何畫(huà)板，提示學(xué)生通過(guò)添加輔助線構(gòu)造三角形，最后，由一位學(xué)生順利完成證明，大致思路如下。

證明： 延長(zhǎng)BA至B′，使AB=AB′，連接BC，BD，BE，B′C，B′D和B′E。由中垂線定理可知，BC=B′C，BD=B′D，故△BCD[XC=.TIF，JZ]△B′CD，BE=B′E，即可得AB⊥AE，由AE的任意性可知，AB垂直于AC、AD所在平面。

師：剛剛這位同學(xué)很厲害，她完成了美國(guó)數(shù)學(xué)家泰班在《平面與立體幾何》中所提到的證法，這種方法簡(jiǎn)稱對(duì)稱法。

（全班響起熱烈的掌聲。）

師：其實(shí)利用勾股定理的逆定理也可以對(duì)這一命題進(jìn)行證明。法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德就是這樣證明的，簡(jiǎn)稱勒讓德證法。老師給大家做了一個(gè)微視頻，希望大家在課后去學(xué)習(xí)一下，再將對(duì)稱法與勒讓德證法進(jìn)行比較，看看你自己更喜歡哪種證法。

師：我們?cè)僖黄饋?lái)看一個(gè)不太一樣的證明方法，請(qǐng)大家思考這個(gè)證明對(duì)不對(duì)。

證明：如前面圖3， 已知AB⊥CK，AB⊥EF，HS是CK和EF所在平面上任意一條過(guò)點(diǎn)A的直線。假設(shè)AB不垂直于HS，作BI⊥HS，則BI師：這種證明方法正確嗎？

生：不正確。他在證明過(guò)程中用到了“ AB 是垂線段”，那是需要證明的結(jié)論。

師：非常好。他把結(jié)論當(dāng)成條件來(lái)用，是一個(gè)錯(cuò)誤證法。這個(gè)證明是美國(guó)數(shù)學(xué)家斯圖爾特在《平面與立體幾何》中所給出的?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)家也會(huì)犯錯(cuò)誤。今后大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到挫折千萬(wàn)不要?dú)怵H，要對(duì)自己有信心。

師：其實(shí)在歷史的長(zhǎng)河中，對(duì)于線面垂直判定的證明，除了剛剛提到的那些證明方法，還有很多不同的證明方法。數(shù)學(xué)家們都在為找到更完美的證明方法而努力，從不準(zhǔn)確到準(zhǔn)確，從煩瑣到簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)家們這種精益求精的精神是值得我們學(xué)習(xí)的。

教師請(qǐng)一位學(xué)生總結(jié)線面垂直的判定定理，并向?qū)W生說(shuō)明無(wú)須保證這兩條相交直線與已知直線有公共點(diǎn)。

5應(yīng)用練習(xí)

學(xué)生順利完成了證明，并能推斷該圖形的四個(gè)面都是直角三角形。教師指出，在中國(guó)古代，該立體圖形被稱為鱉臑。鱉臑意為甲魚(yú)前肢下半截的骨頭，該圖形因與鱉臑相像而得名。

① 證明EO垂直于平面ABCD，并求EO的長(zhǎng)。

② EO與平面ADP有怎樣的位置關(guān)系？求EO到面ADP的距離。

③ 直線PC與直線AD 有怎樣的位置關(guān)系？能求它們之間的距離嗎？

[XCM21.TIF][TS（] [HT5"H]圖[STFZ]10[STBZ][TS）]

在解決例2的同時(shí)，教師首先介紹幾種空間距離，如： EO垂直于平面ABCD，故EO是點(diǎn)E到平面ABCD的距離； 線面距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離問(wèn)題，面面距離問(wèn)題也是如此；給出公垂線的定義，并引導(dǎo)學(xué)生找到異面直線的公垂線，解決異面直線的距離問(wèn)題。教師用PPT呈現(xiàn)空間距離，比文字定義更容易讓學(xué)生接受；將新知識(shí)融入例題講解，節(jié)約了大量教學(xué)時(shí)間。

然后，教師播放微視頻，介紹中國(guó)古代三個(gè)重要立體圖形——塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑，并用動(dòng)畫(huà)演示劉徽原理，揭示中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在幾何學(xué)領(lǐng)域的重要成就。

6課堂小結(jié)

在本教學(xué)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，點(diǎn)明本節(jié)課的重要思想。

師：今天這節(jié)課我們學(xué)了哪些內(nèi)容？

生：這節(jié)課我們學(xué)了線面垂直的定義、性質(zhì)與判定定理，求空間距離，認(rèn)識(shí)了中國(guó)古代三個(gè)重要立體圖形——塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑。

師：好的，以上內(nèi)容希望大家掌握并熟練運(yùn)用。本節(jié)課，我們還一同分享了一些國(guó)外數(shù)學(xué)家對(duì)線面垂直判定定理的證明方法，以及中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)立體幾何領(lǐng)域所做出的貢獻(xiàn)。希望大家能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們精益求精的精神，并為中國(guó)文化的博大精深感到自豪。

四、學(xué)生反饋

課后筆者收集全班33名學(xué)生對(duì)本節(jié)課的反饋信息，主要從概念、應(yīng)用、思想方法和思想情感等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。

在問(wèn)及線面垂直的數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生想到了數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容（如鱉臑）、生活中的線面垂直例子（如旗桿與地面的位置關(guān)系），以及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)（如線線垂直）。關(guān)于所學(xué)知識(shí)在問(wèn)題解決中的應(yīng)用，大部分學(xué)生沒(méi)有填寫。填寫正確的學(xué)生能思路清晰地解答問(wèn)題，填寫錯(cuò)誤的原因包括兩種：一種是解題思路正確，但在書(shū)寫中存在問(wèn)題；另一種是解題思路不正確。

% 的學(xué)生覺(jué)得線面垂直判定定理的證明方法難，不太容易理解；4545[WTXT]% 的學(xué)生覺(jué)得有點(diǎn)難度，大概能理解；3636% 的學(xué)生覺(jué)得不難，可以理解。所有學(xué)生都認(rèn)為，有必要在本節(jié)課中講授線面垂直判定定理的證明；8485[WTXT]% 的學(xué)生喜歡教師在課堂上講錯(cuò)誤的證明方法，以及中國(guó)古代的特殊立體圖形。

大部分學(xué)生體會(huì)到了化歸的數(shù)學(xué)思想，還有部分學(xué)生提到數(shù)形結(jié)合、由繁化簡(jiǎn)以及空間邏輯思維等思想。

學(xué)生的反饋說(shuō)明，學(xué)生對(duì)于中國(guó)古代的特殊幾何體（陽(yáng)馬、鱉臑）特別感興趣。一名學(xué)生提到，數(shù)學(xué)家證明線面垂直的方法是錯(cuò)誤的，讓他了解到數(shù)學(xué)的另一面，相信自己能夠正確對(duì)待學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，樹(shù)立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

五、結(jié)語(yǔ)

在本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對(duì)稱法證明線面垂直判定定理，又通過(guò)微視頻，向?qū)W生展示了勒讓德的證明方法，利用數(shù)學(xué)史揭示了“方法之美”。追溯線面垂直判定定理的歷史，讓學(xué)生了解不同時(shí)空數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)，突顯人文元素，展現(xiàn)了“文化之魅”。歷史上的證明方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)，達(dá)成了“能力之助”。教師引導(dǎo)學(xué)生證明定理，穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話，讓學(xué)生樹(shù)立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心；再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的錯(cuò)誤，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究作為一種文化活動(dòng)的本質(zhì)，改變他們對(duì)于數(shù)學(xué)課本知識(shí)一成不變的刻板印象。數(shù)學(xué)家不斷探求定理的新證明，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的介紹，激發(fā)了學(xué)生的民族自豪感，數(shù)學(xué)史彰顯了“德育之效”。

考慮到教學(xué)內(nèi)容，為了能夠完全達(dá)成教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課的定理證明環(huán)節(jié)基本上按照預(yù)設(shè)展開(kāi)，教師沒(méi)有給予學(xué)生更多的探究機(jī)會(huì)和思考空間，從而未能完全實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的“探究之樂(lè)”這一教育價(jià)值。探究活動(dòng)的設(shè)置與教學(xué)任務(wù)之間的平衡，正是未來(lái)HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要解決的重要問(wèn)題之一。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭佩華，陳光立.關(guān)注概念生成，發(fā)展學(xué)生思維：“直線與平面垂直”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（6）：29-31

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