姜浩哲 汪曉勤

【摘要】研究者通過(guò)對(duì)2014—2017年間10個(gè)初中HPM（History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，意為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）課例進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，HPM視角下的新知引入有問題引入、故事引入、演示引入三種類型。大多數(shù)HPM課例新知引入具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)同現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī)在“知識(shí)之諧”中能夠得到有效激發(fā)。但部分HPM課例在引入方式的選擇和運(yùn)用、數(shù)學(xué)史料的選取和加工上還有待進(jìn)一步完善和改進(jìn)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；新知引入；初中數(shù)學(xué)；HPM課例

一、引言

作為課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，新知引入具有引起學(xué)生注意、激發(fā)學(xué)生動(dòng)機(jī)、構(gòu)建教學(xué)目標(biāo)、明確學(xué)習(xí)任務(wù)以及建立新舊知識(shí)聯(lián)系等功能[1]，精妙的新知引入往往有“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”之效。同時(shí)，新知引入還是一門教學(xué)藝術(shù)，能起到預(yù)示課堂高潮、引導(dǎo)學(xué)生思維等效果[2]。在我國(guó)，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)由舊知識(shí)引入新知識(shí)，這既符合“溫故而知新”的傳統(tǒng)教育方式，也符合現(xiàn)代認(rèn)知主義理論和建構(gòu)主義思想。但是，部分教師在實(shí)際課堂中運(yùn)用“以舊引新”的方式時(shí)，淡化了從舊知識(shí)到新知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，甚至在簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)舊知識(shí)后直接把新知識(shí)告訴學(xué)生，因此達(dá)不到理想的教學(xué)形態(tài)[3]。

數(shù)學(xué)史為豐富和拓寬傳統(tǒng)教學(xué)新知引入的方式提供了一種有效路徑。早在20世紀(jì)初，美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎（FCajori）就指出，數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具。美國(guó)學(xué)者瓊斯（PSJones）則認(rèn)為，數(shù)學(xué)史能提供新課引入的話題以及幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”新概念或新思想的方法。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M克萊因（MKline）強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。英國(guó)數(shù)學(xué)史家福韋爾（JFauvel）將增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)作為數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的重要理由之一。查納基斯（Tzanakis）和阿卡維（Arcavi）等學(xué)者則相信，通過(guò)數(shù)學(xué)史，教師可以確定引入一種新數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)機(jī)[4]。有關(guān)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的各家觀點(diǎn)都表明，數(shù)學(xué)史對(duì)于課堂上的新知引入具有重要意義。

鑒于此，本文對(duì)2014—2017年間發(fā)表的10個(gè)具有代表性的初中HPM課例[5-14]進(jìn)行考察和分析，希望從中總結(jié)基于數(shù)學(xué)史的初中數(shù)學(xué)新知引入方式的類型和特點(diǎn)，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)以及HPM課例開發(fā)與實(shí)踐提供參考。

二、新知引入的方式

基于已有的分類方法[15]38-44，結(jié)合對(duì)初中HPM課例的具體分析，我們發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)史的初中數(shù)學(xué)新知引入有問題引入、故事引入、演示引入三種類型（見表1）。從數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式來(lái)看，問題引入采用了復(fù)制式或順應(yīng)式，故事引入采用了順應(yīng)式或重構(gòu)式，而演示引入數(shù)學(xué)史的運(yùn)用水平最高，全部采用了重構(gòu)式。

課例“字母表示數(shù)”[5]28-30以復(fù)制式的數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式，將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師先通過(guò)古埃及時(shí)期《萊因德紙草書》中的問題，幫助學(xué)生回顧字母可以用來(lái)表示未知數(shù)，再由古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）所著《算術(shù)》中的“已知兩數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)”的問題引入新知。學(xué)生會(huì)用字母去設(shè)所求的兩個(gè)未知數(shù)。然而，兩數(shù)的和與差雖是已知的，但題中沒有給出，這使學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，教師繼而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。

課例“一元二次方程的配方法”[6]38-42以復(fù)制式的數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式，將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師通過(guò)一組課前練習(xí)題幫助學(xué)生了解古人運(yùn)用幾何圖形進(jìn)行開平方運(yùn)算的方法，呈現(xiàn)阿拉伯著名數(shù)學(xué)家花拉子米（Al-Khwarizmi）所著《代數(shù)學(xué)》中的問題：一平方與十根等于二十迪拉姆，求根。問題所涉及的一元二次方程x2+10x=20不易用因式分解法來(lái)解。教師進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探索幾何解法，引入“配方”的有關(guān)內(nèi)容。

課例“可化為一元一次方程的分式方程”[7]42-46以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師在介紹13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（LFibonacci）的生平后，出示了斐波那契經(jīng)商時(shí)遇到的問題：兩次雇傭工人搬運(yùn)貨物的詳細(xì)賬目分別如表2和表3所示。若兩次工人第一天和第二天的人均所得都相等，分別求表格中的x和y。這道題是根據(jù)《計(jì)算之書》中的問題改編的，學(xué)生能在教師引導(dǎo)下審題，找等量關(guān)系，并列出方程y2=y+308和10x=40x+6，教師由此要求學(xué)生觀察、比較問題中的兩個(gè)方程，引出新課。

課例“同底數(shù)冪的運(yùn)算”[8]39-42以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師由阿基米德（Archimedes）和敘拉古王子蓋羅（Gelo）在海邊散步時(shí)談?wù)摗坝钪嫔硵?shù)”的故事引入：一天，阿基米德和他的朋友敘拉古王子蓋羅在海邊散步，阿基米德請(qǐng)蓋羅猜測(cè)腳下的沙灘和整個(gè)西西里島上共有多少粒沙子，蓋羅回答有無(wú)窮多粒，而阿基米德則詳細(xì)介紹了自己的大數(shù)記數(shù)法。根據(jù)他的幾何證明，若將沙?？醋骼浰跉つ敲创?，裝滿整個(gè)“宇宙”（以地球?yàn)橹行?，地球和太?yáng)的距離為半徑的球）的沙粒數(shù)目為不超過(guò)6個(gè)1萬(wàn)萬(wàn)相乘再乘以1000。教師引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)記數(shù)法表示1萬(wàn)萬(wàn)、1萬(wàn)萬(wàn)個(gè)1萬(wàn)萬(wàn)……，并思考6個(gè)1萬(wàn)萬(wàn)相乘再乘以1000究竟有多大，進(jìn)而引出10m×10n=10m+n的同底數(shù)冪運(yùn)算公式。

課例“平方差公式”[9]43-47以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師選擇等周問題，將發(fā)生在古希臘的欺騙性土地分配事件改編為莊園主與佃戶的故事：從前，一個(gè)狡猾的莊園主把一塊邊長(zhǎng)為a（a>5）m的正方形土地租給佃戶張老漢。第二年，莊園主對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的一邊減少5m，相鄰的另一邊增加5m，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)了?；氐郊抑校瑥埨蠞h把這件事和鄰居一講，大家都說(shuō)：“你吃虧了！”由此，教師引導(dǎo)學(xué)生比較a2和（a+5）（a-5）的大小，判斷張老漢是否真的吃虧了，從而引出平方差公式。

課例“平面直角坐標(biāo)系”[10]32-37以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師首先講述了笛卡兒（RDescartes）發(fā)明坐標(biāo)系的歷史故事：一天，笛卡兒因病躺在床上無(wú)所事事，于是又想起了那個(gè)折磨他很久的問題，即如何將平面上的點(diǎn)和數(shù)聯(lián)系在一起。天花板上，有一只小小的蒼蠅慢慢地爬動(dòng)。笛卡兒想，如果把蒼蠅看成一個(gè)點(diǎn)，那么該怎么用數(shù)來(lái)表示蒼蠅的位置呢？然后，教師根據(jù)故事中的情境設(shè)計(jì)了以下問題串。

問題1：如果這只蒼蠅向右爬了5cm，怎么用數(shù)來(lái)表示它的位置？如果向右爬了3cm呢？

問題2：如果這只蒼蠅向左爬了5cm，怎么用數(shù)來(lái)表示它的位置？如果向左爬了3cm呢？

問題3：如果這只蒼蠅向上爬了5cm，怎么用數(shù)來(lái)表示它的位置？如果向下爬了3cm呢？

問題4：如果這只蒼蠅先向右爬3cm，再向上爬5cm，那么怎樣表示它的位置？

課例“反比例函數(shù)”[12]41-47以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師首先將我國(guó)古代的勸善書《太上感應(yīng)篇》中記載的故事引入：明朝萬(wàn)歷年間，揚(yáng)州有一家大南貨店，店主在臨死時(shí)告訴兒子，他的一桿秤乃烏木合成，中間空的地方藏有水銀，稱出時(shí)，將水銀倒在秤頭，稱入時(shí)，將水銀倒在秤尾，從而造成“入重出輕”現(xiàn)象。接著，教師向?qū)W生展示桿秤實(shí)物并介紹使用原理，然后出示與桿秤有同樣原理的天平模型。如圖1所示，點(diǎn)O相當(dāng)于提鈕所在的位置，點(diǎn)A相當(dāng)于秤盤所在的位置，B處所掛重物相當(dāng)于秤砣。這一模型上的四個(gè)量可以分別設(shè)AO=acm，BO=bcm，A處掛的物體重mg，B處掛的物體重ng。最后，教師通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生探究“a、n不變時(shí)，b、m有怎樣的關(guān)系”和“a、m不變時(shí)，b、n有怎樣的關(guān)系”兩個(gè)問題，引出反比例函數(shù)。

圖1天平模型

3演示引入

課例“實(shí)數(shù)的概念”[12]41-47以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師根據(jù)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量的歷史，設(shè)計(jì)了折紙和拼圖的教學(xué)活動(dòng)。教師首先提出“如何求一張A4紙長(zhǎng)與寬的比”的問題，接著要求學(xué)生進(jìn)行如圖2所示的折紙操作，指出折痕AE（即正方形ABEF的對(duì)角線）和A4紙的長(zhǎng)AD相等，進(jìn)而提出“若AB長(zhǎng)為1，則AE長(zhǎng)為多少”的問題，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多種方法將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)以它們的對(duì)角線為邊長(zhǎng)的大正方形。最后，教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二分法估算面積為2的大正方形的邊長(zhǎng)，自然引出了無(wú)理數(shù)的概念。

圖2尋找與A4紙的長(zhǎng)相等的線段

課例“平行線的判定”[13]34-40以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師以《墨經(jīng)》《數(shù)理精蘊(yùn)》《幾何原本》中對(duì)平行線的判定（定義）方式為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行從“用距離刻畫平行”到“用角刻畫平行”的探究。在教師的提示和啟發(fā)下，學(xué)生首先聯(lián)想到用兩條直線之間的距離相等來(lái)刻畫平行，接著發(fā)現(xiàn)可以先畫已知直線a的垂線，再畫垂線的垂線b，得到b∥a，而后進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)了用三角尺的直角沿直尺上推得到兩條平行直線，最后有學(xué)生發(fā)現(xiàn)能運(yùn)用三角尺其余任意某個(gè)角和直尺推得平行直線。教師隨即演示了這一過(guò)程（如圖3），自然引出了平行線的判定方法和基本性質(zhì)。

圖3運(yùn)用三角尺其余任意某個(gè)角和直尺推得平行直線

課例“三角形內(nèi)角和”[14]40-44以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師基于三角形內(nèi)角和的歷史，引導(dǎo)學(xué)生開展泰勒斯（Thales）當(dāng)年探究和發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的拼圖實(shí)驗(yàn)：分別將6個(gè)同樣的等腰三角形圍繞一個(gè)共同頂點(diǎn)無(wú)縫且不重疊地拼接在一起（如圖4），可以發(fā)現(xiàn)具有共同頂點(diǎn)的6個(gè)角的和為360°，而在這6個(gè)角中，三角形的3個(gè)內(nèi)角∠1、∠2和∠3各出現(xiàn)兩次，故知∠1+∠2+∠3=180°；利用6個(gè)同樣的不等邊三角形重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)（如圖5），可以得到相同結(jié)論。

圖4利用6個(gè)同樣的等腰三角形進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)

圖5利用6個(gè)同樣的不等邊三角形進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)

三、基于數(shù)學(xué)史的新知引入特點(diǎn)

根據(jù)M克萊因提出的四個(gè)數(shù)學(xué)課程原理（興趣、動(dòng)機(jī)、直觀、文化）和波利亞（GPólya）的三個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)原理（最佳動(dòng)機(jī)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、循序漸進(jìn)），理想的新知引入方式被認(rèn)為至少應(yīng)具備以下特征[3]43-46。

① 可學(xué)性，即引入建立在學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)之上，易于學(xué)生理解；

② 有效性，即引入能夠有效地揭示新知學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；

③ 關(guān)聯(lián)性，即引入能為后面的相關(guān)知識(shí)服務(wù)；

④ 趣味性，即引入能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣。

基于上述特征，我們依次對(duì)初中階段HPM課例引入的特點(diǎn)進(jìn)行分析。

“字母表示數(shù)”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過(guò)列舉四個(gè)實(shí)例說(shuō)明了用字母可以表示數(shù)。HPM課例中，教師則通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典的歷史問題，在學(xué)生“字母能表示未知數(shù)”的認(rèn)知基礎(chǔ)之上引入“字母能表示任意數(shù)”，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性。學(xué)生在情境問題中對(duì)于如何處理已知數(shù)無(wú)從下手，教師以此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出新課探究，體現(xiàn)了有效性。但是，該課例在趣味性的體現(xiàn)上還略顯不足。

“同底數(shù)冪的運(yùn)算”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書在要求學(xué)生觀察32×34=（3×3）×（3×3×3×3）=36=32+4的計(jì)算過(guò)程后指出：兩個(gè)同底數(shù)冪32、34相乘的結(jié)果是底數(shù)3不變，指數(shù)6等于2與4相加，并由此引出同底數(shù)冪相乘的法則。HPM課例由阿基米德數(shù)沙子的故事引入，學(xué)生感受到了用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)的復(fù)雜和困難。教師由此開始講解同底數(shù)冪相乘的有關(guān)內(nèi)容，體現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“平方差公式”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書分別通過(guò)代數(shù)和幾何兩種方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)平方差公式。HPM課例則由根據(jù)歷史改編的莊園主與佃戶的故事引入，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較邊長(zhǎng)變化前后的土地面積引出平方差公式，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“可化為一元一次方程的分式方程”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書以全國(guó)第五次鐵路提速為背景作為問題引入，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出分式方程后，去掉方程中分式的分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。HPM課例則通過(guò)改編《計(jì)算之書》中的問題，引導(dǎo)學(xué)生分別列出整式方程和分式方程，并在觀察和比較中引出分式方程的特點(diǎn)。相較教科書，在HPM課例中，教師以圖文并茂的形式展現(xiàn)了斐波那契的生平，且為問題增加了斐波那契早年隨父親經(jīng)商的故事背景，因而更具趣味性。

“實(shí)數(shù)的概念”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過(guò)演示“將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿一條對(duì)角線剪開后拼成面積為2的大正方形”這一過(guò)程來(lái)說(shuō)明2的存在。從歷史上看，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是在“萬(wàn)物皆數(shù)”的理念指導(dǎo)下研究正方形對(duì)角線與邊長(zhǎng)之比的。而在課堂上將兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，對(duì)學(xué)生而言是缺乏動(dòng)機(jī)的。相比較而言，A4紙比較常見，教師通過(guò)A4紙的長(zhǎng)、寬之比問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙活動(dòng)，使正方形的構(gòu)造變得更加自然。由此可見，HPM課例的引入過(guò)程體現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“平行線的判定”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書從實(shí)驗(yàn)幾何的角度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行平推三角尺的操作實(shí)踐，得到“同位角相等，兩直線平行”的判定方法，再要求學(xué)生操作實(shí)踐得到平行線的基本性質(zhì)。HPM課例則基于歷史相似性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“用距離刻畫平行”到“用角刻畫平行”的探究過(guò)程，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性和趣味性的特點(diǎn)。

“平面直角坐標(biāo)系”是滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書由“對(duì)號(hào)入座”問題引入。在HPM課例中，教師巧妙地將問題串與數(shù)學(xué)故事相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生一步步走出一維世界，認(rèn)識(shí)二維平面，既充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又揭示了用“實(shí)數(shù)對(duì)”表示平面內(nèi)點(diǎn)的必要性，整個(gè)引入過(guò)程具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“三角形內(nèi)角和”是滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過(guò)演示從一塊三角形紙板裁下三個(gè)角并拼在一起的實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生猜想三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。在HPM課例中，教師首先介紹了泰勒斯鋪設(shè)地磚時(shí)的發(fā)現(xiàn)，然后基于學(xué)生“周角等于360°”的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生開展泰勒斯的拼圖實(shí)驗(yàn)引入新知，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“一元二次方程的配方法”是滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書在要求學(xué)生觀察x2+8x和（x+4）2的展開式后直接介紹了運(yùn)用配方法求解方程x2+8x=0。但是，方程x2+8x=0也可以直接通過(guò)因式分解法求解，教科書的引入無(wú)法體現(xiàn)新知學(xué)習(xí)的必要性。HPM課例則對(duì)歷史進(jìn)行了重構(gòu)，在學(xué)生從代數(shù)和幾何的角度理解“直接開平方法”的基礎(chǔ)上，通過(guò)呈現(xiàn)花拉子米《代數(shù)學(xué)》中的一道因式分解法不易解決的方程問題，引導(dǎo)學(xué)生將幾何意義上的“將長(zhǎng)方形割補(bǔ)成正方形”與代數(shù)意義上的“配方”聯(lián)系起來(lái)，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

“反比例函數(shù)”是滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探究面積固定的長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的相互關(guān)系引入反比例函數(shù)。HPM課例則根據(jù)桿秤的故事創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示使學(xué)生經(jīng)歷了從正反比例到正反比例函數(shù)的歷史過(guò)程，具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。

表4對(duì)初中階段各課例中新知引入的基本特征進(jìn)行了總結(jié)。大多數(shù)HPM課例新知引入具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點(diǎn)。與高中HPM課例新知引入的特點(diǎn)相比[15]38-44，初中階段教師更注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，使學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn)，因而在引入的趣味性上更勝一籌。

表4初中階段各HPM課例的新知引入特點(diǎn)

課題新知引入

類型可學(xué)性關(guān)聯(lián)性有效性趣味性字母表示數(shù)問題引入√√√/可化為一元一次

方程的分式方程問題引入√√√√一元二次方程的

配方法問題引入√√√√同底數(shù)冪的運(yùn)算故事引入√√√√平方差公式故事引入√√√√平面直角坐標(biāo)系故事引入√√√√反比例函數(shù)故事引入√√√√實(shí)數(shù)的概念演示引入/√√√平行線的判定演示引入√√/√三角形內(nèi)角和演示引入√√√√四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在我們所考察的10個(gè)HPM課例中，新知引入的方式有問題引入、故事引入、演示引入三種類型。在現(xiàn)行的教科書中，數(shù)學(xué)知識(shí)往往是按照特定的邏輯體系來(lái)編排的，學(xué)生往往不知道為何要學(xué)習(xí)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)；而一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史卻揭示了知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的動(dòng)因，這種動(dòng)因往往又與問題解決息息相關(guān)。因此，歷史上導(dǎo)致知識(shí)發(fā)生發(fā)展的數(shù)學(xué)問題就成了引入新知的理想材料。數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓數(shù)學(xué)課堂更具人性化，當(dāng)我們關(guān)注知識(shí)的源流時(shí)，往往會(huì)涉及數(shù)學(xué)人物和事件。因此，考慮到初中生的年齡特點(diǎn)，數(shù)學(xué)故事自然受到教師的喜愛；而從人物故事中引出數(shù)學(xué)問題，則是引入新知比較理想的方式。在將數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師需要追溯所教知識(shí)的起源，而古人的“做數(shù)學(xué)”的方式往往與今天不同。實(shí)際上，返璞歸真是“知識(shí)之諧”的要求。教師為了再現(xiàn)古人“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，會(huì)讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和演示獲得初步的發(fā)現(xiàn)，這便是演示引入的方法。

當(dāng)然，部分HPM課例的引入未能兼顧四種特點(diǎn)，因而在引入方式的選擇和運(yùn)用、數(shù)學(xué)史料的選取和加工上還有待進(jìn)一步完善和改進(jìn)。但是，數(shù)學(xué)史為一線教師引入新知提供了豐富的素材，基于數(shù)學(xué)史的課堂引入能大大拓寬傳統(tǒng)教學(xué)“以舊引新”的方式，使新知識(shí)自然而然地“流淌”出來(lái)，而非灌輸和強(qiáng)加于學(xué)生，這印證了引言中相關(guān)學(xué)者的論斷和觀點(diǎn)。同時(shí)，HPM課例的新知引入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)也對(duì)今后教科書的修訂和編寫具有一定的參考價(jià)值。

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