趙斌

摘要：模型思想是重要的數(shù)學思想之一。由于小學生數(shù)學思維特征的局限，學生很難有機會經歷嚴格意義的、完整的建?；顒?，但教師在教學中聚焦知識本質設計活動，引導學生在活動中感悟模型思想，有助于學生理性精神的形成和可持續(xù)發(fā)展。一元一次方程的核心在于內在的“等價關系”模型，在這一內容教學中借助有效直觀、給予建模“拐杖”，引發(fā)認知沖突、跨越建模障礙，遴選結構性素材、引導感悟模型結構，有助于學生感悟模型思想，提升數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：模型思想;等價關系;直觀;結構性素材;小學數(shù)學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）07B-0112-04

所謂模型思想，是指能夠有意識地用數(shù)學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中的一類問題的那種思想[1]。對模型思想的感悟是建立在較高基礎之上的：知識基礎是對數(shù)學內容的把握，思維基礎是抽象和推理。小學生的數(shù)學思維處于由具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡期，一般到四、五年級才進入初步的本質抽象概括階段，開始向初步代數(shù)運算階段發(fā)展，尚難進行完整的、嚴格意義的數(shù)學建模活動，因此，嚴格意義上的數(shù)學建模及教學研究在大學開展較多。但教師在小學數(shù)學教學中有意識地滲透模型思想，引導學生經歷、體驗，有助于學生在數(shù)學學習中初步經歷建構數(shù)學模型的過程，留下模型思想的影子，深化對數(shù)學的理解，形成初步的理性精神。

在蘇教版數(shù)學五年級下冊第一單元，學生第一次認識簡易方程（一元一次方程），那么這一內容中蘊涵的核心思想是什么？其教學價值又是什么？東北師范大學史寧中教授認為：一元一次方程比較全面地展示了建模思想——用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊等價。這就是數(shù)學建模的本質表現(xiàn)之一[2]?？梢?，認識方程的核心在于認識其中內在的“等價關系”模型。在這一內容的教學中有效滲透模型思想，有助于學生對模型思想的感悟，提升學生用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界故事的能力，為后續(xù)代數(shù)知識學習和建模能力的發(fā)展奠定基礎。

下面筆者以蘇教版數(shù)學五年級下冊“認識方程”第一課時為例，談談對引導學生感悟模型思想的實踐與思考。

一、借助有效直觀，給予建?！肮照取?/p>

數(shù)學概念的形成和數(shù)學模型的建構都需要抽象。基于小學生數(shù)學思維特征，這一年齡段學生的學習更多需要借助直觀作為實現(xiàn)抽象的“拐杖”。而這一“拐杖”的選用，必須符合兩方面特點：一是能激活學生已有的生活經驗或知識經驗，有利于學生觀察和思考;二是這一直觀必須是數(shù)學模型的直觀載體，且越簡潔越有利于學生開展學習。

方程的核心是“等價關系”，這也是方程模型的核心。筆者認為最能直觀表現(xiàn)出“等價關系”的就是天平，它既能激活學生已有生活經驗，又能直觀、簡潔地表征“等價關系”。

師：同學們知道今天我們學習什么內容嗎？

生齊答：方程。

師：學習方程離不開一件工具（出示天平圖片）。認識它嗎？說說你對它的了解。

生1：這是天平，當天平兩邊放的東西一樣重的時候，天平就會是平的。

師：是的，當這種時候，我們就說天平兩邊處于平衡狀態(tài)。

生2：當天平左邊放的東西重的時候，天平會向左邊傾斜;而當天平右邊放的東西重的時候，天平會向右邊傾斜。

師：那這兩種情況，我們可以說天平——

生齊答：不平衡。

師：老師就帶來一架天平，請大家仔細觀察。

（出示圖1）

師：你能用一道數(shù)學式子表示出這架天平現(xiàn)在的狀態(tài)嗎？

生1：50+50=100

師：天平左邊表示為50+50，右邊表示為100，這時天平平衡，中間可以用“=”連接。（板書先寫“50+50”，再寫“100”，最后寫“=”）

天平直觀的呈現(xiàn)，激活了學生的已有經驗，學生能通過天平的狀態(tài)用數(shù)學語言建構等式以及之后的不等式，搭建起數(shù)學與生活間的橋梁。同時通過教師過程性的板書示范，學生初步感受到等式建構的方法：客觀闡述事實本身。這也讓學生真正認識到等號的本質意義：表示兩邊的等價關系。

而之后的借助直觀部分的教學，教師也基本以天平為工具，引導學生通過觀察天平，用符號語言表達天平的平衡與不平衡狀態(tài)，進而認識等式和不等式。

二、引發(fā)認知沖突，跨越建模障礙

在建模的過程中，教師有時可以借助學生已有經驗。但有時學生已有的一些經驗卻成為學習過程中的障礙。如對于方程定義中兩個關鍵要素（“未知數(shù)”和“=”），學生的已有經驗就對建構方程產生了明顯阻礙。學生在前面四年多的數(shù)學學習中都是采用四則運算方式解題，已經形成這樣的思維和書寫習慣：將未知放在等號右邊，將已知放在等號左邊，通過四則運算推算出未知的結果。所以方程模型的建構必須引導學生實現(xiàn)兩方面的跨越：一是未知與已知由不平等到平等的跨越，二是“=”這一符號由學生感覺中的推算意義向真正的等價意義的跨越。這兩點直接決定了學生對方程模型的感悟水平和建構水平。因此，有效引導學生建構方程模型，首先要引發(fā)學生認知沖突，引導學生在對比交流中實現(xiàn)這兩步跨越，突破建模障礙。

師：用一道簡潔的式子就表示出天平的狀態(tài)。你會像這樣表示嗎？（出示圖2）

（教師收集、展示出：x+50=100、100-50=x）

師：你認為哪道式子清楚地表示出了天平的狀態(tài)？

生1：我認為第一道算式能很清楚地表示天平的狀態(tài)。

生2：我也認為是第一道，因為現(xiàn)在天平上x克的木塊并不在右邊，而是和50克的砝碼一起在左邊，右邊是100克的砝碼，兩邊相等。而第二道式子把x放到右邊去了。

生3：我也認為第一道好，剛才生2說了，第二道式子把x放到右邊，雖然100-50和x相等，但他是在算x的得數(shù)，不是天平現(xiàn)在的樣子。

師：是啊，第一位同學把未知的量放在等號的右邊，看樣子是想通過100減50求出未知的x。但要清楚描述天平的狀態(tài)，需要改變未知量的位置嗎？

生齊答：不需要！

師：通過這兩個式子的對比，那你現(xiàn)在認為用式子表示天平狀態(tài)時要注意什么呢？

生1：我認為不用去求未知的量。

生2：不管已知還是未知，天平左邊的寫在式子左邊，天平右邊的寫在式子右邊。

（教師板書先寫“x+50”，再寫“100”，最后寫“=” ）

在前一教學環(huán)節(jié)初步建構等價模型的基礎上，教師開始在一邊出現(xiàn)未知量，讓學生調動已有的知識經驗列出等式，將具有典型性的兩種式子展示后，引導學生圍繞問題“哪道式子清楚地表示出天平的狀態(tài)？”展開對比、交流，讓學生深刻感受到在客觀描述天平狀態(tài)時，已知量和未知量是平等的，實現(xiàn)跨越一;而通過對比、交流，加之教師在板書等式時的語言描述始終為“左邊表示為××，右邊表示為××，天平平衡，中間用等于號連接”，也讓學生深刻感受到“=”是描述天平兩邊的等價關系，而不是以往經驗中的從已知到未知的推算，在一定程度上實現(xiàn)了跨越二。在這一過程中，學生進一步感悟建構方程模型的方法：客觀闡述等價關系事實。

三、遴選結構性素材，引導感悟模型結構

所謂數(shù)學模型，乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關系，采用形式化數(shù)學語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結構[3]。既然數(shù)學模型是一種結構，要在小學數(shù)學課堂中引導學生感悟模型思想，就需要教師有意識地遴選、編排一些結構性素材提供給學生，引導學生感悟到素材中內隱的、本質的“結構”。這種感悟，是對模型思想的感悟;這種感悟，比記住一個定義更為重要。

方程教學中的天平是幫助學生感悟方程模型的直觀“拐杖”，當學生通過觀察不同天平建構出不同的等式，并突破了認知障礙，積累了較為豐富的關于“等價關系”的表象后，這時需要去除“拐杖”，進行更高層次的、形式化層面的“建模”，也就是尋找現(xiàn)實情境或數(shù)學問題中的“隱形天平”，建構數(shù)量間的等價模型。

師：看來看著天平寫等式大家已經掌握很熟練了。沒有了天平，你還能寫出等式嗎？

（師出示題組1）

男生有15人，女生有13人，一共有多少人？

男生有15人，女生有a人，一共有28人。

男生有b人，女生有13人，一共有28人。

（師引導學生審題、寫式，之后展示出三道等式：15+13=28、15+a=28、b+13=28）

師：仔細觀察這三道等式，它們之中就隱藏著一架隱形的天平。你能透過三道等式找到這架天平，想想天平的左邊是什么，右邊又是什么嗎？

生1：我覺得天平的左邊是總人數(shù)，右邊也是總人數(shù)，兩邊是相等的。

生2：我有點同意他的想法，因為三道等式左邊都是把男生人數(shù)加女生人數(shù)，就是總人數(shù)，右邊也是總人數(shù)，所以兩邊相等。

師：你們的意思就是天平的左邊可以表示為男生人數(shù)加女生人數(shù)，右邊表示的是總人數(shù)，中間用等于號連接。是這個意思嗎？（板書：男生人數(shù)+女生人數(shù)=總人數(shù)）

生齊答：是！

師：是的，這就是我們以前用過的數(shù)量間的相等關系。用等量關系式這架隱形的天平也可以寫出等式。

（師出示題組2）

平行四邊形的底是5米，高是4米，面積是多少平方米？

平行四邊形的底是x米，高是4米，面積是20平方米。

平行四邊形的底是5米，高是y米，面積是20平方米。

師：請你仔細讀一讀，根據(jù)題意寫出等式，寫好后再想一想，這里面隱形的天平是什么，左邊、右邊又各是什么？

（師展示學生三道等式，引導交流：5×4=20、4x=20、5y=20）

生1：這三道等式的左邊都是平行四邊形的底乘高，右邊是平行四邊形的面積，中間用等于號連接。（教師結合學生回答板書：底×高=平行四邊形面積）

生2：這里隱形的天平就是我們學過的平行四邊形面積計算公式。

師：看來我們學過的一些計算公式也是隱形的天平。

題組1設計了同樣三個量的實際問題，第一題適合用四則運算方式列式，第二、三兩題適合用方程方式列式。學生在前階段已經積累了較為充分的“客觀描述、建構等式”的經驗，輕松列出三道式子。之后教師著重引導學生通過對比，抓住三個不同式子間共同的本質——數(shù)量間相等關系，并將這一抽象的模型想象為“天平”直觀，使學生在抽象與形象的對比中深刻感受到數(shù)量間的相等關系就相當于天平，寫等式關鍵在于建構出內在的等價模型。如此實現(xiàn)了從直觀化建模到數(shù)學化建模的提升。之后教師再通過題組2的呈現(xiàn)，一方面進行模型建構的鞏固與應用，另一方面也將題組1中的加法等價模型延伸到乘法等價模型，將數(shù)與代數(shù)領域內容延伸到圖形與幾何領域內容，讓學生在模型建構的過程中進一步感受到無論是形象的天平或抽象的數(shù)學問題，還是加法或乘法，數(shù)的實際問題或圖形的實際問題，這些問題中廣泛且內隱地存在著數(shù)量間的等價模型，抓住它們的等價關系，可以用學過的等價模型描述出來，讓學生對方程模型的感悟提升高度，拓展維度。

在學生充分將形象天平、抽象數(shù)學問題中的“等價關系”進行符號化描述，充分感悟了一元一次方程構建的本質，這時教師再從教學中積累的等式里取出方程，告訴學生這些就是我們這節(jié)課要學習的方程，引導學生觀察并想想什么是方程。學生順理成章理解到方程的兩個要素：含有未知數(shù)、等式，教師再揭示方程定義。這時學生學到的不僅是“含有未知數(shù)的等式是方程”這一定義，更重要的是感悟到方程中內隱的模型思想，積累了建模的經驗。

建構數(shù)學模型離不開抽象，所以要在小學階段滲透模型思想，首先要符合學生的年齡特征，借助直觀給學生提供抽象的拐杖。在某一模型思想（如方程模型）滲透感悟的過程中，對學生而言可能存在著某些認知障礙，這時就需要教師深入研究學生，精準把握學生在建構數(shù)學模型中可能存在的障礙，通過引發(fā)沖突、平衡沖突幫助學生實現(xiàn)障礙的跨越。而因數(shù)學模型本身的“結構性”特征，加之建構數(shù)學模型的抽象與形成數(shù)學概念的抽象又有所差異，所以建構數(shù)學模型、感悟模型思想過程中，教師既需要引導學生經歷從借助形象進行建模到抽象建模的過程，又要有針對性地遴選、整合、呈現(xiàn)隱含某一模型思想的結構性素材，幫助學生在結構性素材問題的解決、對比中感悟模型本質及其存在的普遍性，感受數(shù)學語言的價值，深化對模型思想的感悟。

參考文獻：

[1]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社， 2016：216.

[2]史寧中，孔凡哲.方程思想及其課程教學設計——數(shù)學教育熱點問題系列訪談錄之一[J].課程·教材·教法， 2004（9）：28.

[3]徐利治.數(shù)學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社， 1983：15.

責任編輯：石萍

Abstract： Model thinking is one of the important mathematics ideas. Because of the limitation of childrens mathematics thinking features， it is difficult for them to experience the modeling activities rigorously and completely. Yet， teachers may focus on the design activity on the knowledge essence in teaching and guide students to perceive the model thinking in activities， which can help students to form and sustainably develop their rational spirit. The core of the equation lies in its internal equivalence model， which can be taught by effective intuition and the walking stick of modeling so that it can trigger cognitive conflicts and overcome the modeling barriers. Meanwhile， teachers should select structural materials and guide students to perceive the model structure， helping them understand the modeling idea and improve their mathematics accomplishments.

Key words： model thinking; equivalence; intuitiveness; structural material; primary school mathematics teaching