劉美娟

如何讓學(xué)生真正地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)、再創(chuàng)造過程？筆者認(rèn)為，可以以“數(shù)學(xué)活動”為載體，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)活動深耕，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、從感性到理性——引導(dǎo)“橫向”數(shù)學(xué)化活動

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從根本上來說是數(shù)學(xué)活動的學(xué)習(xí)?；顒硬粌H是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，更是承載知識本質(zhì)的載體，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思考的載體。通過活動，學(xué)生能積淀數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。一般而言，數(shù)學(xué)活動是基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，為了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)而展開的。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生對經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提純，從而完成橫向數(shù)學(xué)化活動。

所謂“橫向”數(shù)學(xué)化活動，即是從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界、生活世界到數(shù)學(xué)世界的過渡。經(jīng)驗(yàn)、生活是感性的，而數(shù)學(xué)是理性的。從感性到理性，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由淺入深。教學(xué)《圓的周長》，從學(xué)生生活中引入圓，比如杯子、碗的邊沿，學(xué)生膠帶的邊沿、圓鏡子的鑲嵌邊框等，能讓學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生摸一摸圓邊線一周的長度，感受、體驗(yàn)圓周長是一種曲線，不同于直線圖形的周長。這樣的感性認(rèn)知還會生發(fā)學(xué)生的活動設(shè)想——用“繞線法”“滾圓法”探究圓的周長。在組織實(shí)驗(yàn)的過程中，對學(xué)生容易發(fā)生的問題進(jìn)行指導(dǎo)。比如“滾圓法”啟發(fā)學(xué)生從哪里開始滾動還要滾到哪里，啟發(fā)學(xué)生滾動時(shí)不能打滑;比如“繞圓法”，啟發(fā)學(xué)生要將線緊貼在圓周上，等等。在實(shí)驗(yàn)過程中，有學(xué)生甚至感悟出，應(yīng)用盡量大一些的圓進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這樣可以減少誤差，提高精準(zhǔn)。

二、從模糊到清晰——引導(dǎo)“縱向”數(shù)學(xué)化活動

數(shù)學(xué)是對學(xué)生生活、經(jīng)驗(yàn)的抽象概括。弗賴登塔爾說：“與其說我們教數(shù)學(xué)，倒不如說我們教‘?dāng)?shù)學(xué)化?！睌?shù)學(xué)化，不僅僅包括“橫向數(shù)學(xué)化”，而且包括“縱向數(shù)學(xué)化”。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是“數(shù)學(xué)符號的模塑、提升和使用”。教學(xué)中，許多教師在展開數(shù)學(xué)活動時(shí)本意也是想“數(shù)學(xué)化”的，但效果卻不佳。究其根本，是因?yàn)槿狈α丝v向數(shù)學(xué)化活動，因而讓活動水平較低。

以《圓的周長》教學(xué)為例，不少教師在學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得出圓的周長之后，就直接讓學(xué)生計(jì)算圓周長和直徑的比值。當(dāng)計(jì)算出現(xiàn)了不同的數(shù)據(jù)之后，教師也只是輕描淡寫地說是由于實(shí)驗(yàn)存在著誤差等。盡管教師組織了橫向數(shù)學(xué)化活動，但由于縱向數(shù)學(xué)化活動不到位，導(dǎo)致學(xué)生對圓周率的認(rèn)識比較模糊，他們感受、體驗(yàn)不深刻。筆者在教學(xué)中，用懸掛有重物的一根線甩動，從而形成了抽象的圓的軌跡。啟發(fā)學(xué)生圓的周長和直徑、半徑相關(guān)，不是每一個(gè)圓都可以用滾動、繞線的方法測量周長的，必須探究圓周長和直徑或半徑之間的關(guān)系。如此，學(xué)生深刻理解了為什么要計(jì)算圓的周長和直徑的比值。在學(xué)生通過計(jì)算得到不同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思辨：圓的周長與直徑間有無倍數(shù)關(guān)系？如果有，為什么各不相同？如果沒有，為什么計(jì)算結(jié)果總是趨向某一個(gè)數(shù)值？從而助推學(xué)生認(rèn)識“圓周率本質(zhì)”，即圓周率是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。有部分學(xué)生甚至想到了匯總?cè)鄶?shù)據(jù)，用大數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，讓結(jié)果更接近圓周率。

斯托利亞爾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。”數(shù)學(xué)活動的開展要充分讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，不僅包括學(xué)生生活、經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化，更包括數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化。只有通過邏輯組織化，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動才能走向深刻。作為教師，要為學(xué)生提供邏輯組織化數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，加大數(shù)學(xué)活動中的探索性成分，從而讓學(xué)生數(shù)學(xué)化思維。

三、從孤立到整體——引導(dǎo)“結(jié)構(gòu)”數(shù)學(xué)化活動

學(xué)生的數(shù)學(xué)活動不是孤立、零散、單一的，而應(yīng)是系統(tǒng)、整體、結(jié)構(gòu)化的。教師不僅要組織學(xué)生展開橫向、縱向數(shù)學(xué)化活動，而且要引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)化活動。通過結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)化活動，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知從孤立、零散走向整體、結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生溝通數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)， 注重相關(guān)知識的延伸、拓展，這是結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)活動的一個(gè)有效路徑。

在《圓的周長》教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生通過匯總大數(shù)據(jù)，對自己的實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生質(zhì)疑。在學(xué)生的一系列追問中，筆者運(yùn)用多媒體課件向?qū)W生展示了劉徽“割圓術(shù)”。通過展示“割圓術(shù)”，一方面讓學(xué)生感受“極限思想”，另一方面讓學(xué)生認(rèn)識到，真正探究圓周率不能采用這種粗陋的實(shí)驗(yàn)法。同時(shí)，筆者向?qū)W生展示了現(xiàn)代數(shù)學(xué)家探索圓周率的方法，比如“拉馬努赫公式”等。通過對圓周率誕生史、發(fā)展史的展示，讓學(xué)生立體性地認(rèn)識了圓周率。學(xué)生認(rèn)識到，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家借助計(jì)算機(jī)已經(jīng)將圓周率計(jì)算精確到了上億位，圓周率不僅是一個(gè)無理數(shù)，還是一個(gè)超越數(shù)。如此，學(xué)生對自己的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就能形成正確的認(rèn)知。

（作者單位：江蘇省南通市城西小學(xué)）

責(zé)任編輯：鄧鈺