楊理想

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學(xué)抽象是第一要素，要對數(shù)學(xué)抽象培元固本，就必須真正弄清數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵. 數(shù)學(xué)抽象的過程是認(rèn)識現(xiàn)實世界本質(zhì)的過程，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界. 數(shù)學(xué)抽象遠(yuǎn)不是將形象的物體轉(zhuǎn)換為形（或以數(shù)述形）那么簡單，其背后有豐富的數(shù)學(xué)思想方法與思維活動作為支撐.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)理解

在致力于培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時候，教師需要思考一些根本的問題，如對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的六個要素是不是有準(zhǔn)確的理解. 一個基本的邏輯是，如果對核心素養(yǎng)要素理解不準(zhǔn)確，那數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)乃至于核心素養(yǎng)的培育，就是一句空話. 從這個角度來看，理解核心素養(yǎng)要素的過程，就是一個培元固本的過程. 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學(xué)抽象是第一要素，而且在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，對數(shù)學(xué)抽象本來就有著高度的重視，但對于相當(dāng)多的一線教師而言，數(shù)學(xué)抽象并不是一個非常熟悉的概念，甚至很多時候只是經(jīng)驗性的理解，甚至只是望文生義式的理解，顯然這樣的理解是不夠的，要對數(shù)學(xué)抽象培元固本，就必須真正弄清數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵.

■核心素養(yǎng)培育需要怎樣的數(shù)學(xué)抽象理解

在核心素養(yǎng)的視角之下，理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，常常認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征且能夠適應(yīng)個人（學(xué)生）終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn). 而數(shù)學(xué)抽象位居六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之首，史寧中教授給出的觀點是：數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 顯然，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，本質(zhì)上是用自己的思維加工數(shù)學(xué)研究對象的過程，而數(shù)學(xué)研究對象又是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，所以理解數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵，其實就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提. 筆者在參考了相關(guān)理論文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵提出如下兩點理解：

第一，數(shù)學(xué)抽象的過程是認(rèn)識現(xiàn)實世界本質(zhì)的過程. “一切科學(xué)的抽象，都更深刻、更正確、更完整地反映著自然”（列寧語），在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)對象更多的是抽象之后的數(shù)與形，其中“數(shù)”又常常被用來描述“形”. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)習(xí)的對象是已經(jīng)抽象后的對象，因而學(xué)生學(xué)習(xí)起來就感覺比較困難，但這樣的認(rèn)識確實容易讓學(xué)生陷入一種認(rèn)識誤區(qū)，即無法認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是建立在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)之上的，從而也就無法體驗一個認(rèn)識世界本質(zhì)的過程.

第二，數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界. 相比較于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)抽象所追求的是用抽象的結(jié)果反映客觀世界，而這樣一個過程，對于高中學(xué)生而言是相對陌生的，因為在應(yīng)試形態(tài)下，高中生所理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識并利用數(shù)學(xué)知識去解題，這樣的過程自然不能反映數(shù)學(xué)抽象的過程，自然也不能反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì). 而在教學(xué)中承認(rèn)數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果是以抽象的形式反映客觀世界，實際上還有另外一層含義，那就是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的關(guān)系是十分密切的，數(shù)學(xué)是反映現(xiàn)實世界的重要方式.

以上兩點理解，分別從過程與結(jié)果角度闡述了數(shù)學(xué)抽象的理解，雖然這樣的理解偏理論，而且顯得比較學(xué)術(shù)化，但筆者以為，要想超越經(jīng)驗化的理解，就必須站在一定的理論高度，真正洞察數(shù)學(xué)抽象所描述的現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的關(guān)系. 而高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，顯然需要建立在這一認(rèn)識的基礎(chǔ)之上.

■數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要素的落地如何得到實現(xiàn)

在上述理解基礎(chǔ)之上，教師要思考的一個基本問題，自然就是數(shù)學(xué)抽象這一素養(yǎng)要素如何落地. 教師的任務(wù)是教學(xué)，很多時候教師的第一反應(yīng)就是教師通過自己的“教”去落實核心素養(yǎng). 但是有研究者指出：素養(yǎng)是無法教的！因此在一線教學(xué)實踐中教師該如何真正落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是每個數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該思考的問題. 對這個觀點，筆者的認(rèn)識是這確實是一個問題，而素養(yǎng)尤其是核心素養(yǎng)作為學(xué)生成長的長遠(yuǎn)目標(biāo)，未必能夠在教師即時的課堂上“教”出來，但這并不意味著教師就應(yīng)該無所作為，相反，素養(yǎng)作為學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一種積淀，恰恰需要教師進(jìn)行有效的設(shè)計，這樣才能讓學(xué)生有所吸收，有所沉淀. 相應(yīng)的，也有研究者提出可從理解核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象概念、發(fā)掘核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、在數(shù)學(xué)抽象的三個階段中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等角度來進(jìn)行. 可以來看一個例子：

在“圓與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)中，站在學(xué)生的角度分析知識的建構(gòu)過程，可以發(fā)現(xiàn)教師如下選擇：直接基于邏輯去建構(gòu)圓與圓的位置關(guān)系，其主要的依據(jù)就是兩個圓的半徑之和（r1+r2），與兩個圓的圓心之間的距離d的關(guān)系. 由于這兩者關(guān)系之間的邏輯性，所以學(xué)生可以通過邏輯推理建構(gòu)出圓與圓的位置關(guān)系. 但教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在理解這一關(guān)系的時候會出現(xiàn)障礙，而究其原因是學(xué)生大腦中的表象并不清晰，由于沒有一個形象的表象作為支撐，故學(xué)生思維加工的對象也就不會清晰，這自然會對后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響. 為了幫學(xué)生建立這一表象，教師就可以為學(xué)生設(shè)計一個數(shù)學(xué)抽象的學(xué)習(xí)過程. 考慮到高中學(xué)生的經(jīng)驗基礎(chǔ)，這個數(shù)學(xué)抽象的出發(fā)點不一定是生活中的圓，而可以是學(xué)生大腦中對圓與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識.

筆者是這樣設(shè)計的：首先讓學(xué)生在草稿紙上任意畫出兩個圓，在此過程中教師巡查并且對學(xué)生的畫圖結(jié)果進(jìn)行分類，然后借助于現(xiàn)代教學(xué)手段進(jìn)行呈現(xiàn). 如果不出意外，學(xué)生畫得最多的是兩圓相離的情形，少有兩圓相交的情形，另外兩圓內(nèi)切或外切的情形則比較少見甚至沒有. 這個時候教師就可以進(jìn)一步提出問題：兩個圓除了已經(jīng)呈現(xiàn)出的位置關(guān)系之外，還有沒有其他的位置關(guān)系了？

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗，這個時候相當(dāng)一部分學(xué)生的第一反應(yīng)仍然是看自己在草稿紙上畫的圖，或者在草稿紙上再次進(jìn)行畫圖. 這一事實再次表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一知識的時候，仍然是需要表象作為支撐的. 而表象來自學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗，讓學(xué)生畫圖，實際上就是讓學(xué)生將自己生活經(jīng)驗中的與圓的位置有關(guān)的經(jīng)驗提取出來，這樣學(xué)生的大腦當(dāng)中就可以進(jìn)行一個比較純粹的數(shù)學(xué)抽象過程. 這個抽象不是將實物圓變成數(shù)學(xué)意義上的圓，而是將自己大腦當(dāng)中與圓的位置有關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗，變成可以用“兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心之間的距離的關(guān)系”來描述的對象.

這一點在教學(xué)當(dāng)中不需要明確闡述，只要學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)抽象的過程即可. 事實證明，通過上述教學(xué)過程，學(xué)生大腦當(dāng)中可以清晰地建立起圓與圓的5種位置關(guān)系，而且他們會對這5種關(guān)系進(jìn)行排序，排序的依據(jù)就是“兩個圓的半徑之和與兩個圓的圓心之間的距離的關(guān)系”（由大至小，或者由小變大）. 這樣的教學(xué)過程歷時不到十分鐘，但是學(xué)生大腦中的圓與圓的5種位置關(guān)系及其表達(dá)卻變得非常清晰，這說明數(shù)學(xué)抽象的過程是有效的.

■作為科學(xué)方法與思維活動的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

分析上面這樣一個教學(xué)過程，可以發(fā)現(xiàn)在研究圓與圓的位置關(guān)系的時候，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的一面，也就是數(shù)學(xué)抽象所強調(diào)的數(shù)學(xué)是描述世界本質(zhì)的. 同時在教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)注意到，在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野里，抽象還是形成概念及其規(guī)律的必要手段，而且抽象是人類認(rèn)識世界的一種科學(xué)方法和思維活動.

從科學(xué)方法與思維活動的角度來理解數(shù)學(xué)抽象，其實也是符合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的界定的. 核心素養(yǎng)原本強調(diào)的就是必備品格與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)抽象更多的指向關(guān)鍵能力. 能力是什么？能力不是一個空洞的概念，能力往往體現(xiàn)在人的學(xué)習(xí)與生活當(dāng)中，尤其是生活中的問題解決. 良好的問題解決，總是以科學(xué)方法與高效的思維活動作為支撐的，當(dāng)數(shù)學(xué)運用于生活的時候，當(dāng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去解決問題，尤其是生活問題的時候，學(xué)生要做的第一件事情就是將生活對象進(jìn)行抽象，以使其變成一個數(shù)學(xué)問題. 而對生活對象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，就必須建立在科學(xué)方法與思維活動的基礎(chǔ)之上.

高中數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多這樣的情形，例如平面解析幾何的學(xué)習(xí)，無論是研究直線與方程的關(guān)系，還是研究圓與方程的關(guān)系，又或者更細(xì)致一點“研究直線的斜率”，看起來是一個簡單的知識，但是這一知識原本卻是誕生于生活中描述直線傾斜程度的需要——很多生活情形可以抽象為這一需要. 所以站在這個角度去理解數(shù)學(xué)抽象，就可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象遠(yuǎn)不是將形象的物體轉(zhuǎn)換為形（或以數(shù)述形）那么簡單，其背后有豐富的數(shù)學(xué)思想方法與思維活動作為支撐，認(rèn)識到這一事實，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中往往可以設(shè)計出更加符合學(xué)生認(rèn)知需要與數(shù)學(xué)課程目標(biāo)需要的流程，從而為核心素養(yǎng)的落地提供可靠的保證.